Далее: Домашнее задание № 8 Вверх: I. Учебно-тренировочные материалы по Назад: Домашнее задание № 7

Тема 7. Производная и ее приложения

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ФАКТЫ

Определение: производная функции $ f \left( x \right)$ в точке $ x_0 $:

$\displaystyle {f}' \left( {x_0 } \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \t...
... 1pt} x} \right) - f \left(
{{\kern 1pt} x_0 } \right)}{\Delta {\kern 1pt} x}
$

Физический смысл производной: $ {f}' \left( {x_0 } \right) = v_{мгн} {\kern 1pt} \left( {x_0 } \right)$, если $ f \left( x \right) \quad - $ закон перемещения точки.

Геометрический смысл производной: $ {f}' \left( {x{ }_0} \right) = tg \alpha $, где $ \alpha $ - угол между касательной к графику функции $ y = f \left( x \right)$, проведенной в точке графика с абсциссой $ x_0 $, и положительным направлением оси $ {\rm O}x$.

Правила дифференцирования:

1. $ \left( {{\kern 1pt} f\;\pm \;g{\kern 1pt} } \right)^\prime = {f}'\;\pm
\;{g}'$;

2. $ \left( {{\kern 1pt} f\; \cdot \;g} \right)^\prime = {f}' \cdot g\; + f
\cdot {g}'$;

3. $ \left( {{\kern 1pt} c \cdot f} \right)^\prime = c \cdot {f}'$ (где $ с$ - константа);

4. $ \left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime = \frac{{f}' \cdot g\; - \;f \cdot
{g}'}{g^2}$;

5. $ \left( {{\kern 1pt} g \left( {f \left( x \right)} \right)}
\right)^\prime = {g}' \left( {f \left( x \right)} \right) \cdot {f}'\left(
x \right)$ - производная сложной функции.

Уравнение касательной к графику функции $ y = f \left( x \right)$ в его точке с абсциссой $ x_0 $:

$\displaystyle y = f\;\left( {x_0 } \right) + {f}' \left( {x_0 } \right) \left( {x - x_0
} \right).
$

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

Функция Производная Функция Производная
k (константа) 0 $ \sin x$ $ \cos  x$
$ x^n$ $ n x^{n - 1}$ $ \cos  x$ $ - \sin x$
$ e^x$ $ e^x$ tg $ x$ $ \frac{1}{\cos ^2x}$
$ a^x$ $ a^x\ln a$ ctg $ x$ $ - \frac{1}{\sin ^2x}$
$ \ln x$ $ \frac{1}{x}$ $ \log _a x$ $ \frac{1}{x \ln a}$

Примеры: 1. Найти производные следующих функций:

а) $ y = x^5 + 2x^3 - x + 5;\quad \quad {y}' = 5x^4 + 2 \cdot 3x^2 - 1 = 5x^4
+ 6x^2 - 1$;

б) $ y = x \cdot \sin x;\quad \quad {y}' = {x}' \cdot \sin x + x \cdot \left(
{\sin x} \right)^\prime = \sin x + x\;\cos  x$;

в) $ y = \frac{x^3}{x + 1};\quad \quad {y}' = \frac{\left( {x^3}
\right)^\prime \cd...
...- x^3}{\left( {x + 1} \right)^2} = \frac{2x^3 + 3x^2}{\left( {x + 1}
\right)^2}$;

г) $ y = \sqrt x  \left( {\frac{1}{x} + 1} \right);\quad \quad {y}' = \left(
{\sqr...
...}\left(
{\frac{1}{x} + 1} \right) + \sqrt x  \left( { - \frac{1}{x^2}} \right)$;

д) $ y = \ln  \left( {x^2 + 1} \right);\quad \quad {y}' = \frac{1}{x^2 + 1}
\cdot \left( {x^2 + 1} \right)^\prime = \frac{2x}{x^2 + 1}$.

2. Составить уравнение касательной к графику функции $ f \left( x \right) =
x{ }^3 - 2x^2 + 1$ в точке с абсциссой 2.

Решение: общий вид уравнения: $ y = f \left( 2 \right) + {f}' \left( 2
\right) \left( {x - 2} \right)$;

$\displaystyle f \left( 2 \right) = 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 1 = 1;\quad \quad {f}'\...
... = 3x^2 - 4x;\quad \quad {f}' \left( 2 \right) = 3 \cdot 2^2 - 4
\cdot 2 = 4.
$

Тогда уравнение касательной примет вид: $ y = 1 + 4 \cdot \left( {x - 2}
\right)\quad \Rightarrow \quad y = 4x - 7$.

3. Найти промежутки возрастания и убывания функции $ f \left( x \right) =
3x^2 - x^3$.

$ Решение: \quad f \left( x \right)$ убывает, если $ {f}' \left( x \right) < 0$; $ f \left( x \right)$ возрастает, если $ {f}' \left( x \right) > 0$.

Для заданной функции $ {f}' \left( x \right) = 6x - 3x^2$.

