Далее: 4.  Выполнение работы Вверх: Изучение статистических закономерностей на Назад: 2.  Вопросы для подготовки

3.  Краткая теория

В работе на опыте исследуются статистические закономерности, которые наблюдаются в целом ряде явлений, в том числе во многих явлениях микромира. В области молекулярных явлений, например, им подчиняется распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям, если газ находится в равновесном состоянии.

Для этого типа закономерностей характерны два момента: во-первых, наличие большого, но конечного числа однородных объектов; во-вторых, то, что значение скорости молекулы газа не может быть определено однозначно: оно зависит от большого числа необходимых и случайных факторов. Однако, хотя значение скорости отдельной молекулы случайная величина, для большого числа молекул существует определенный закон их распределения по скоростям: скоростью в каждом возможном интервале значений обладает совершенно определенное число молекул при данной температуре.

В статистической теории существует понятие функции распределения, с помощью которой можно рассчитать число молекул $dN$ из общего числа их $N$, имеющих относительную скорость в некотором бесконечно малом интервале скоростей $dc$:

$$f(c)={dN\over Ndc} .$$

Наиболее общие количественные стороны статистических закономерностей изучаются теорией вероятности. Отношение ${dN\over N}$ в этой теории называется вероятностью случайного события, а $f(c)$ плотностью вероятности. Отношение ${dN\over N}$ одновременно является относительным числом молекул, имеющих значения относительной скорости в бесконечно малом интервале значений $dc$ и вероятностью того, что некоторая молекула имеет значение относительной скорости в интервале $dc$. Это отношение рассчитывается так:

$${dN\over N}=f(c)dc .$$

Функция распределения молекул газа по скоростям была найдена английским физиком Д.Максвеллом и носит его имя. Для относительных значений скорости она не зависит от рода газа и его температуры и имеет вид:

$$f(c)={4\over \sqrt{\pi}}e^{-c^2}c^2 ,$$ (1)

где $e$ -- основание натуральных логарифмов, $c={v\over v_{\text{в}}}$ -- относительная скорость, $v_{\text{в}}$ -- наиболее вероятная скорость, $v$ -- некоторое значение скорости молекул.

На рис.3.1 представлен график распределения Максвелла для относительных значений скорости (1). По оси абсцисс отложены возможные значения скорости $c$, а по оси ординат -- соответствующие им значения $f(c)$. Максимум функции соответствует наиболее вероятной скорости молекул, при этом $c=1$. Число молекул с нулевой скоростью равно нулю; малое число молекул имеет и очень большие скорости по сравнению с наиболее вероятной. Наибольшее число молекул имеет скорости, близкие к наиболее вероятной. График несимметричен относительно максимума, значит, число молекул со скоростями, большими наиболее вероятной, превосходит число их со скоростями, меньшими наиболее вероятной.

Рис. 3.1 

Число молекул $\Delta N$ со скоростями в некотором конечном интервале значений $\Delta c=c_{{}_1}-c_{{}_2}$ (отношение ${\Delta N\over N}$ численно равно площади фигуры, заштрихованной на рис.3.1.) находится интегрированием:

$${\Delta N\over N}=\int\limits_{c_{\mbox{\mt 1}}}^{c_{\mbox{\mt 2}}}{f(c)dc} ,$$

а для небольшого интервала значений -- как площадь прямоугольника на рисунке 3.1: ${\Delta N\over N}=f(c)\Delta c$.

Площадь фигуры, ограниченной кривой и осью абсцисс, равна единице. Действительно интеграл:

$$\int\limits_{0}^{\infty}{f(c)dc}=\int\limits_{0}^{\infty}{dN\over N}$$

численно равный площади фигуры под графиком функции, это вероятность того, что относительная скорость некоторой молекулы имеет значение в области от нуля до бесконечности. В терминах теории вероятностей это достоверное событие, вероятность которого no определению равна единице. Таким образом, $\int\limits_{0}^{\infty}{f(c)dc}=1$, что справедливо для всякой функции распределения и называется условием нормировки.

В данной работе для изучения особенностей статистических закономерностей используется нормальное распределение (Гаусса). Такой вид имеет распределение молекул идеального газа по составляющим скоростей $v_x$, $v_y$, $v_z$. Оно моделируется на доске Гальтона -- механической модели, воспроизводящей картину случайных отклонений от среднего расположения сыпучего вещества на ней.

Нормальное распределение в общем случае имеет вид:

$$f(x)={1\over \sigma\sqrt{2\pi}}e^{{}^{-(x-a)^2\over 2\sigma^2}} ,$$ (2)

где $x$ -- случайная переменная величина, $\sigma^2$ -- постоянная величина, называемая дисперсией распределения, $a$ -- математическое ожидание.

Функция, имеет максимум при $x=a$. Это значение функции называется наиболее вероятным.

Нормальное распределение имеет место в тех случаях, когда случайная величина зависит от большого числа факторов, которые могут вносить с равной вероятностью положительные и отрицательные отклонения от среднего (наиболее вероятного) значения величины. Примером такого распределения является распределение случайных ошибок измерений при измерениях.

Рассмотрим влияние параметра $\sigma$ на форму графика. На рисунке 3.2 показан вид таких графиков для $f(x)$ при различных $\sigma \text{при} a=0$.

Рис. 3.2 

Как видно, чем меньше $\sigma$, тем больший максимум имеет кривая, тем круче она идет. Это означает, что вероятность попадания в некоторый интервал больше для той случайной величины, распределенной по нормальному закону (с параметром $a=0$), для которой величина $\sigma$ меньше. Следовательно, $\sigma$ можно считать характеристикой разброса случайной величины $x$.

Если $a\neq 0$ кривая сдвигается вправо или влево в зависимости от знака $a$.

Площадь, ограниченная любой из этих кривых, остается равной единице.

В данной работе нужно на опыте определить $\sigma_{\text{экс.}}$ и получить конкретный вид функции распределения $f(x)_{\text{э}}$.

Сходные изменения хода графика существуют и для функции распределения Максвелла молекул идеального газа по абсолютным значениям скоростей при изменении абсолютной температуры или рода газа, принимаемого за идеальный. Распределение Максвелла в этом случае имеет вид:

$$f(v)={4\over \sqrt{\pi}}\left({m\over 2kT}\right)^{3\over 2}e^{{}^{-{mv^2\over 2kT}}}v^2 ,$$

где $m$ -- масса молекулы, $T$ -- абсолютная температура, $k$ -- постоянная Больцмана.

Далее: 4.  Выполнение работы Вверх: Изучение статистических закономерностей на Назад: 2.  Вопросы для подготовки