Далее: Образцы решения задач Вверх: II. Учебно-тренировочные материалы по Назад: Домашнее задание № 1

Тема 2. Методы решения стереометрических задач

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ФАКТЫ

Аксиомы стереометрии

А$ _{1}$. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

А$ _{2}$. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

А$ _{3}$. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Следствия:

1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Параллельность в пространстве

Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема: Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Теорема: Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Определение: Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых: Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Определение: Плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Перпендикулярность в пространстве

Определение: Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен $ 90^o$.

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Теорема о трех перпендикулярах: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Определение: Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Определение: Двугранный угол - это фигура, образованная прямой $ а$ и двумя полуплоскостями с общей границей $ а$, не принадлежащими одной плоскости.

Определение: Перпендикулярные плоскости - это пересекающиеся плоскости, угол между которыми равен $ 90^o$.

Признак перпендикулярности двух плоскостей: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Теорема Эйлера для многогранников: в любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин больше числа ребер на 2.

Существует 5 видов правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

1. Произвольная призма ($ l$ - боковое ребро; $ P$ - периметр основания; $ S$ - площадь основания; $ H$ - высота призмы; $ P_{сеч}$ - периметр перпендикулярного сечения; $ S_{бок }$- площадь боковой поверхности; $ V$ - объем): $ S_{бок} = P_{сеч} \cdot l$; $ V = S \cdot H$.

2. Прямая призма: $ S_{бок} = P \cdot l$; $ V = S \cdot H$.

3. Прямоугольный параллелепипед ($ a, b, c$ - его измерения; $ d$ - диагональ):

$\displaystyle S_{бок} = P \cdot H;
\quad
V = a \cdot b \cdot c;
\quad
d^2 = a^2 + b^2 + c^2.
$

4. Куб ($ а$ - ребро): $ S_{бок} = 4a^2$; $ S_{полн} = 6a^2$; $ V = a^3$; $ d = a\sqrt 3 $.

5. Произвольная пирамида ($ S$ - площадь основания; $ H$ - высота пирамиды;
$ V$ - объем): $ V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot H$.

6. Правильная пирамида ($ P$ - периметр основания; $ l$ - апофема; $ S_{бок }$- площадь боковой поверхности; $ V$ - объем): $ S_{бок} =
\frac{1}{2} \cdot P \cdot l$; $ V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot H$.

7. Произвольная усеченная пирамида ($ S_{1}$ и$ S_{2}$ - площади оснований; $ h$ - высота пирамиды; $ V$ - объем): $ V = \frac{1}{3} \cdot h
\cdot \left( {S_1 + S_2 + \sqrt {S_1 \cdot S_2 } } \right)$.

8. Правильная усеченная пирамида ($ P_{1}$ и$ Р_{2}$ - периметры оснований; $ l$ - апофема; $ S_{бок }$- площадь боковой поверхности): $ S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot \left( {P_1 + P_2 } \right) \cdot l$.

9. Цилиндр ($ R$ - радиус основания; $ H$ - высота; $ S_{бок }$- площадь боковой поверхности; $ V$ - объем): $ S_{бок} = 2\pi \cdot R \cdot H$; $ V = \pi \cdot R^2 \cdot H$.

10. Конус ($ R$ - радиус основания; $ H$ - высота; $ l$ - образующая; $ S_{бок }$- площадь боковой поверхности; $ V$ - объем): $ S_{бок} =
\pi \cdot R \cdot l$; $ V = \frac{1}{3}\pi \cdot R^2 \cdot H$.

11. Шар, сфера ($ R$ - радиус шара; $ S_{ }$- площадь сферической поверхности;
$ V$ - объем): $ S = 4\pi \cdot R^2$; $ V = \frac{4}{3}\pi \cdot R^3$.

12. Шаровой сегмент ($ R$ - радиус шара; $ h$ - высота сегмента; $ S_{ }$- площадь сферической поверхности сегмента; $ V$ - объем): $ S = 2\pi
\cdot R \cdot h$; $ V = \pi \cdot h^2 \cdot \left( {R - \frac{1}{3} \cdot h}
\right)$.

