Далее: Домашнее задание № 4 Вверх: I. Учебно-тренировочные материалы по Назад: Домашнее задание № 3

Тема 4. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ФАКТЫ

Показательная функция

Показательная функция $ y = a{\kern 1pt} {\kern 1pt} ^x$, где $  a >
0,\;   a{\kern 1pt}   \ne {\kern 1pt}  1$, определена на множестве действительных чисел, а сама принимает только положительные значения.

Если $ 0 < a < 1$, то функция непрерывно убывает.

Если $ a > 1$, то функция непрерывно возрастает.

\includegraphics{D:/html/work/link1/metod/met146/s16r1.eps}

При $ a > 0$ и $ a \ne 1$ выполняются следующие зависимости:

1) $ a{\kern 1pt} ^{x{\kern 1pt} _1 }  \cdot a{\kern 1pt} ^{x_{{\kern 1pt}
2} } = a{\kern 1pt} ^{x{\kern 1pt} _1 {\kern 1pt} + {\kern 1pt} x{\kern 1pt}
_2 }$;

2) $ a{\kern 1pt} ^{x{\kern 1pt} _1 } :a{\kern 1pt} ^{x_{{\kern 1pt} 2} } =
a{\kern 1pt} ^{x{\kern 1pt} _1 {\kern 1pt} - {\kern 1pt} x{\kern 1pt} _2 }$;

3) $ \left( { a{\kern 1pt} ^{x{\kern 1pt} _1 }} \right){\kern 1pt} {\kern
1pt} ^{x...
...} ^{x{\kern 1pt} _1 {\kern
1pt} \cdot {\kern 1pt} {\kern 1pt} x{\kern 1pt} _2 }$.

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция $ y = \log {\kern 1pt} _a {\kern 1pt} {\kern 1pt} x$, где $  a >
0,\;   a{\kern 1pt}   \ne {\kern 1pt}  1$, определена на множестве положительных чисел. Множество значений логарифмической функции - все множество действительных чисел.

При $ 0 < a < 1$ функция непрерывно убывает.

При $ a > 1$ функция непрерывно возрастает.

\includegraphics{D:/html/work/link1/metod/met146/s17r1.eps}

При одном и том же допустимом значении $ а$ функции $ y = a{\kern 1pt} {\kern 1pt} ^x$ и $ y = \log {\kern 1pt} _a {\kern 1pt} {\kern 1pt} x$ являются взаимно обратными.

При решении показательных и логарифмических уравнений и неравенств используются такие свойства показательной и логарифмической функций, как монотонность, знакопостоянство (для показательной функции), поведение в бесконечно удаленных точках.

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

Для решения указанных уравнений и неравенств используются свойства показательной функции.

1. Уравнение $ a^{f \left( x \right)} = a^{\varphi  \left( x
\right)}$ равносильно уравнению $ f \left( x \right) = \varphi  \left( x
\right)$, если $ a > 0,\quad a \ne 1$, $ f \left( x \right)$ и $ \varphi
 \left( x \right) \quad - $ произвольные элементарные функции.

Примеры: а) $ 2^x = 8\quad \Rightarrow \quad 2^x = 2^3\quad
\Rightarrow \quad x = 3$;

б) $ 3^{x + 1} = 1\quad \Rightarrow \quad 3^{x + 1} = 3^0\quad \Rightarrow
\quad x + 1 = 0\quad \Rightarrow \quad x = - 1$;

в) $ 2^{x + 2} \cdot 5^{x + 2} = 10\quad \Rightarrow \quad \left( {2 \cdot 5}
\righ...
...^{x + 2} = 10^1\quad
\Rightarrow \quad x + 2 = 1\quad \Rightarrow \quad x = - 1$;

г) $ \left( {\frac{5}{3}} \right)^{2x - 3} = \frac{3}{5}\quad \Rightarrow
\quad \le...
...\right)^{
- 1}\quad \Rightarrow \quad 2x - 3 = - 1\quad \Rightarrow \quad x = 1$;

д) $ \left( {\frac{1}{3}} \right)^x \cdot 5^x = \frac{9}{25}\quad \Rightarrow
\quad...
... \right)^x = \left( {\frac{5}{3}}
\right)^{ - 2}\quad \Rightarrow \quad x = - 2$.

2. Показательное уравнение может сводиться к алгебраическому уравнению с помощью введения новой неизвестной величины.

Примеры: $ 4^x + 2^{x + 1} = 80\quad \Rightarrow \quad
2^{2x} + 2^x \cdot 2^1 - 80 = 0$. Пусть $ 2^x = y;\;\;y > 0$.

Тогда уравнение примет вид $ y^2 + 2y - 80 = 0$, корни которого $ y_1 =
8,\;\;y_2 = - 10$. Второй корень уравнения является посторонним: $ \quad
\Rightarrow \quad 2^x = 8\;\; \Rightarrow \;\;2^x = 2^3\;\; \Rightarrow
\;\;x = 3$.

3. Показательные уравнения более сложной структуры с помощью тождественных преобразований сводятся либо к совокупности простейших показательных уравнений, либо к указанным выше основным видам.

4. Показательные неравенства вида $ a^{f \left( x \right)} < a^{\varphi
 \left( x \right)}$ преобразуются к неравенствам вида $ f \left( x \right)
< \varphi  \left( x \right)$ при $ a > 1$, либо к $ f \left( x \right) >
\varphi  \left( x \right)$ при $ 0 < a < 1$ (с учетом свойств показательной функции).

Примеры: а) $ 5^{x + 1} \le 125\quad \Rightarrow \quad 5^{x
+ 1} \le 5^3\quad \Rightarrow \quad x + 1 \le 3\quad \Rightarrow \quad x \le
2$;

б) $ \left( {\frac{1}{8}} \right)^{5x + 12} \ge \left( {\frac{1}{8}}
\right)^{7x}\;...
... 5x + 12 \le 7x\quad \Rightarrow \quad 2x
\ge 12\quad \Rightarrow \quad x \ge 6$;

в) $ 6^{x^2 + 2x} > 6^3\quad \Rightarrow \quad x^2 + 2x > 3\quad \Rightarrow
\quad ...
...tarrow \quad \left( {x + 3} \right)\left(
{x - 1} \right) > 0\quad \Rightarrow $

$\displaystyle \Rightarrow \quad x \in \left( {  - \infty ;  - 3 } \right) \cup \left(
{ 1;  + \infty  } \right).
$



Подраздел
Далее: Домашнее задание № 4 Вверх: I. Учебно-тренировочные материалы по Назад: Домашнее задание № 3

ЯГПУ, Отдел образовательных информационных технологий
14.10.2010