Далее: Домашнее задание № 12 Вверх: I. Учебно-тренировочные материалы по Назад: Домашнее задание № 11

Тема 11. Примеры типовых заданий уровня $C_{1}$ и $C_{2}$ (из контрольно-измерительных материалов егэ)

1. Решить уравнение: $\cos {\kern 1pt} 16x \cdot \sin 4x - 1 = 0$.

Решение: Перепишем уравнение в виде $\cos {\kern 1pt} 16x \cdot \sin 4x = 1$.

Оно будет равносильно совокупности двух систем:

$$\left[ {\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{l} \cos 16x = 1 \... ...ern 1pt} \;\left( {{\kern 1pt} 2{\kern 1pt} } \right) \\ \end{array}} \right.$$

Проверим, совместны ли данные системы.

Рассмотрим (1):

Подставим $х$ в левую часть первого уравнения:

$$\cos 16 \cdot \left( {\frac{\pi }{8} + \frac{\pi {\kern 1pt} {\ke... ...i {\kern 1pt} n} \right) = \cos {\kern 1pt} {\kern 1pt} 2{\kern 1pt} \pi = 1..$$

Значение левой части совпало со значением правой части уравнения.

Следовательно, $x = \frac{\pi }{8} + \frac{\pi {\kern 1pt} {\kern 1pt} n}{2},\;\;n \in {\rm Z}$ - решение первой системы.

Рассмотрим (2):

Подставим $х$ из второй строки в левую часть первого уравнения этой системы:

$$\cos 16 \cdot \left( { - \frac{\pi }{8} + \frac{\pi {\kern 1pt} {... ...kern 1pt} {\kern 1pt} \left( { - 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} \pi } \right) = 1.$$

В данном случае получаем значение, не совпадающее со значением правой части уравнения. Следовательно, вторая система несовместна. Общее решение совокупности совпадает с решением первой системы.

Ответ: $\quad \frac{\pi }{8} + \frac{\pi {\kern 1pt} {\kern 1pt} n}{2},\;\;n \in {\rm Z}$.

2. Решить систему уравнений: $\left\{ {\begin{array}{l} 16^{\cos x} - 10 \cdot 4^{\cos x} + 16 = 0 \\ \sqrt y + 2{\kern 1pt} \sin x = 0 \\ \end{array}} \right.$.

Решение: Первое уравнение системы относительно $4^{\cos x}$ является квадратным.

Пусть $4^{\cos x} = t$; тогда $t^2 - 10t + 16 = 0;\quad t_1 = 8;\quad t_2 = 2$.

Значит, $4^{\cos x} = 8$ или $4^{\cos x} = 2$, откуда получаем два простейших тригонометрических уравнения: $\cos x = \frac{3}{2}$ или $\cos x = \frac{1}{2}$. Первое уравнение не имеет решений, так как $\cos x \le 1$.

Следовательно, $\cos x = \frac{1}{2}$. Для $\cos x = \frac{1}{2} \quad \sin x$имеет два значения: $\frac{\sqrt 3 }{2}$ или $- \frac{\sqrt 3 }{2}$.

Рассмотрим второе уравнение исходной системы:

$$\sqrt y + 2 \cdot \frac{\sqrt 3 }{2} = 0{\rm л}{\rm и}{\rm б}{\rm о} \quad \sqrt y - 2 \cdot \frac{\sqrt 3 }{2} = 0.$$

Первый вариант не дает решений. Следовательно, $\sqrt y = \sqrt 3 ,\quad y = 3$.

Ответ: $\quad \left( { - \frac{\pi }{3} + 2{\kern 1pt} \pi {\kern 1pt} n,\;{\kern 1pt} n \in {\rm Z};\;\;3{\kern 1pt} } \right)$.

3. Решить уравнение: $\sqrt {10 + \frac{1}{\log _x 2}} = 2 \log _2 \left( {{\kern 1pt} 0,5 \sqrt x } \right)$.