13. Шаровой сектор ($ R$ - радиус шара; $ h$ - высота сегмента; $ V$ - объем): $ V = \frac{2}{3}\pi \cdot R^2 \cdot h$.

ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Определение: Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом, называется направленным отрезком или $ вектором$.

Определение: Длиной (модулем) ненулевого вектора $ \overrightarrow {AB}
$ называется длина отрезка $ АВ$; обозначается $ \left\vert {{\kern 1pt}
\overrightarrow {AB{\kern 1pt} } } \right\vert$.

Определение: Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой либо на параллельных прямых.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными и противоположно направленными.

Определение: Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Правила сложения векторов:

\includegraphics{D:/html/work/link1/metod/met146/s51r1.eps}
Правило треугольника Правило параллелограмма

Свойства операций над векторами:

1. $ \overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b +
\overrightarrow a $.

2. $ \left( { \overrightarrow a + \overrightarrow b  } \right) +
\overrightarrow c = \overrightarrow a + \left( { \overrightarrow b +
\overrightarrow c } \right)$.

3. $ \overrightarrow a - \overrightarrow b = \overrightarrow a + \left(
{{\kern 1pt} - \overrightarrow {b } } \right)$.

4. $ \left( {{\kern 1pt} m n{\kern 1pt} } \right)  \overrightarrow a =
m  \left( { n {\kern 1pt} \overrightarrow a {\kern 1pt} } \right)$.

5. $ \left( { m + n } \right)  \overrightarrow a = m {\kern 1pt}
\overrightarrow a + n {\kern 1pt} \overrightarrow a $.

6. $ m {\kern 1pt} \left( { \overrightarrow a + \overrightarrow b  }
\right) = m {\kern 1pt} \overrightarrow a + m {\kern 1pt} \overrightarrow
b $.

Разложение вектора $ \overrightarrow p $ по координатным векторам $ \overrightarrow i $и $ \overrightarrow j $:

На плоскости: $ \overrightarrow p = x {\kern 1pt} \overrightarrow i + y {\kern 1pt}
\overrightarrow j $; где координаты вектора $ \overrightarrow p   \left\{
{ x;\;y } \right\}$.

В пространстве: $ \overrightarrow p = x {\kern 1pt} \overrightarrow i + y {\kern 1pt}
\overrightarrow j + z {\kern 1pt} \overrightarrow k $; где координаты вектора $ \overrightarrow p   \left\{ { x;\;y;\;z } \right\}$.

На плоскости: если $ \overrightarrow {a  } \left\{ { x_1 ;\;y_1 {\kern 1pt} }
\right\}$, $ \overrightarrow {b }  {\kern 1pt} \left\{ { x_2 ;\;y_2 {\kern
1pt} } \right\}$, то $ \left( { \overrightarrow a + \overrightarrow b {\kern
1pt} {\kern 1pt} } \rig...
...ern 1pt} \left\{ { x_1 + x_2 ;\;{\kern 1pt}
{\kern 1pt} y_1 + y_2  } \right\}$; $ k \overrightarrow a  {\kern 1pt}
\left\{ { k x_1 ;\;k y_1 } \right\}$.

В пространстве: если $ \overrightarrow {a  } \left\{ { x_1 ;\;y_1 ;\;z_1 {\kern 1pt} }
\right\}$ и $ \overrightarrow {b }  {\kern 1pt} \left\{ { x_2 ;\;y_2
;\;z_2 {\kern 1pt} } \right\}$, то

$\displaystyle \left( { \overrightarrow a + \overrightarrow b {\kern 1pt} {\ker...
...ghtarrow {a }  {\kern 1pt} \left\{ { k x_1 ;\;k y_1 ;\;k z_1
} \right\}.
$

Для отрезка $ АВ$ на плоскости координаты его середины $ М$ связаны с координатами его концов $ A \left( { x_1 ;\;y_1 } \right)$ и $ B \left( { x_2 ;\;y_2 } \right)$, так что $ M \left( {{\kern 1pt} \frac{x_1 + x_2 }{2};\;\frac{y_1 + y_2 }{2}}
\right)$.

