Далее: 4.  Схема экспериментальной установки Вверх: Лабораторная работа № 5 Назад: 2.  Подготовка к лабораторной

3.  Краткая теория

Электростатическое поле создается совокупностью электрических зарядов, неподвижных в пространстве по отношению к наблюдателю и неизменных во времени.

Основными физическими величинами, характеризующими электростатическое поле, являются напряженность $\vec{E}$ и потенциал $\varphi$. Это дифференциальные характеристики поля, отнесенные к каждой его точке.

Электростатическое поле считается определенным, если известен закон изменения $\vec{E}$ или $\varphi$ во всех точках этого поля.

Вектор $\vec{E}$ это силовая характеристика поля. Она численно равна силе, действующей на единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля.

Потенциал $\varphi$ является энергетической характеристикой поля в каждой его точке. Он численно равен работе, совершаемой силами поля при переносе единичного положительного заряда из данной точки поля с координатой $r$ в точку бесконечно удаленную, потенциал которой считается равным нулю:

$$\varphi=\int\limits_{\textstyle r}^{\infty}\vec{E}d\vec{\ell} .$$ (1)

Под разностью потенциалов $\varphi_1-\varphi_2$ принято понимать величину численно равную работе сил поля при переносе единичного положительного заряда из начальной точки 1 в конкретную точку 2:

$$\varphi_1-\varphi_2=\int\limits_1^2\vec{E}d\vec{\ell} .$$ (2)

Потенциал любой точки поля зависит от того, какой точке поля придан нулевой потенциал: то есть потенциал определяется с точностью до постоянной величины. Однако это не имеет существенного значения, так как практически важен не потенциал какой-либо точки поля, а разность потенциалов и производная от потенциала по координатам. Понятно, что в эти величины постоянная не входит.

В электростатическом поле линейный интеграл от напряженности поля, взятый вдоль замкнутого пути, равен нулю. Другими словами циркуляции вектора $\vec{E}$ вдоль любого замкнутого контура равна нулю:

$$\oint\limits_2\vec{E}d\vec{\ell}=0 .$$ (3)

Поля, для которых выполняются подобного рода соотношения называются потенциальными. В потенциальном поле разность потенциалов зависит только от положения рассматриваемых точек и не зависит от пути, по которому происходит перемещение из одной точки поля в другую:

$$\varphi_1-\varphi_2={q_1\over 4\pi\varepsilon_{{}_{\textstyle a}}}({1\over r_1}-{1\over r_2}) ,$$ (4)

где $q_1$ -- заряд, создающий поле.

Геометрически структуру электростатического поля можно описать с помощью силовых и эквипотенциальных линий. Эти линии в любой точке поля пересекаются под прямым углом (рис.3.1).

Рис. 3.1 

Действительно, вдоль эквипотенциальной линии потенциал не изменяется. Поэтому элементная разность потенциалов:

$$dU =\vec{E}\cdot d\vec{\tau}=0 ,$$

где $d\vec{\tau}=\vec{ \tau^o}d\ell; d{\tau}=d\ell;$

$\vec{ \tau^o}$ -- opткасательной к эквипотенциальной линии.

Скалярное произведение двух векторов равно:

$$\vec{E}\cdot d\vec{\tau}=Ed\tau \cos\alpha=0 ,$$

где $\alpha$ -- угол между векторами $\vec{E}$ и $\vec{ \tau^o}$.

Очевидно, что $\vec{E}\neq0$; $d\tau\neq0$. Следовательно, $\cos\alpha=0$.

Поэтому $\alpha=\pi/2$.

Дифференциальная связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля имеет вид:

$$\vec{E}= -\mathop{grad}\varphi=-\bigtriangledown\varphi ,$$ (5)

где $\bigtriangledown$ -- дифференциальный оператор Гамельтона (Оператор Набла). В прямоугольной системе координат он записывается так:

$$\bigtriangledown=\vec{ x^o}{\partial\over\partial x}+ \vec{ y^o}{\partial\over\partial y}+\vec{ z^o} {\partial\over\partial z} .$$ (6)

Оператор Набла есть сумма частных производных по трем координатным осям, умноженным на соответствующие орты.

Измерения напряжённости и потенциала электростатических полей связаны с определёнными трудностями, обусловленными теми неизбежными искажениями, которые появляются при использовании вносимых пробных зарядов и попытках измерить точечное значение потенциалов.

Оказалось гораздо удобнее исследовать экспериментально электростатические поля, образованные заряженными телами различной конфигурации на модели другой физической природы. В качестве модели электростатического поля может быть использовано электрическое поле постоянного тока в слабопроводящей среде.

Было показано, что во всех практически интересных случаях электрическое поле тока $E$ (согласно закону Ома плотность тока пропорциональна напряженности электрического поля $\vec{j}=\lambda\vec{E}$) совпадает с электростатическим полем $\vec{E}_{\small ст}$, т.е. с полем, которое существовало бы между данными электродами, если бы между ними было то же напряжение, что и при наличии тока, а вместо проводящей среды был бы вакуум.

Если нужно определить на опыте эквипотенциальные линии какого-либо двумерного электростатического поля, то изготовляют металлические модели электродов, создающих поля и помешают их в слабопроводящую среду. Модели могут и не совпадать по своим размерам с оригиналами, но должны быть им подобны и подобным образом расположены. Тогда распределение потенциала между моделями электродов будет подобно распределению потенциалов между действительными электродами и, соответственно, подобным электростатическому полю между телами с такой же разностью потенциалов.

Для измерения потенциала в различных точках среды в них помещают небольшой проводник -- зонд, например, в виде металлического штифта. В качестве проводящей среды часто употребляют какой-либо электролит, налитый в достаточно большую ванночку, отчего указанный метод получил название метода электролитической ванны.

Для определения эквипотенциальной линии один из зондов оставляют неподвижным, а другой помещают в разные точки и находят такие, для которых отклонение вольтметра равно нулю. Таким образом определяют одну из эквипотенциалъных линий. Поступая подобным образом определяют форму и расположения эквипотенциальных линий электрического поля данных электродов.

Электролитическая ванна имеет ряд преимуществ перед измерением электрическим зондом. То обстоятельство, что внутри электролита текут токи, делает возможным употребление вольтметров и гальванометров, которые гораздо удобнее и надёжнее электрометров. Кроме того, распределение токов и напряжений в ванне нечувствительно к посторонним электростатическим влияниям.

Далее: 4.  Схема экспериментальной установки Вверх: Лабораторная работа № 5 Назад: 2.  Подготовка к лабораторной