Далее: Домашнее задание №1 Вверх: I. Учебно-тренировочные материалы по Назад: I. Учебно-тренировочные материалы по

Тема 1. Числа. Алгебраические уравнения и неравенства

ДЕЙСТВИЯ С ДРОБЯМИ

1) $\frac{a}{b} \cdot c = \frac{ac}{b}$; 2) $\frac{a}{b}:c = \frac{a}{bc}$; 3) $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$; 4) $\frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}$; 5) $\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$.

Примеры:
а) $\frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{17}{20} = \frac{40}{60} + \frac{36}{60} + \frac{51}{60} = \frac{127}{60} = 2\frac{7}{60}$; б) $\frac{ac + bc}{ac + c^2} = \frac{c \left( {a + b} \right)}{c \left( {a + c} \right)} = \frac{a + b}{a + c}$.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1) $x \cdot y = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{l} x = 0, \\ y = 0. \\ \end{array}} \right.$; 2) $x^2 + y^2 = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} x = 0, \\ y = 0. \\ \end{array}} \right.$; 3) $\frac{x}{y} = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} x = 0, \\ y \ne 0. \\ \end{array}} \right.$;

4) $ax^2 + bx + c = 0,\quad a \ne 0,\quad x_{1,2} = \frac{ - b\pm \sqrt {b^2 - 4ac} }{2a}$;

5) теорема Виета: если $ax^2 + bx + c = 0,$ где $a \ne 0, \quad x_1 ,x_2 -$корни уравнения, то:

$$\left\{ {\begin{array}{l} x_1 + x_2 = \frac{ - b}{a}, \\ x_1 \cdot x{ }_2 = \frac{c}{a}. \\ \end{array}} \right..$$

Примеры:

а) $\frac{x - 3}{x + 5} = 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{l} x - 3 = 0, \\ x + 5 \ne 0. \\ \end{array}} \right. \Rightarrow x = 3$;

б) $\frac{2x + 2}{x^2 - 1} = 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{l} 2x + 2 = 0, \... ...rrow \left\{ {\begin{array}{l} x = - 1 \\ x \ne \pm 1 \\ \end{array}} \right.$, следовательно, нет решения;

в) $2x^2 - x - 5 = 0 \Rightarrow x_{1,2} = \frac{1\pm \sqrt {1^2 - 4 \cdot 2 \cdot... ... \frac{5}{2} \\ \end{array}} \right. \Rightarrow x_1 = - 2,\;x_2 = \frac{2}{5}$;

г) $x^2 + 5x - 14 = 0$, по теореме Виета: $\left\{ {\begin{array}{l} x_1 + x_2 = - 5, \\ x_1 \cdot x_2 = - 14 \\ \end{a... ...htarrow \left[ {\begin{array}{l} x_1 = 2 \\ x_2 = - 7 \\ \end{array}} \right.$;

д) $3x^2 - 4x - 1 = 3 \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - \raise0.7ex\h... ...left/ {\vphantom {1 3}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$3$}$.

ОСНОВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ СИСТЕМЫ

1) $a > b \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{l} a + c > b + c, \\ a \cdot c > ... ...t c,\quad c > 0, \\ a \cdot c < b \cdot c,\quad c < 0 \\ \end{array}} \right.$ 2) $ax + b > 0 \Leftrightarrow ax > - b \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{l} x... ... b}{a},\quad a > 0, \\ x < \frac{ - b}{a},\quad a < 0 \\ \end{array}} \right.$.

Примеры: а) $8x - 3 < 0 \Rightarrow 8x < 3 \Rightarrow x < \frac{3}{8}$; б) $\left\{ {\begin{array}{l} x \ge 3, \\ x > 1 \\ \end{array}} \right. \Rightarrow x \ge 3$; в) $\left\{ {\begin{array}{l} x < 2, \\ x \le - 1 \\ \end{array}} \right. \Rightarrow x \le - 1$;

г) $\left\{ {\begin{array}{l} x \le - 2, \\ x \ge - 5 \\ \end{array}} \right. \Rightarrow - 5 \le x \le - 2$; д) $\left\{ {\begin{array}{l} x > 3, \\ x < 2 \\ \end{array}} \right.$ нет решения.

МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ

План решения неравенства $\frac{P\left( x \right)}{Q\left( x \right)} \ge 0 (или \frac{P\left( x \right)}{Q\left( x \right)} \le 0$) методом интервалов:

1. Раскладываем числитель и знаменатель левой части на множители.

2. Наносим на числовую ось корни знаменателя в виде выколотых точек и корни числителя: если неравенство строгое - в виде выколотых точек, если нестрогое - в виде невыколотых точек.

3. Отмечаем интервалы, на которых дробь $\raise0.7ex\hbox{${P\left( x \right)}$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {{P\left(... ...t)}}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{${Q\left( x \right)}$}$ сохраняет знак, и расставляем знаки этой дроби на каждом интервале.

4. Выбираем для ответа интервалы с нужным знаком (в соответствии со знаком неравенства).

Далее: Домашнее задание №1 Вверх: I. Учебно-тренировочные материалы по Назад: I. Учебно-тренировочные материалы по