Далее: 4.  Описание экспериментальной установки Вверх: Лабораторная работа №19 Назад: 2.  Подготовка к лабораторной

3.  Краткая теория

Переменным называется ток, который изменяется с течением времени:

$$i=i(t)\,.$$

Мгновенным значением переменного тока называется его значение в фиксированный момент времени.

Периодическим называют такой переменный ток, мгновенные значения которого повторяются через равные промежутки времени:

$$i=i(t)=i(t+kT)\,,$$

где $k=0; 1; 2; 3; 4;\ldots n$.

$T$ -- период переменного тока, т.е. наименьший промежуток времени, по истечении которого мгновенные значения тока повторяются в той же последовательности.

Простейшим типом периодического тока является гармонический ток:

$$i = I_m\sin(\omega t+\varphi)$$

или

$$i = I_m \cos(\omega t+\varphi_1)\,,$$

где	$I_m$	--	амплитуда тока;
	$\omega t+\varphi$	--	полная фаза колебания;
	$\varphi$	--	начальная фаза колебания (при $t=0$);
	$\omega$	--	круговая частота (угловая скорость).

$$\omega={2\pi\over T}=2\pi\nu\left[{Рад\over c}\right]\,,$$

где $\nu$ -- частота переменного периодического тока, численно равная числу периодов в 1секунду:

$$\nu={1\over T}[Гц]\,.$$

Гармонический ток можно представить в виде проекции на вертикальную ось вращающегося вектора (рис.3.1).

Действующим или эффективным значением гармонического тока называется значение такого постоянного тока, который протекая через одно и тоже неизменное сопротивление $R$ за период времени $T$ выделяет такое же количество тепла, что и рассматриваемый гармонический ток.

Между амплитудным и действующим значением гармонического тока существует простая связь:

$$I={I_m\over\sqrt{2}}\,.$$

Аналогично для напряжения и ЭДС:

$$U={U_m\over\sqrt{2}}\quadи\quad{\cal E}={{\cal E}_m\over\sqrt{2}}\,.$$

Рис. 3.1 

Для мгновенных значений достаточно медленно изменяющихся переменных ЭДС и токов справедливы основные законы постоянного тока в их наиболее общей форме.

При этом следует иметь в виду, что сопротивление одной и той же электрической цепи для постоянного и переменного токов не совпадают. Так один и тот же резистор для постоянного и переменного токов имеет разное электрическое сопротивление.

Основными элементами электрической цепи переменного тока являются активное сопротивление, индуктивность и ёмкость.

Активное сопротивление представляет собой элемент электрической цепи, в котором при прохождении тока происходит необратимый процесс преобразования электрической энергии в тепловую.

Численное значение активного сопротивления определяется отношением мощности, расходуемой на тепло к квадрату действующего значения переменного тока:

$$R={P\over I^2}[Ом]\,.$$

Необходимо помнить, что

$$R\neq\rho{1\over S}\,.$$

В цепи переменного тока с активным сопротивлением ток и напряжение совпадают по фазе (рис.3.2).

Рис. 3.2 

Покажем это.

Пусть:

$$i=I_m\cdot\sin(\omega t +\varphi)\,.$$ (1)

Тогда на основании закона Ома для участка цепи без ЭДС:

$$iR = U_R\,.$$ (2)

Подставляя (1) в (2) получим:

$$U_R=U_{mR}\cdot\sin(\omega t+\varphi)\,.$$

Начальная фаза тока $\varphi_i=\varphi$.

Начальная фаза напряжения $\varphi_u=\varphi$.

Разность фаз между напряжением и током:

$$\varphi_u-\varphi_i=0\,.$$

В цепи с активным сопротивлением мгновенные, амплитудные и действующие значения напряжения и тока связаны законом Ома:

$$U_R=iR;\qquad U_{mR}=I_mR;\qquad U_R=IR\,.$$

Индуктивность $L$ -- это элемент электрической цепи, способный накапливать энергию магнитного поля.

В цепи переменного тока с индуктивностью напряжение опережает по фазе ток на $$\pi\over\displaystyle 2$$ (рис.3.3). Покажем это.

Рис. 3.3 

Пусть $i=I_m\sin(\omega t+\varphi)$.