Найдем экстремумы заданной функции из уравнения $ {f}' \left( x \right) =
0$:

$\displaystyle 6x - 3x^2 = 0;\quad \;3x \left( {2 - x} \right) = 0;\quad \;x_1 = 0;\;\;x_2
= 2;
$

$\displaystyle 3x \left( {2 - x} \right) \le 0{\rm п}{\rm р}{\rm и}
\quad
x \in \left[ {{\kern 1pt} 0;\;2{\kern 1pt} } \right];
$

$\displaystyle 3x \left( {2 - x} \right) \ge 0{\rm п}{\rm р}{\rm и}
\quad
x \in...
...1pt} } \right] \cup \left[
{{\kern 1pt} 2;\; +  \infty {\kern 1pt} } \right).
$

Итак, заданная функция возрастает на промежутках $ \left( {{\kern 1pt} -
 \infty ;\;0{\kern 1pt} } \right] \cup \left[ {{\kern 1pt} 2;\; +  \infty
{\kern 1pt} } \right)$ и убывает на отрезке $ \left[ {{\kern 1pt} 0;\;2{\kern
1pt} } \right]$.

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $ y = 3x - x^3$ на отрезке $ \left[ {{\kern 1pt} - 3;\;2{\kern 1pt} } \right]$.

$ Решение: \quad y \left( { - 3} \right) = 3 \cdot \left( { - 3} \right) - \lef...
...}
\right)^3 = - 9 + 27 = 18;\quad \;y \left( 2 \right) = 3 \cdot 2 - 2^3 = -
2$;

$\displaystyle {y}' = 3 - 3x^2;\quad \;3 - 3x^2 = 0;\quad \;1 - x^2 = 0\quad \Rightarrow
\quad x_1 = 1;\;\;x_2 = - 1;
$

$\displaystyle y \left( {{\kern 1pt} 1{\kern 1pt} } \right) = 3 - 1 = 2;\quad \...
...\left( { - 1{\kern 1pt} }
\right) - \left( { - 1{\kern 1pt} } \right)^3 = - 2.
$

Наибольшее значение $ y = 18$ достигается при $ x = - 3$.

Наименьшее значение $ y = - 2$ достигается при $ x = - 1$ и $ x = 2$.

5. Точка движется по прямой, причем пройденный путь определяется формулой $ S \left( { t } \right) = 21 - 2 t + t^4$. Найти ее скорость в момент времени $ t = 3$.

Решение: Воспользуемся определением мгновенной скорости $ \upsilon  \left( { t }
\right) = {S}' \left( { t } \right)$.

В нашем случае $ \upsilon  \left( { t } \right) = \left( { 21 - 2 t +
t^4{\kern 1pt} {\kern 1pt} } \right)^\prime $.

$\displaystyle \upsilon  \left( { t } \right) = - 2 + 4 t^3;\quad \quad \qua...
... \right) = - 2 + 4 \cdot \left( {  + 3 } \right)^3 = - 2 +
4 \cdot 27 = 106.
$

Ответ: 106.

6. Из квадратного листа жести со стороной $ а$ см изготавливают коробку. Для этого от его углов отрезают одинаковые квадраты и загибают края по пунктирным линиям. При каких размерах отрезаемых квадратов объем коробки будет наибольшим? Найти этот объем.

\includegraphics{D:/html/work/link1/metod/met146/s29r1.eps}

Решение: Обозначим сторону каждого из отрезаемых квадратов за $ х$ (см). Тогда дно коробки будет квадратом со стороной $  \left( { a - 2 x } \right)$ (см). Высота коробки составит $ х$ (см). Представим объем коробки формулой: $ V = x
\cdot \left( { a - 2 x } \right)^2$ (см$ ^{3})$.

Теперь задача заключается в нахождении наибольшего значения функции $ \upsilon  \left( { x } \right) = x \cdot \left( { a - 2 x }
\right)^2$ на интервале $  \left( { 0;\;{\kern 1pt} \frac{a}{2} }
\right)$. Для нахождения точек экстремума составим уравнение $ {\upsilon
}'{\kern 1pt}  \left( { x } \right) = 0$.

$\displaystyle {\upsilon }' \left( { x } \right) = \left( { x \cdot \left( {...
...( { a - 2 x } \right){\kern 1pt} {\kern 1pt}
\left( { a - 6 x } \right);
$

$\displaystyle \left( { a - 2 x } \right){\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( { a - 6 x }
\right) = 0;\quad \quad x_1 = \frac{a}{2};\quad x_2 = \frac{a}{6}.
$

Но $ х_{1}$ не принадлежит интервалу $  \left( { 0;\;{\kern 1pt} \frac{a}{2} }
\right)$.

Рассмотрим точку $ x_2 = \frac{a}{6}$. При переходе через нее производная меняет свои значения с положительных на отрицательные. Следовательно, в точке $ х_{2}$ функция $ \upsilon  \left( { x } \right)$ достигает локального максимума.

Критическая точка $ \frac{a}{6}$ на интервале $  \left( { 0;\;{\kern 1pt} \frac{a}{2} }
\right)$ единственная, следовательно, она является точкой максимума исследуемой функции на интервале $  \left( { 0;\;{\kern 1pt} \frac{a}{2} }
\right)$. Это значит, что наибольший объем изготавливаемой коробки будет достигаться, если от углов исходного листа жести отрезать квадраты со стороной $ \frac{a}{6}$ (см).

Вычислим наибольший объем коробки:

$\displaystyle V \left( { \frac{a}{6} } \right) = \frac{a}{6} \cdot \left( {\...
...cdot
\frac{4}{9} {\kern 1pt} a^2 = \frac{2}{27} {\kern 1pt} {\kern 1pt} a^3.
$



Подраздел
Далее: Домашнее задание № 8 Вверх: I. Учебно-тренировочные материалы по Назад: Домашнее задание № 7

ЯГПУ, Отдел образовательных информационных технологий
14.10.2010