Далее: Приложения Вверх: Примерные задания к Интернет-экзамену Назад: Основные задания к Интернет-экзамену

Дополнительные задания к Интернет-экзамену по математике

1. График производной функции $ y=-2-\frac{x^2}{2}$ имеет вид


\begin{picture}(114.00,21.00)
\put(0.00,10.00){\vector(1,0){24.00}}
\emline{22.0...
...}{77.00}{18.00}{102}
\emline{104.00}{2.00}{103}{94.00}{12.00}{104}
\end{picture}


2. Точка $ A$ с координатами $ A(1;-1)$ принадлежит прямой с уравнением

Варианты ответов: 1) $ y=x$; 2) $ y=2x$; 3) $ y=-x$; 4) $ y=-3x+1$.


3. Найти количество целых значений аргумента, входящих область определения функции:


1) $ y=\frac{\ln\sqrt{25-x^2}}{x};$


2) $ y=\frac{\sqrt{25-x^2}}{x-5};$


3) $ y=\frac{\sqrt{5-x^2}}{x};$


4) $ y=\frac{\sqrt{8-x^2}}{x}.$


4. Найти производную функции

$ y=(x+5)e^x;$ $ y=(x-3)e^x.$


5. Определитель основной матрицы системы линейных уравнений

\begin{displaymath}\begin{cases}\begin{matrix}2x_1&+&x_2&-&3x_3&=&-14\cr
3x_1&+&2x_2&+&x_3&=&5\cr
4x_1&-&x_2&-&2x_3&=&1\end{matrix}\end{cases}\end{displaymath}

равен


6. Радиус окружности, заданной уравнением


1) $ x^2+y^2-10x=0;$


2) $ x^2+8y+y^2=0$

равен


7. Функция $ y=f(x)$ задана на промежутке $ [a;b]$. Найдите количество точек экстремума функции, если график ее производной имеет вид


\begin{picture}(45.00,36.00)
\put(5.00,11.00){\vector(1,0){40.00}}
\bezier{240}(...
...(0,0)[rc]{{\tiny$y=f'(x)$}}}
\put(25.00,3.00){\vector(0,1){24.00}}
\end{picture}


8. Расширенная матрица системы линейных уравнений


\begin{displaymath}\begin{cases}\begin{matrix}2x&+&3y&-&4z&+&t&=&5\cr
-2x&+&2y&-&6z&-&8t&=&-2\cr
\end{matrix}\end{cases}\end{displaymath} имеет размерность


9. Расположите дифференциальные уравнения


$ \frac{dy}{dx}-3y=0$; $ y''-y'=x$; $ 5y'-x=2y'''$


по возрастанию порядка


10. В двух урнах находятся шары разных цветов, причем в первой урне - 3 красных и 1 черный шар, а во второй - 2 красных и 1 черный шар. Из наудачу выбранной урны вынули один шар. Найти вероятность того, что он красный.


11. В урне находятся 5 красных и 5 черных шаров. Поочередно вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара черные.


12. Треугольник $ ABC$ задан координатами своих вершин $ A(2;-3),$ $ B(-4;1),$ $ C(-5;-7).$ $ CD$ - медиана треугольника $ ABC$. Тогда координаты точки $ D$ равны


13. Общий интеграл дифференциального уравнения


1) $ \cos ydy=\frac{dx}{x^2};$


2) $ \frac{dy}{y^2}=xdx;$


3) $ y'=y+5$ имеет вид


14. Даны матрицы $ A=
\begin{pmatrix}1&-2 -4&6\\
\end{pmatrix}$ и $ B=
\begin{pmatrix}-5&3 -4&1\\
\end{pmatrix}$. Тогда решением матричного уравнения $ A+X=B$ является


15. Среди уравнений


1)  $ \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{5}=1$;


2)  $ x^2+y^2+2x-4y-20=0$;


3)  $ \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{16}=1$;


4) $ y^2=6x$


укажите уравнение, определяющее окружность


16. Система линейных уравнений с основной матрицей

$ A=
\begin{pmatrix}0&1&0 -5&-4&6 7&0&-1
\end{pmatrix}$ и вектором правых частей $ B=
\begin{pmatrix}3 -4 5\\
\end{pmatrix}$ имеет вид