В пространстве: $ A \left( { x_1 ;\;y_1 ;\;z_1 } \right)$ и $ B \left( { x_2 ;\;y_2
;\;z_2 } \right)$, так что

$\displaystyle M \left( {{\kern 1pt} \frac{x_1 + x_2 }{2};\;\frac{y_1 + y_2
}{2};\;\frac{z_1 + z_2 }{2}} \right).
$

Длина (модуль) вектора $ \overrightarrow {a  } \left\{ { x;\;y{\kern 1pt}
} \right\}$ на плоскости задается формулой: $ \left\vert { \overrightarrow {{\kern 1pt} a }
 } \right\vert = \sqrt {x^2 + y^2} $.

В пространстве: если $ \overrightarrow {a  } \left\{ { x;\;y;\;z{\kern 1pt} } \right\}$, то $ \left\vert { \overrightarrow {{\kern 1pt} a }  } \right\vert = \sqrt {x^2 +
y^2 + z^2} $.

Расстояние между точками $ M_1  \left( { x_1 ;\;y_1 } \right)$ и $ M_2
 \left( { x_2 ;\;y_2 } \right)$ на плоскости

$\displaystyle \left\vert { M_1 M_2 {\kern 1pt} } \right\vert = \sqrt {\left( {x_2 - x_1 }
\right)^2 + \left( {y_2 - y_1 } \right)^2} .
$

В пространстве: если $ M_1  \left( { x_1 ;\;y_1 ;\;z_1 } \right)$ и $ M_2  \left( { x_2
;\;y_2 ;\;z_2 } \right)$, то

$\displaystyle \left\vert { M_1 M_2 {\kern 1pt} } \right\vert = \sqrt {\left( {...
...}
\right)^2 + \left( {y_2 - y_1 } \right)^2 + \left( {z_2 - z_1 } \right)^2}
.
$

Уравнение окружности: $ \left( {x - x_0 } \right)^2 + \left( {y - y_0 }
\right)^2 = R^2$, где $ \left( {x_0 ;\;y_0 } \right)$ - центр окружности, $ R$ - радиус.

Уравнение прямой $ A x + B y + C = 0$.

Скалярное произведение векторов: $ \overrightarrow {a } \cdot
\overrightarrow {b } = \left\vert { \overrightar...
...\vert { \overrightarrow {b }  } \right\vert \cdot \cos  {\kern 1pt} \alpha
$, где $ \alpha $ - угол между векторами $ \overrightarrow {a } $ и $ \overrightarrow {b } $. Скалярное произведение в координатах:

На плоскости: $ \overrightarrow {a } \cdot \overrightarrow {b } = x_1 \cdot x_2 + y_1
\cdot y_2 $;

В пространстве: $ \overrightarrow {a } \cdot \overrightarrow {b } = x_1 \cdot x_2 + y_1
\cdot y_2 + z_1 \cdot z_2 $.

Свойства скалярного произведения векторов:

1. $ \left( \right.\overrightarrow {a } \left. \right)^2 \ge 0;\;\quad
\left( \right.\overrightarrow {a } \left. \right)^2 > 0$, если $ \overrightarrow {a } \ne \overrightarrow {0 } $.

2. $ \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \overrightarrow b \cdot
\overrightarrow a $.

3. $ \left( { \overrightarrow {a } + \overrightarrow {b }  } \right)
\cdot \ove...
...cdot \overrightarrow
{c } + \overrightarrow {b } \cdot \overrightarrow {c } $.

4. $ \left( { k \cdot \overrightarrow {a } } \right) \cdot \overrightarrow
{b } = k \cdot \left( { \overrightarrow {a } + \overrightarrow {b } }
\right)$.


Далее: Образцы решения задач Вверх: II. Учебно-тренировочные материалы по Назад: Домашнее задание № 1

ЯГПУ, Отдел образовательных информационных технологий
14.10.2010