След.: 1.2.  Свободные колебания в Выше: Одиночный колебательный контур Пред.: Одиночный колебательный контур   Содержание

1.1.  Общие сведения

Колебательный контур с сосредоточенными постоянными -- колебательная система, представляющая собой линейную цепь из индуктивности $ L$ , емкости $ C$ и активного сопротивления $ R$ , которые сосредоточены в отдельных участках цепи. Такие контуры называются закрытыми, так как они практически не излучают в окружающее пространство возбужденную в них электромагнитную энергию.

По физическому смыслу колебания в контуре -- результат периодического процесса обмена реактивной энергии электрического поля конденсатора

$\displaystyle W_C ={CU_m^2\over2}$

и магнитного поля катушки индуктивности

$\displaystyle W_L={LI_m^2\over2} .$

При этом напряжение опережает ток в цепи на $ 90^\circ$ .

Для идеального контура, у которого $ R=0$ , а значит

$\displaystyle W_C = W_L$

или

$\displaystyle {CU_m^2\over2} = {LI_m^2\over2} ,$ (1)

можно считать, что колебания будут происходить бесконечно долго.

В реальном контуре наличие активного сопротивления, характеризующего суммарные активные потери в цепи, приводит к затуханию колебаний. Мощность, рассеиваемая на $ R$

$\displaystyle P_R=I^2R ,$

безвозвратно уходит из контура в виде тепла.

Если к цепи, состоящей из последовательно включенных $ L$ , $ C$ и $ R$ (рис.1), подвести внешнюю э.д.с.

$\displaystyle e=E_m
\sin{\omega t} ,$

то процесс в цепи описывается уравнением второго закона Кирхгофа

Image 2x_1
Рис. 1

$\displaystyle U_L +U_R +U_C=e$

или

$\displaystyle L{di\over dt}+ iR + {1\over C}\int{idt} = E_m \sin{\omega t} .$ (2)

Общее решение этого уравнения для тока в колебательном контуре в зависимости от амплитуды первоначального возникшего тока $ I_m$

$\displaystyle i=I_me^{{}^{-{R\over 2L}t}}\sin{\sqrt{{1\over LC}-\left({R\over 2L}\right)^2}}t .$ (3)

Здесь изменение амплитуды тока характеризуется множителем

$\displaystyle e^{{}^{-{R\over 2L}t}} ,$ (4)

а частота свободных колебаний определяется выражением

$\displaystyle \omega_c=\sqrt{{1\over LC}-\left({R\over 2L}\right)^2} .$ (5)

Частное решение уравнения (2) имеет вид:

$\displaystyle i={\dot{E}_m\over\dot{Z}}-\sin(\omega t+\varphi) ,$ (6)

где

$\displaystyle Z =\sqrt{R^2+\left({1\over\omega C}-\omega L\right)^2}$

-- модуль полного сопротивления цепи.


След.: 1.2.  Свободные колебания в Выше: Одиночный колебательный контур Пред.: Одиночный колебательный контур   Содержание

ЯГПУ, Отдел образовательных информационных технологий
2020-01-09