Далее: 4.  Описание экспериментальной установки Вверх: Лабораторная работа №3 Назад: 2.  Подготовка к лабораторной

3.  Краткая теория

Изучение сопротивлений на постоянном токе с помощью вольтметра и амперметра.

Эти измерения можно производить по двум схемам, показанным на рисунках 3.1 и 3.2.

Рис. 3.1 

Рис. 3.2 

Ценность этих систем заключается в том, что по элементу электрической цепи, сопротивление которого измеряется, можно пропустить такой же ток, как и в условиях его работы, очень важно при измерениях сопротивлений, значения которых зависят от тока.

Идея косвенного измерения сопротивления амперметром и вольтметром основана на использовании закона Ома для участка цепи, не содержащей источника ЭДС, т.е. измеряемое сопротивление подсчитывается по величинам напряжения и тока:

$$R'_{\displaystyle x}={U\over I} ,$$ (1)

где $U$ и $I$ показания вольтметра и амперметра. При этом получается лишь приближенное значение измеряемого сопротивления, т.к. в случае схемы а) рис.3.1 амперметр измеряет суммарный ток исследуемого элемента цепи и вольтметра:

$$I = I_{\displaystyle x} + I_{V} > I_{\displaystyle x} ,$$ (2)

а в случае схемы б) рис.3.2 вольтметр измеряет суммарное напряжение амперметра и исследуемого элемента цепи:

$$U = U_{\displaystyle a} + U_{\displaystyle x}>U_{\displaystyle x} .$$ (3)

Действительное значение сопротивления $R_{\displaystyle x}$ определяется так:

для схемы а) рис.3.1:

$$R_{\displaystyle x} ={U\over I_{\displaystyle x}}={U\over I-I_{V}}={U\over I-{U\over R_{\displaystyle{}_{V}}}} ,$$ (4)

для схемы б) рис.3.2:

$$R_{\displaystyle x} ={U_{\displaystyle x} \over I}={U-U_{\displaystyle a} \over I}={U-IR_{\displaystyle a} \over I} .$$ (5)

Как видно из выражений (4) и (5), при подсчёте величины искомого сопротивления по приближённой формуле (1), будет иметь место погрешность.

Так как в практике измерений сопротивлений этим методом подсчёт сопротивлений часто производят по приближённой формуле (1), то необходимо знать, какую схему следует выбрать для того, чтобы величина погрешности была невелика.

Рассмотрим выражения для относительных погрешностей обеих схем. Для схемы а) рис.3.1 погрешность равна:

$$\begin{multline} \varepsilon={R'_{\displaystyle x}-R_{\displaystyle x}\over R_{\... ...+R_{V}}= {-R_{\displaystyle x}\over R_{\displaystyle x}+R_{V}} . \end{multline}$$

Замечание:

$$R_{\displaystyle x} ={R_{\displaystyle x}\cdot R_{\displaystyle x}\over R_{\displaystyle x} + R_{\displaystyle x}} ,$$

т.к. $R_{\displaystyle x}$ и $R_{V}$ соединены параллельно.

Для схемы б) рис.3.2 относительная погрешность определяется выражением:

$$\varepsilon={R'_{\displaystyle x}-R_{\displaystyle x}\over R_{\di... ...x}\over R_{\displaystyle x}}= {R_{\displaystyle a}\over R_{\displaystyle x}} .$$ (6)

Замечание:

$$R'_{\displaystyle x} = R_{\displaystyle x} + R_{\displaystyle a} ,$$

т.к. $R_{\displaystyle x}$ и $R_{\displaystyle a}$ соединены последовательно.

Из выражений (6) и (7) вытекают следующие выводы:

1. схема а) рис.3.1 при использовании приближённой формулы (1) даёт заниженную величину измеряемого сопротивления по сравнению с его действительным значением. При этом погрешность тем меньше чем больше сопротивление вольтметра $R_{V}$ по сравнению с измеряемым сопротивлением. Поэтому пользоваться схемой а) рис.3.1 следует в тех случаях, когда
   $$R_{V}\gg R_{\displaystyle x} .$$

2. схема б) рис.3.2 при расчёте по формуле (1) даёт завьшенную величину измеряемого сопротивления по сравнению с его действительным значением. При этом погрешность тем меньше, чем меньше сопротивление амперметра $R_{\displaystyle a}$ по сравнению с измеряемым сопротивлением. Поэтому пользоваться схемой б) рис.3.2 следует в тех случаях когда
   $$R_{\displaystyle a}\ll R_{\displaystyle x} .$$

Именно поэтому в большинстве случаев практики схему а) рис.3.1 применяют для измерений малых сопротивлений, а схему б) рис.3.2 для измерения средних и больших сопротивлений.

Вместе с тем следует иметь в виду, что для любого значения $R_{\displaystyle x}$ при определённом соотношении сопротивлений $R_{\displaystyle x}$, $R_{\displaystyle a}$ и $R_{V}$, схема включения приборов не влияет на величину погрешности. Это имеет место для такого значения $R_{\displaystyle x}$, при котором абсолютные значения погрешностей, вычисленные по формуле (6) и (7), равны между собой

$${R_{\displaystyle x}\over R_{\displaystyle x} + R_{V}}= {R_{\displaystyle a}\over R_{\displaystyle x}} .$$

Из этого условия получаем

$$R_{\displaystyle x}^2-R_{\displaystyle a}R_{\displaystyle x}-R_{\displaystyle a}R_{V}=0 .$$

Решая это квадратное уравнение и пренебрегая величиной $R_{\displaystyle a}^2$ по сравнению с $4R_{\displaystyle a}R_{V}$ и величиной $R_{\displaystyle a}/2$ по сравнению с $\sqrt{R_{\displaystyle a}R_{V}}$, что можно сделать ввиду малости сопротивления амперметра, найдём что

$$R_{\displaystyle x}\approx\sqrt{R_{\displaystyle a}R_{V}} .$$ (7)

Очевидно, что при соблюдении условия (8), выбор любой из двух схем включения приборов практически безразличен и произволен.

Далее: 4.  Описание экспериментальной установки Вверх: Лабораторная работа №3 Назад: 2.  Подготовка к лабораторной