При прохождении переменного тока в индуктивности возникает ЭДС самоиндукции:

$$I_{_L} =-L{di\over dt}\,.$$

На основании закона Ома для участка цепи с ЭДС можно записать:

$$iR=U_{_L}+I_{_L}\,,$$

но $R=0$. Следовательно,

$$U_{_L}+I_{_L}=0\qquadи\qquad U_{_L}=L{di\over dt}\,,$$

где $U_{_L}$ -- мгновенное напряжение на индуктивности, уравновешивающее ЭДС самоиндукции.

$$U_{_L}=L{di\over dt}=\omega LI_m\cos(\omega t +\varphi)=U_{mL}\left(\omega t+\varphi + {\pi\over 2}\right).$$

Начальная фаза тока $\varphi_i=\varphi$.

Начальная фаза напряжения $\varphi_u=\varphi + {\displaystyle\pi\over\displaystyle2}$.

Разность фаз между напряжением и током:

$$\varphi_u-\varphi_i=+{\pi\over 2}\,.$$

ЭДС самоиндукции отстаёт по фазе от тока на угол ${\displaystyle\pi\over\displaystyle 2}$, так как $I_{_L}=-U_{_L}$.

Таким образом, в цепи переменного тока с индуктивностью амплитудные и действующие значения напряжения и тока формально связаны законом Ома:

$$U_{mL} = \omega LI_m = X_{_L}I_m;\qquad U_{_L}=\omega LI = X_{_L}I\,,$$

где $\omega L=X_{_L}$ -- индуктивное сопротивление, измеряемое в [Ом]. Это расчётная величина, которая не имеет физического смысла.

Ёмкость $C$ -- это элемент электрической цепи, способный накапливать энергию электрического поля.

В цепи переменного тока с ёмкостью напряжение отстаёт по фазе от тока на угол $$\pi\over\displaystyle 2$$ (рис.3.4). Докажем это.

Пусть:

$$U_c = U_{mc}\sin(\omega t+\varphi)\,.$$

Это напряжение приложено к конденсатору от внешнего источника. Оно уравновешивает ЭДС ёмкости (аналогичную ЭДС самоиндукции в катушке индуктивности), которая возникает при наличии зарядов на обкладках конденсатора.

$$I_c={q\over C}$$

Рис. 3.4 

На основании закона Ома для участка цепи с ЭДС можно записать:

$$iR=U_c+I_c\,,$$

но $R=0$. Следовательно,

$$U_c+I_c=0\,,\qquad I_c=-U_c$$

За положительное направление тока в соответствии с законом сохранения электрического заряда принимается направление, при котором заряды покидают обкладки конденсатора:

$$i=-{dq\over dt}\,.$$

Вместе с тем $q=C\cdot I_c=-CU$.

Следовательно,

$$i=C{dU_c\over dt}\,.$$

Подставляя значение $U_c$, получим:

$$i =C{dU_c\over dt}=\omega CU_{mc}\cos(\omega t+\varphi)=I_m\sin\left(\omega t+\varphi+{\pi\over 2}\right)\,.$$

Начальная фаза напряжения $\varphi_u=\varphi$.

Начальная фаза тока $\varphi_i=\varphi+{\displaystyle\pi\over\displaystyle 2}$.

Разность фаз между напряжением и током:

$$\varphi_u-\varphi_i=-{\pi\over 2}\,.$$

При этом ЭДС ёмкости опережает по фазе ток на угол $$\pi\over\displaystyle 2$$. Таким образом, в цепи переменного тока с ёмкостью амплитудные и действующие значения напряжения и тока формально связаны законом Ома:

$$I_m = \omega CU_{mc}={U_{mc}\over X_c};\qquad I=\omega CU={U\over X_c}\,,$$

где ${\displaystyle1\over\displaystyle\omega C}=X_c$ -- ёмкостное сопротивление, измеряемое в [Ом].

Это расчётная величина, которая не имеет физического смысла.

В общем случае в состав цепи переменного тока могут входить и активное сопротивление, и ёмкость, и индуктивность. Все эти элементы могут быть соединены между собой как последовательно, так и параллельно. На рисунке 3.5 показана схема последовательного соединения указанных элементов и соответствующая им векторная диаграмма для тока и напряжений.