17. Точками разрыва функции $ y=\frac{x-4}{x(x+5)}$ являются точки


18. Площадь фигуры, ограниченной линиями


1) $ y=\frac{1}{1+x^2},$ $ x=0,$ $ x=1,$ $ y=0 $;


2) $ y=x^2+1,$ $ x=1,$ $ x=2,$ $ y=0 $;


3) $ y=\cos x,$ $ x=0,$ $ x=\frac\pi3,$ $ y=0 $


равна


19. Найдите производную второго порядка функции $ y=e^{3x+2}.$


20. Для матриц $ A$ и $ B$ найдено произведение $ A\cdot B,$ причем матрица $ A$ имеет вид $ A=
\begin{pmatrix}3&1&-2 5&-3&-1 7&1&0 4&-2&5 2&3&-1
\end{pmatrix}$. Тогда матрица $ B$ имеет


Варианты ответов: 1) 1 строку; 2) 2 строки; 3) 3 строки; 4) 5 строк.


21. График функции $ y=f(x)$ имеет вид


\begin{picture}(24.00,21.00)
\put(0.00,10.00){\vector(1,0){24.00}}
\emline{22.00...
...box(0,0)[cc]{{\tiny 1}}}
\emline{2.07}{9.03}{25}{21.65}{13.92}{26}
\end{picture}

Тогда значение производной функции $ y=f(x)$ при каждом значении аргумента равно


22. Среди определителей


$ D_1=\left\vert
\begin{matrix}5&8 1&2\\
\end{matrix}\right\vert$, $ D_2=\left\vert
\begin{matrix}-5&6 -2&2\\
\end{matrix}\right\vert$, $ D_3=\left\vert
\begin{matrix}7&10 3&4\\
\end{matrix}\right\vert$, $ D_4=\left\vert
\begin{matrix}10&7 4&3\\
\end{matrix}\right\vert$


отличным от остальных является


23. Система состоит из трех устройств, соединенных параллельно. Каждый из них выходит из строя с вероятностью 0,12.



\begin{picture}(36.00,18.00)
\put(11.00,14.00){\framebox (14.00,4.00)[cc]{$S_1$}...
...00}{9}{25.00}{16.00}{10}
\emline{25.00}{9.00}{11}{36.00}{9.00}{12}
\end{picture}


Функционирование системы нарушается, если все три устройства выходят из строя. Тогда вероятность правильного функционирования системы равна


Варианты ответов: 1) $ 1-0,12^3$; 2) $ 0,12^3$; 3) 1; 4)  $ 3\cdot0,12$.


24. Устройство состоит из трех элементов, соединенных последовательно, вероятности выхода которых из строя соответственно равны 0,2, 0,4, 0,5.



\begin{picture}(52.00,5.00)
\emline{0.00}{3.00}{1}{6.00}{3.00}{2}
\put(6.00,1.00...
...x (10.00,4.00)[cc]{$S_3$}}
\emline{46.00}{3.00}{7}{52.00}{3.00}{8}
\end{picture}


Устройство перестает работать при выходе из строя хотя бы одного из элементов $ S_1$, $ S_2,$ $ S_3$. Тогда вероятность выхода устройства из строя равна


25. Точки $ A$ и $ B$ заданы своими координатами $ A(3;7),$ $ B(-2;4).$ Тогда ордината середины отрезка $ AB$ равна


26. Определитель матрицы $ D_1=\left\vert
\begin{matrix}7&10&3 3&4&0 5&-1&1\\
\end{matrix}\right\vert$ равен


27. Укажите соответствие между уравнениями и видами кривых 2 порядка


1)  $ \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{5}=1$;


2)  $ x^2+y^2+2x-4y-20=0$;


3)  $ \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{16}=1$;


4) $ y^2=6x$.

Варианты ответов: 1) эллипс; 2) окружность; 3) гипербола; 4) парабола.


