Далее: Домашнее задание № 9 Вверх: I. Учебно-тренировочные материалы по Назад: Домашнее задание № 8

Тема 8. Первообразная и интеграл

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ФАКТЫ

Определение: $F \left( x \right) \quad -$ первообразная функции $f \left( x \right)$, если $\left( {{\kern 1pt} F \left( x \right)} \right)^\prime = f \left( x \right)$.

Правила нахождения первообразных:

1. Постоянный коэффициент можно выносить за знак интегрирования:

функции $k \cdot f \left( x \right)$ соответствует первообразная $k \cdot F \left( x \right)$.

2. Первообразная суммы функций равна сумме первообразных этих функций:

сумме функций $f_1 \left( x \right) + f_2 \left( x \right)$ соответствует сумма первообразных $F_1 \left( x \right) + F_2 \left( x \right)$.

Формула Ньютона - Лейбница (для нахождения значения определенного интеграла):

$$\int\limits_a^b {f \left( x \right)\;dx} = F \left( b \right) - F \left( a \right).$$

Геометрический смысл определенного интеграла $\int\limits_a^b {f \left( x \right)\;dx}$:

Абсолютная величина значения определенного интеграла равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком подынтегральной функции $f \left( x \right)$, осью абсцисс и прямыми $x = a,\quad x = b$.

ТАБЛИЦА ПЕРВООБРАЗНЫХ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

Функция	Общий вид первообразной	Функция	Общий вид первообразной
k (константа)	$k x + C$	$\sin x$	$- \cos x + C$
$x^n\;\left( {{\kern 1pt} n \ne - 1{\kern 1pt} } \right)$	$\frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$	$\cos x$	$\sin x + C$
$\frac{1}{x}$	$\ln \left\vert {{\kern 1pt} x{\kern 1pt} } \right\vert + C$	$\frac{1}{\cos ^2x}$	tg $x+С$
$e^x$	$e^x + C$	$\frac{1}{\sin ^2x}$	-ctg $x+С$
$a^x$	$\frac{a^x}{\ln a} + C$

Примеры: 1. Найти общий вид первообразной для функции $f \left( x \right)$ на промежутках:

а) $f \left( x \right) = - x^3$ на $\left( {{\kern 1pt} - \infty ;\; + \infty {\kern 1pt} } \right)$; $F \left( x \right) = - \frac{x^4}{4} + C$;

б) $f \left( {{\kern 1pt} x} \right) = x + \cos x$ на $\left( {{\kern 1pt} - \infty ;\; + \infty {\kern 1pt} } \right)$; $F \left( x \right) = \frac{x^2}{2} + \sin x + C$;

в) $f \left( {{\kern 1pt} x} \right) = 2 - \frac{1}{x^2}$ на $\left( {{\kern 1pt} - \infty ;\;0{\kern 1pt} } \right) \cup \left( {{\kern 1pt} 0;\; + \infty {\kern 1pt} } \right)$; $F \left( x \right) = 2x + \frac{1}{x} + C$.

2. Вычислить интеграл: а) $\int\limits_1^2 {x\;dx = \left. {\frac{x^2}{2} } \right\vert} _{{\kern 1pt} 1}^{{\kern 1pt} 2} = \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} = 1,5$;

б) $\int\limits_{ - 1}^2 {x^2\;dx = \left. {\frac{x^3}{3} } \right\vert} _{ - {\k... ...ern 1pt} 2} = \frac{2^3}{3} - \frac{\left( { - 1{\kern 1pt} } \right)^3}{3} = 3$; в) $\int\limits_1^{10} { \frac{dx}{x^2} = \left. { - \frac{1}{x} } \right\vert} ... ... 1pt} 1}^{10} = - \frac{1}{10} - \left( { - \frac{1}{1}} \right) = \frac{9}{10}$;

г) $\int\limits_{ - \pi }^{2{\kern 1pt} {\kern 1pt} \pi } {\sin \frac{x}{3}{\kern ... ...}{3}} \right)} \right) = - 3 \left( { - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}} \right) = 3$.

3. Найти первообразную функции $f \left( { x } \right) = 4 x^3 - 3 x^2$, для которой $F \left( { 1 } \right) = 3$.

Решение: $\int {f \left( { x } \right) {\kern 1pt} dx = F \left( { x } \right) + C}$.

В нашем случае: $\int {\left( { 4 x^3 - 3 x^2 } \right) {\kern 1pt} dx = x^4 - x^3 + C}$.

Найдем $С$ из условия $F \left( { 1 } \right) = 3$: $1^4 - 1^3 + C = 3;\quad \quad 0 + C = 3;\quad \quad C = 3$.

Следовательно, искомая первообразная имеет вид $F \left( { x } \right) = x^4 - x^3 + 3$.

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2$ и $y = x + 2$.

Решение: Изобразим фигуру, площадь которой требуется найти.

Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = x + 2$.

$$x^2 = x + 2;\quad \quad x^2 - x - 2 = 0; x_1 = - 1;\quad \;x_2 = 2.$$

Заданная фигура сверху ограничена прямой $y = x + 2$, а снизу - дугой параболы $y = x^2$.

Площадь заданной фигуры вычисляется как разность площадей трапеции ABCD и криволинейной трапеции ABОCD.

1 способ. Вычислим площадь $S_{1}$ трапеции ABCD по геометрической формуле:

$$S_1 = \frac{1}{2} \left( { AB + CD } \right) \cdot AD;\quad \quad S_1 = \frac{1}{2} \left( { 1 + 4 } \right) \cdot 3 = 7,5.$$

Площадь $S_{2}$ криволинейной трапеции ABОCD найдем по формуле Ньютона-Лейбница:

$$S_2 = \int\limits_{ - 1}^2 {x^2 {\kern 1pt} dx} = \left. {\frac{... ...= \frac{2^3}{3} - \frac{\left( { - 1 } \right)^3}{3} = \frac{8 + 1}{3} = 3.$$

$S_{{\rm ф}{\rm и}{\rm г}{\rm у}{\rm р}{\rm ы}}=S_{1} \quad - \quad S_{2}$ = 7,5 - 3 = 4,5 (кв. ед.).

2 способ. Найдем площадь заданной фигуры с помощью интеграла:

$\int\limits_{ - 1}^2 {\left( { x + 2 - x^2 } \right) {\kern 1pt} {\kern 1pt... ...{3} + 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{9}{3} + \frac{3}{2} = 3 + 1,5 = 4,5$(кв. ед.).

5. Вычислить определенный интеграл, пользуясь его геометрическим смыслом: $\int\limits_1^3 {\sqrt {\left( { 4 x - x^2 - 3 } \right)} \;dx = \frac{\pi }{2}}$.

Подынтегральная функция: $y = \sqrt {\left( { 4 x - x^2 - 3 } \right)}$.

Тогда $y^2 = 4 x - x^2 - 3$, значит, $y^2 + x^2 - 4 x + 4 = 1$; имеем уравнение окружности $\left( { x - 2 } \right)^2 + y^2 = 1$. Нужная нам фигура - верхняя половина круга, ограниченного указанной окружностью (см. рисунок).

Далее: Домашнее задание № 9 Вверх: I. Учебно-тренировочные материалы по Назад: Домашнее задание № 8