Решение: Область определения уравнения $x > 0,\;\;x \ne 1$, то есть $\left( {{\kern 1pt} 0;\;1{\kern 1pt} } \right) \cup \left( {{\kern 1pt} 1;\; + {\kern 1pt} {\kern 1pt} \infty {\kern 1pt} } \right)$.

Упростим уравнение: $\sqrt {10 + \log _2 x} = 2\;\log _2 0,5 + 2\;\log _2 x^{0,{\kern 1pt} {\kern 1pt} 5}$; $\sqrt {10 + \log _2 x} = - 2 + \log _2 x$.

Пусть $\log _2 x = t$, тогда $\sqrt {10 + t} = t - 2$ (*), значит, $t \ge 2$.

Возведем в квадрат иррациональное уравнение (*). Получим $10 + t = t^2 - 4{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} t + 4$;

$$t^2 - 5 t - 6 = 0;\quad t_1 = - 1,\quad t_2 = 6.$$

Условиям задачи удовлетворяет $t_2 = 6$. $\log _2 x = 6;\quad x = 2^6 = 64$.

Ответ: 64.

4. При каких значениях $а$ выражение $\left( {{\kern 1pt} {\kern 1pt} 1 - \left\vert { x } \right\vert{\kern 1pt} ... ... x } \right\vert} \right){\kern 1pt} - \left\vert { a - 1 } \right\vert}$ больше значения выражения $0,2^{4 - a^2 - \log _{25} \left( { 1 + x^2 - 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} \left\vert { x } \right\vert} \right)}$ при всех допустимых значениях $х$ ?

Решение: Перейдем к одинаковому основанию степени в обоих выражениях:

$$\left( {{\kern 1pt} {\kern 1pt} 1 - \left\vert { x } \right\ver... ...,x } \right\vert} \right) {\kern 1pt} - \left\vert { a - 1 } \right\vert};$$

$$0,2^{4 - a^2 - \log _{25} \left( { 1 + x^2 - 2{\kern 1pt} {\kern... ... 4 + \log _5 \left( {{\kern 1pt} 1 - \left\vert { x } \right\vert} \right)}.$$

Введем новую переменную $t = \log _5 \left( {{\kern 1pt} 1 - \left\vert { x } \right\vert} \right)$.

Ее наибольшее значение, равное нулю, достигается при $х$ = 0. То есть $t \le 0$.

По условию задачи выполняется неравенство: $t {\kern 1pt} \left( {{\kern 1pt} t - \left\vert { a - 1 } \right\vert} \right) > t + a^2 - 4$, для $t \le 0$.

Отсюда $t^2 - \left( {{\kern 1pt} \left\vert { a - 1 } \right\vert + 1{\kern 1pt} } \right) t + 4 - a^2 > 0,\quad t \le 0$.

У квадратичной функции, стоящей в левой части неравенства, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, а абсцисса вершины параболы положительна. Данное неравенство будет верно для всех неположительных $t$ в том и только в том случае, когда свободный член квадратного трехчлена больше нуля.

Следовательно, $a^2 < 4,\quad a \in \left( {{\kern 1pt} - 2;\;2{\kern 1pt} } \right)$.

Ответ: $\quad \left( {{\kern 1pt} - 2;\;2{\kern 1pt} } \right)$.

5. Решить уравнение: $\frac{\sqrt[{3 }]{19 + x}}{x} + \frac{\sqrt[{3 }]{x + 19}}{19} = \frac{81}{304}\sqrt[{3 }]{x}$.

Решение: При $x \ne 0$ уравнение преобразуем к виду: $\frac{\sqrt[{3 }]{19 + x} {\kern 1pt} \left( {x + 19{\kern 1pt} } \right)}{19{\kern 1pt} {\kern 1pt} x} = \frac{81}{304}\sqrt[{3 }]{x}$.

Тогда $\sqrt[{3}]{\left( {\frac{19 + x}{x}} \right)^4} = \frac{81}{16}$. Перепишем уравнение в виде: $\left( {\frac{19 + x}{x}} \right)^{\frac{4}{3}} = \left( {\frac{3}{2}} \right)^4$.

Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:

$$\left[ {\begin{array}{l} \frac{19 + x}{x} = \frac{27}{8} \\ \fra... ...nd{array}} \right.\quad \Rightarrow \quad x_1 = 8;\quad x_2 = - 4\frac{12}{35}$$

Ответ: $\quad 8;\quad - 4\frac{12}{35}$.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

Использование свойства ограниченности

1. Решить уравнение: $\sin \left( { \pi x } \right) + \cos {\kern 1pt} \left( { \pi x } \right) = 2^{\log _3 \sqrt {x^2 - \frac{x}{2} + \frac{49}{16}} }$.

Решение: Пусть $f_1 \left( { x } \right) = \sin \left( { \pi x } \right) + \cos {\kern 1pt} \left( { \pi x } \right)$. $f_2 \left( { x } \right) = 2^{\log _3 \sqrt {x^2 - \frac{x}{2} + \frac{49}{16}} }$.

Оценим $f_1 \left( { x } \right)$ и $f_2 \left( { x } \right)$:

1) $\sin \left( { \pi x } \right) + \cos {\kern 1pt} \left( { \pi x } ... ...t) = \sqrt 2 \sin {\kern 1pt} \left( { \pi x + \frac{\pi }{4}} \right)$;

$$f_1 \left( { x } \right) = \sqrt 2 \sin {\kern 1pt} \le... ...left( { - \sqrt 2 } \right) \le f_1 \left( { x } \right) \le \sqrt 2 ;$$

$$f_1 \left( { x } \right) = \sqrt 2 {\rm п}{\rm р}{\rm и} \quad \sin {\kern 1pt} \left( { \pi x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1.$$

Тогда $\pi x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + 2 \pi k,\quad \;x + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + 2 k$.

Значит, при $x = \frac{1}{4} + 2 k$, где $k$ - целое число, $f_1 \left( { x } \right)$ принимает наибольшее значение.

2) оценку второй функции начнем с подкоренного выражения:

$$x^2 - \frac{x}{2} + \frac{49}{16} = x^2 - 2 \cdot \frac{1}{4} x ... ... \right)^2 + 3 ;\quad \quad \left( { x - \frac{1}{4} } \right)^2 + 3 \ge 3;$$

следовательно, для любого действительного $х$ имеем:

$$\sqrt { \left( { \left( { x - \frac{1}{4} } \right)^2 + 3} \right)} \ge \sqrt 3 ;$$

$$\log _3 \sqrt { \left( { \left( { x - \frac{1}{4} } \right)^2 + 3} \right)} \ge \log _3 \sqrt 3 .$$

Это означает, что $\log _3 \sqrt { \left( { \left( { x - \frac{1}{4} } \right)^2 + 3} \right)} \ge \frac{1}{2}$; $2^{\log _3 \sqrt {x^2 - \frac{x}{2} + \frac{49}{16}} } \ge 2^{\left( {\frac{1}{2}} \right)}$.

Тогда $f_2 \left( { x } \right) \ge \sqrt {{\kern 1pt} {\kern 1pt} 2}$ для любого действительного $х$, причем $f_2 \left( { x } \right) = \sqrt {{\kern 1pt} {\kern 1pt} 2}$ при $x = \frac{1}{4}$.

Сравним $f_1 \left( { x } \right)$ и $f_2 \left( { x } \right)$. Замечаем, что $f_2 \left( { x } \right)$ ограничена снизу и достигает наименьшего значения, равного $\sqrt 2$, только в точке $x = \frac{1}{4}$; в этой же точке $f_1 \left( { x } \right)$ достигает своего наибольшего значения $\sqrt 2$. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень $x = \frac{1}{4}$. Ответ: $\quad x = \frac{1}{4}$.

Использование области определения

2. Решить уравнение: $3^{\sqrt { 4 - x^2} } = \lg \left( { 1 + \sqrt { x^2 - 4} } \right) + 3 x - x^2 - 1$.

