Далее: Домашнее задание № 1 Вверх: II. Учебно-тренировочные материалы по Назад: II. Учебно-тренировочные материалы по

Тема 1. Методы решения планиметрических задач

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ФАКТЫ

1. Треугольники

По соотношению сторон треугольники разделяются на разносторонние и равнобедренные (в том числе и равносторонние).

По величине наибольшего угла треугольники разделяются на остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.

Признаки равенства треугольников:

1. По двум сторонам и углу между ними:

$$\Delta ABC = \Delta A_1 B_1 C_1 \;,{\rm е}{\rm с}{\rm л}{\rm и} \quad AB = A_1 B_1 ,\;AC = A_1 C_1 ,\;\angle A = \angle A_1 .$$

2. По стороне и двум прилежащим к ней углам:

$$\Delta ABC = \Delta A_1 B_1 C_1 \;,{\rm е}{\rm с}{\rm л}{\rm ... ...BC = B_1 C_1 ,\;\;\angle B = \angle B_1 ,\;\angle C = \angle C_1 .$$

3. По трем сторонам:

$$\Delta ABC = \Delta A_1 B_1 C_1 \;,{\rm е}{\rm с}{\rm л}{\rm и} \quad AB = A_1 B_1 ,\;BC = B_1 C_1 ,\;CA = C_1 A_1 .$$

Признаки подобия треугольников:

1. $\Delta ABC\;\infty \;\Delta A_1 B_1 C_1 \;$, если $\;\angle A = \angle A_1 ,\;\;\angle B = \angle B_1$.

2. $\Delta ABC\;\infty \;\Delta A_1 B_1 C_1 \;$, если $\;\angle A = \angle A_1 ,\;\;\frac{AB}{A_1 B_1 } = \frac{AC}{A_1 C_1 }$.

3. $\Delta ABC\;\infty \;\Delta A_1 B_1 C_1 \;$, если $\frac{AB}{A_1 B_1 } = \frac{BC}{B_1 C_1 } = \frac{AC}{A_1 C_1 }$.

Средняя линия - отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Медиана - отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса - отрезок, выходящий из вершины треугольника и делящий угол пополам.

Биссектриса угла треугольника делит его противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Высота - отрезок, выходящий из вершины треугольника и перпендикулярный противоположной стороне.

Срединный перпендикуляр - прямая, проведенная через середину стороны треугольника, перпендикулярная к этой стороне.

Четыре замечательные точки треугольника:

1. Точка пересечения медиан (медианы $\Delta$ пересекаются в одной точке).

2. Точка пересечения биссектрис - центр вписанной окружности (биссектрисы $\Delta$ пересекаются в одной точке).

3. Точка пересечения высот (высоты $\Delta$ пересекаются в одной точке).

4. Точка пересечения срединных перпендикуляров - центр описанной окружности (срединные перпендикуляры $\Delta$ пересекаются в одной точке).

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Аксиома параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, а сумма односторонних углов равна $180^o$.

2. Четырехугольники

Четырехугольники могут быть выпуклыми и невыпуклыми.

Выпуклые четырехугольники по наличию параллельных сторон делятся на параллелограммы (2 пары параллельных сторон), трапеции (1 пара параллельных сторон) и общего вида (нет параллельных сторон).

К частным видам параллелограммов относятся прямоугольники (4 угла прямые), ромбы (4 стороны равны), квадраты (обладают свойствами как прямоугольников, так и ромбов).

Свойства параллелограммов:

- В любом параллелограмме противоположные стороны равны, противоположные углы равны, диагонали в точке пересечения делятся пополам.

- В прямоугольнике диагонали равны.

- В ромбе диагонали перпендикулярны.

Признаки параллелограмма:

1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

К частным видам трапеций относятся равнобедренные (боковые стороны равны) и прямоугольные (одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям).

Свойства трапеций:

- Средняя линия трапеции (отрезок, соединяющий середины боковых сторон) параллельна основаниям трапеции, а длина ее равна полусумме длин оснований.

- В равнобедренной трапеции диагонали равны, углы при одном и том же основании равны.

3. Окружность и круг

Окружность - геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Окружность является замкнутой плоской линией.

Круг - часть плоскости, ограниченная окружностью.

Радиус - отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда - отрезок, соединяющий две произвольные точки окружности.

Диаметр - хорда, проходящая через центр окружности.

Центральный угол - угол между двумя радиусами, его величина совпадает с градусной мерой дуги, на которую он опирается.

Вписанный угол - угол между двумя хордами, с вершиной на окружности; измеряется половиной градусной меры дуги, на которую он опирается.

Если проведены две хорды AB и CD окружности, пересекающиеся в точке Р, то выполняется равенство $АР \cdot РВ = СР \cdot РD$.

Если две хорды окружности параллельны, то градусные меры дуг, заключенных между ними, равны.