Рис. 3.5 

В цепи, состоящей из последовательно соединённых $R$, $L$ и $C$ через все элементы протекает один и тот же ток:

$$i=I_m\sin\omega t\,.$$

Падение напряжения на элементах цепи:

$$\begin{array}{ll} U_R=U_{mR}\sin\omega t, & \mbox{где}\quad U... ...}\right), & \mbox{где} \quad U_{mL}=I_mX_{_L}\,.\\ \end{array}$$

Приложенное мгновенное значение напряжения равно сумме мгновенных падений напряжения на отдельных элементах цепи:

$$U=U_R+U_c+U_{_L}=U_m\sin(\omega t+\varphi)\,.$$

Сложение этих гармонических напряжений произведено в векторной форме (рис.3.5). Порядок построения векторной диаграммы обозначен цифрами.

$U_{mR}$ -- активная составляющая напряжения.

$U_{mL}-U_{mc}=U_{mx}$ -- реактивная составляющая напряжения.

Из векторной диаграммы следует, что

$$U^2_m= U^2_{mR}+U^2_{mx}=U^2_{mR}+(U_{mL} -U_{mc})^2=I^2_mR^2+I^2_m(X_{_L}-X_c)\,,$$

откуда:

$$U_m=I_m\sqrt{R^2+(X_{_L}-X_c)^2}=I_m\cdot Z\,,$$

где

$$Z =\sqrt{R^2+\left(\omega L - {1\over\omega C}\right)^2}\,,$$

$Z$ -- полное сопротивление цепи;

$R$ -- активная составляющая сопротивления цепи;

$X$ -- реактивная составляющая сопротивления цепи.

$$X=\omega L-{1\over\omega C}$$

Условились индуктивное сопротивление считать положительным, а ёмкостное -- отрицательным.

Поэтому реактивное сопротивление цепи $X$ в зависимости от знака может иметь либо индуктивный характер $(X_{_L}>X_c)$, либо ёмкостный характер $(X_{_L}<X_c)$.

Реактивные сопротивления $X_{_L}$, $X_c$ и $X$ зависят от частоты. Соответствующие графики приведены на рисунке3.6.

Рис. 3.6 

В зависимости от знака реактивного сопротивления треугольники напряжений могут иметь вид:

Рис. 3.7 

Угол $\varphi$ положителен при отстающем и отрицателен при опережающем токе.

Если все стороны треугольников напряжений (рис.3.7) разделить на амплитуду тока, то получатся соответствующие треугольники сопротивлений (рис.3.8).

Угол $\varphi$ всегда отсчитывается от $R$ к $Z$.

Рис. 3.8 

Из треугольников сопротивлений (рис.3.8) следует ряд важных соотношений:

$$Z=\sqrt{R^2+X^2};\qquad R=Z\cdot\cos\varphi;\qquad X=Z\cdot\sin\varphi;$$

$$\varphi=\arctg{X\over R}\,.$$

На частоте $\omega=\omega_p$ полное реактивное сопротивление цепи становится равным нулю и цепь из $R$, $L$ и $C$ ведёт себя как чисто активное сопротивление:

$$R=R_{_L}+R_c+R_o\,,$$

где	$R_{_L}$	--	активное сопротивление катушки индуктивности;
	$R_c$	--	активное сопротивление конденсатора;
	$R_o$	--	активное сопротивление внешнего резистора.

Состояние электрической цепи на частоте $\omega_p$ носит название резонанса напряжений.

Работа в цепи переменного тока за время одного периода $Т$ выражается формулой:

$$A=UIT\cdot\cos\varphi\,,$$

где $U$ и $I$ -- действующие (эффективные) значения напряжения и тока.

Средняя за период мощность называется активной мощностью:

$$p={A\over T}=UI\cos\varphi=I^2\cdot Z\cdot\cos\varphi=I^2R\,.$$

Она расходуется в активном сопротивлении цепи переменного тока.

Наряду с изложенным необходимо иметь в виду, что любая реальная катушка индуктивности как и любой реальный конденсатор при работе в цепи переменного тока имеют не только реактивные, но и активные сопротивления. На рисунке3.9 показаны реальные катушка индуктивности и конденсатор и их эквивалентные схемы:

Рис. 3.9 

Далее: 4.  Описание экспериментальной установки Вверх: Лабораторная работа №19 Назад: 2.  Подготовка к лабораторной