28. Приращение $ \Delta y$ функции $ y=-x^2$ при изменении значения аргумента от -2 до 3 равно


29. Закон движения материальной точки имеет вид $ x(t)=7+5t^2$, где $ x(t)$ - координата точки в момент времени $ t$. Тогда скорость точки при $ t=1$ равна


30. Множество первообразных функции $ f(x)=\cos5x$ имеет вид


31. Комплексное число $ z$ задано радиус-вектором $ \overrightarrow{OP}$



\begin{picture}(24.00,21.00)
\put(0.00,10.00){\vector(1,0){24.00}}
\emline{22.00...
...kebox(0,0)[cc]{{\tiny 1}}}
\put(12.00,10.00){\vector(-1,-3){3.00}}
\end{picture}


Тогда комплексное сопряженное число $ \bar z$ изображается радиус-вектором



\begin{picture}(84.00,21.00)
\put(0.00,10.00){\vector(1,0){24.00}}
\emline{22.00...
...,10.00){\vector(-1,3){3.00}}
\put(72.00,10.00){\vector(1,3){3.00}}
\end{picture}


32. Сумма комплексных чисел $ z_1=\frac52+\frac12i$ и $ z_2=\frac32-\frac32i$ равна


33. Значение функции $ f(z)=2z-2i$ в точке $ z_0=1+2i$ равно


34. Для периодической функции $ y=f(x)$ с периодом $ T=10$ при всех $ x$ из области определения справедливо равенство


Варианты ответов:


1)  $ f(10x)=f(x)$; 2)  $ f(x+10)=f(x)$; 3)  $ f(\frac{x}{10})=f(x)$; 4)  $ f(x+5)=f(x)$.


35. Гармонические колебания с амплитудой $ A$, частотой $ \omega$ и начальной фазой $ \varphi$ определяются уравнением


Варианты ответов:


1)  $ f(x)=A\sin(\omega x-\varphi)$; 2)  $ f(x)=A\sqrt{\omega
x-\varphi}$;


3)  $ f(x)=\frac{A}{\omega x-\varphi}$; 4)  $ f(x)=A(\omega
x-\varphi)$.


36. Функция $ y=f(x)$ определена на промежутке $ [0;2\pi]$. График функции на этом промежутке и его периодическое продолжение показаны на рисунке



\begin{picture}(35.00,15.00)
\put(0.00,3.00){\vector(1,0){35.00}}
\put(12.00,1.0...
...ebox(0,0)[cc]{$2\pi$}}
\put(32.00,1.00){\makebox(0,0)[cc]{$4\pi$}}
\end{picture}


Тогда ряд Фурье этой функции имеет вид


Варианты ответов:


1)  $ \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\sin nx$; 2)  $ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n\sin nx$;


3)  $ \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cos nx$; 4)  $ \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n\cos nx+b_n\sin
nx)$.


37. Укажите соответствие между областями и их геометрическими интерпретациями


1)  $ -1<{\rm Re} x<1$;


2)  $ {\rm Re} x>1$;


3)  $ {\rm Im} x>1$;


4)  $ {\rm Re} x<1$



\begin{picture}(77.00,20.00)
\put(0.00,10.00){\vector(1,0){20.00}}
\put(10.00,0....
...0}{117}{75.00}{4.00}{118}
\put(64.00,9.00){\makebox(0,0)[cc]{$1$}}
\end{picture}


38. Установите соответствие между периодическими функциями и значениями их периодов


1)  $ y=\cos\pi x;$


2)  $ y=\tg\frac{3\pi x}{2};$


3)  $ y=\sin\frac{\pi x}{2}$.


Варианты ответов: $ \frac 23$, 2, 4, 1, $ \pi$.


39. Дано дифференциальное уравнение $ y'=(2k-2)x^3$. Тогда функция $ y=x^4-3$ является его решением при $ k$, равном


Варианты ответов: 2, 1, 0, 3.


Далее: Приложения Вверх: Примерные задания к Интернет-экзамену Назад: Основные задания к Интернет-экзамену

ЯГПУ, Отдел образовательных информационных технологий
23.11.2011