Решение:

Найдем область определения уравнения, составив систему:

$$\left\{ {\begin{array}{l} 4 - x^2 \ge 0 \\ x^2 - 4 \ge 0 \\ \en... ... 2 \\ \end{array}} \right. {\kern 1pt} ;\quad \quad x_1 = 2;\quad x_2 = - 2.$$

Следовательно, область определения заданного уравнения состоит из двух точек. Решения могут находиться только среди них. Подставим каждое из найденных значений $х$ в исходное уравнение:

1) $х$ = 2; $3^{\sqrt { 4 - 2^2} } = \lg \left( { 1 + \sqrt { 2^2 - 4} } \right) + 3 \cdot 2 - 2^2 - 1$;

$$3^0 = \lg 1 + 1 ;\quad \quad 1 = 0 + 1 ;\quad \quad 1 = 1.$$

Верное равенство.

Следовательно, $х = 2$ является корнем уравнения.

2) $х= - 2$;

$$3^{\sqrt { 4 {\kern 1pt} - {\kern 1pt} \left( { - 2 } \right) ^2} } = 3^0 = 1;$$

$$\lg \left( { 1 + \sqrt { \left( { - 2 } \right)^2 - 4} }... ... + 3 \cdot \left( { - 2 } \right) - \left( { - 2 } \right)^2 - 1 = - 11.$$

Значение левой части не совпадает со значением правой части.

Значит, $х= -$ 2 не является корнем уравнения. Ответ: $\quad х$ = 2.

Использование свойства знакопостоянства

3. Решить уравнение: $\lg ^2 \left( { x^2 + 3 x + 3 } \right) + \sqrt { x^2 - 4 x - 5} = 0$.

Решение:

Левая часть уравнения - сумма двух неотрицательных величин. Она будет равна нулю, если оба эти слагаемые одновременно равны нулю.

$$\left\{ {\begin{array}{l} \lg \left( { x^2 + 3 x + 3 }... ... 1 ;\quad x = - 2 \\ x = - 1 ;\quad x = 5. \\ \end{array}$$

Общий корень уравнений $х= -$ 1.

Ответ: $\quad х= -$ 1.

Использование свойства монотонности

Если функции, образующие уравнение или неравенство, имеют разный характер монотонности на области определения уравнения (неравенства), то их значения совпадают только в одной точке.

4. Решить уравнение: $3^x + 4^x = 5^x$.

Решение:

Методом наблюдений определяется корень $х$ = 2, так как $3^2 + 4^2 = 5^2$.

Докажем, что других решений нет. Перепишем уравнение в виде:

$$\frac{3^x}{4^x} + 1 = \frac{5^x}{4^x} ;\quad \quad \left( { \frac{3}{4} } \right)^x + 1 = \left( { \frac{5}{4} } \right)^x.$$

Показательная функция, стоящая слева, убывающая, а показательная функция, стоящая справа - возрастающая. Значит, кроме как в точке $х$ = 2, их значения совпадать не будут.

Следовательно, $х$ = 2 и есть единственное решение заданного уравнения.

Ответ: $\quad х$ = 2.

Применение неравенства $a + \frac{1}{a} \ge 2 при a > 0$

5. Решить уравнение: $2^x + 2^{ - x} = 2 \cos \frac{x^2 + x}{6}$.

Решение:

Левая часть может быть представлена в виде $2^x + \frac{1}{2^x}$. Следовательно, она принимает значения не меньше 2.

В силу ограниченности косинуса правая часть уравнения не превосходит 2.

Тогда исходное уравнение превращается в верное равенство только для $х$, удовлетворяющих системе уравнений: $\left\{ {\begin{array}{l} 2^x + \frac{1}{2^x} = 2 \\ \cos \frac{x^2 + x}{6} = 1 \\ \end{array}} \right.$.

Решение первого уравнения $x = 0$. Подставим во второе уравнение: $\cos \frac{0^2 + 0}{6} = \cos {\kern 1pt} 0 = 1$.

Следовательно, решением системы и, соответственно, решением исходного уравнения является $x = 0$.

Ответ: $\quad x = 0$.

Далее: Домашнее задание № 12 Вверх: I. Учебно-тренировочные материалы по Назад: Домашнее задание № 11