Касательная к окружности - прямая, имеющая с окружностью одну общую точку. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Угол между касательной и хордой, проведенными через точку окружности, измеряется половиной градусной меры дуги, заключенной между касательной и хордой.

Теорема Птолемея для вписанных четырехугольников: Произведение длин диагоналей вписанного четырехугольника ABCD равно сумме произведений длин пар противоположных сторон:

AC $\cdot$ ВD = AB $\cdot$ CD + BС $\cdot$ АD.

Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противолежащих углов равны $180^o$.

Если четырехугольник ABCD описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

1. Произвольный треугольник ($a, b, c$ - стороны; $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ - $o$ротиволежащие им углы; $p$ - полупериметр; $R$ - радиус описанной окружности; $r$ - радиус вписанной окружности; $S$ - площадь; $h_{a}$ - высота, проведенная к стороне $a)$:

$$S = \frac{1}{2}ah_a ; \quad S = \frac{1}{2}bc\sin \alpha ;$$

$$S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} ;$$

$$r = \frac{S}{p}; \quad R = \frac{abc}{4S};$$

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos \;\alpha$ (теорема косинусов);

$\frac{a}{\sin \alpha } = \frac{b}{\sin \beta } = \frac{c}{\sin \gamma } = 2R$ (теорема синусов).

2. Прямоугольный треугольник ($a, b$ - катеты;$c$ - гипотенуза; $a_{с}, b_{с}$ - проекции катетов на гипотенузу; $h_{с}$ - высота, проведенная к гипотенузе):

$$S = \frac{1}{2}ab; \quad S = \frac{1}{2}ch_c ;$$

$$r = \frac{a + b - c}{2}; \quad R = \frac{c}{2};$$

$a^2 + b^2 = c^2$ (теорема Пифагора);

$$\frac{a_c }{h_c } = \frac{h_c }{b_c }; \quad \frac{a_c }{a} = \frac{a}{c}; \quad \frac{b_c }{b} = \frac{b}{c};$$

$$a= c \sin\alpha =c \cos \beta =b \tg \alpha =b \ctg \beta .$$

3. Равносторонний треугольник:

$$h = \frac{a\sqrt 3 }{2}; \quad S = \frac{a^2\sqrt 3 }{4}; \quad r = \frac{a\sqrt 3 }{6}; \quad R = \frac{a\sqrt 3 }{3}.$$

4. Произвольный выпуклый четырехугольник ($d_{1}$ и $d_{2}$ - диагонали; $\phi$ - угол между ними; $S$ - площадь):

$$S = \frac{1}{2}\;d_1 d_2 \sin \varphi .$$

5. Параллелограмм ($a$и$b$ - смежные стороны; $\alpha$ - угол между ними; $h_{a}$ - высота, проведенная к стороне $a$;$S$ - площадь):

$$S = ah_a = ab\sin \alpha = \frac{1}{2}\;d_1 d_2 \sin \varphi .$$

6. Ромб: $S = ah_a = a^2\sin \alpha = \frac{1}{2}d_1 d_2$.

7. Прямоугольник: $S = ab = \frac{1}{2}\;d_1 d_2 \sin \varphi$.

8. Квадрат ($d$ - диагональ): $S = a^2 = \frac{d^2}{2}$.

9. Трапеция ($a$ и $b$- основания; $h$ - расстояние между ними; $l$ - средняя линия; $S$ - площадь):

$$l = \frac{a + b}{2}; \quad S = \frac{a + b}{2} \cdot h = lh.$$

10. Описанный многоугольник ($p$ - полупериметр; $r$ - радиус вписанной окружности; $S$ - площадь): $S = pr$.

11. Правильный многоугольник ($a_{n}$ - сторона правильного $n$-угольника; $R$ - радиус описанной окружности; $r$ - радиус вписанной окружности; $S$ - площадь):

$$a_3 = R\sqrt 3 ; \quad a_4 = R\sqrt 2 ; \quad a{ }_6 = R; \quad S = \frac{na_n r}{2}.$$

12. Окружность, круг ($r$ - радиус; $С$ - длина окружности; $S$ - площадь круга):

$$C = 2 \pi r; \quad S = \pi r^2.$$

13. Сектор ($l$ - длина дуги, ограничивающей сектор; $n^o$ - градусная мера центрального угла; $\alpha$ - радианная мера центрального угла; $r$ - радиус; $S$ - площадь):

$$l = \frac{\pi {\kern 1pt} r{\kern 1pt} n^{\circ}}{180^{\circ}} = ... ... S = \frac{\pi {\kern 1pt} r^2n^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{2}r^2\alpha .$$

ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 см и 12 см. Найти катеты треугольника.

Решение:

АМ = 5; ВМ = 12. Пусть радиус вписанной окружности равен $r$ см.

По свойствам отрезков касательных, проведенных к окружности из внешней точки: BM = BN, AM = AP.

Тогда BC = BN + NC = 12 + $r$,

AC = AP + PC = 5 + $r$, AB = BM + MA = 12 + 5 = 17.

По теореме Пифагора АВ$^{2}$ = АС$^{2}$ + ВС$^{2}$.

($r$ + 12)$^{2}$ + ($r$ + 5)$^{2}$ = 17$^{2}$.

Упростив уравнение, получим $r^{2}$ + 17$r$ - 6 = .

Его корни $r_{1}$ = - 2 (посторонний) и $r_{2}$ = 3.

Тогда АС = 5 + 3 = 8; ВС = 12 + 3 = 15.

Ответ: 8 см, 15 см.

Задача 2. В параллелограмме ABCD со стороной AD = 25 проведена биссектриса угла А, проходящая через точку Р на стороне ВС. Найдите периметр трапеции APCD, если ее средняя линия равна 15, а диагональ $АС = 5\sqrt {46}$.

Решение:

1) $\angle ВАР = \angle РАD$, так как АР - биссектриса; тогда $\Delta$ АВР - равнобедренный (АВ = ВР);

2) MN - средняя линия трапеции APCD: 2MN = AD + PC; AD + PC = 30; PC = 5; BP = 20; AB = 20.

По теореме косинусов:

3) В $\Delta$ АВР: AP$^{2}$ = AB$^{2}$+BP$^{2}$- 2AB$\cdot$BP$\cdot$cos$\angle$AВР.

4) В $\Delta$ АВC: AC$^{2}$ = AB$^{2}$+ BC$^{2}$- 2AB$\cdot$BC$\cdot$cos$\angle$AВР.

Из 4) находим cos$\angle$AВР = $- \frac{1}{8}$; подставив найденное значение в 3), получим АР$^{2}$ = 900, АР = 30.

5) $Р_{APCD}$ = AP + РС + CD + DА = 30 + 5 + 20 + 25 = 80.

Ответ: 80.

Задача 3. Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна $32\sqrt 3$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник МРК, где точки М, Р, К - середины сторон шестиугольника ABCDEF соответственно.

Решение: Для наглядности изобразим правильный шестиугольник как вписанный в окружность.

1) По свойствам правильного шестиугольника BE = 2 AF = $64\sqrt 3$.

2) ABEF - равнобедренная трапеция, в которой МК - средняя линия: МК = $\frac{1}{2}(32\sqrt 3 + 64\sqrt 3 )=48\sqrt 3$.

3) $\Delta \quad {\rm M}$РК - равносторонний. Радиус искомой вписанной окружности $r=\frac{1}{3}$ PN, PN = $\frac{\sqrt 3 }{2}$МК.

PN = $48\sqrt 3 \cdot \frac{\sqrt 3 }{2}$ = 72, следовательно, $r$ = 24.

Ответ: 24.

Задача 4. Углы при одном из оснований трапеции равны $75^o$ и $15^o$, а разность квадратов длин ее оснований равна 8. Найти площадь трапеции.

Решение:

В трапеции $ABCD \angle С = 15^o$, $\angle D = 75^o$.

Продолжим боковые стороны AD и ВС до пресечения их в точке Р. $\Delta$ CРD - прямоугольный, так как $\angle Р = 180^o - (15^o + 75^o) = 90^o$.

S$_{ABCD}$ = S $_{\Delta CPD}$ - S $_{\Delta BPA.}$

Пусть AB = $b$, CD = $a$; по условию $a^{2}$ - $b^{2}$ = 8, AB $\vert \vert$ CD.

S $_{\Delta CPD}=\frac{1}{2}\cdot$CP $\cdot$ DP; S $_{\Delta BPA}$ = $\frac{1}{2}\cdot$PB $\cdot$ PA.

$CP = a \quad \cdot \cos 15^o$; $DP = a \quad \cdot \sin 15^o$; $BP = b \quad \cdot \cos 15^o$; $AP = b \quad \cdot \sin 15^o$.

$S_{\Delta CPD}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \cos 15^o \cdot a\cdot \sin 15^o = \fra... ...cdot \cos 15^o = \frac{1}{4}\cdot a^{2}\cdot \sin 30^o = \frac{1}{8}\cdot a^{2}$.

$S_{\Delta BPA}=\frac{1}{2}\cdot b\cdot \cos 15^o \cdot b\cdot \sin 15^o = \fra... ...cdot \cos 15^o = \frac{1}{4}\cdot b^{2}\cdot \sin 30^o = \frac{1}{8}\cdot b^{2}$.

S $_{ABCD}=\frac{1}{8}\cdot a^{2}$ - $\frac{1}{8}\cdot b^{2}$ = $\frac{1}{8}(a^{2}$ - $b^{2)}=\frac{1}{8}\cdot$ 8 = 1.

Ответ: 1.

Далее: Домашнее задание № 1 Вверх: II. Учебно-тренировочные материалы по Назад: II. Учебно-тренировочные материалы по