1. Примеры решения задач

Далее: 10. Задачи для самостоятельного Вверх: 9. Электростатика. Законы постоянного Назад: 9. Электростатика. Законы постоянного

1. Примеры решения задач

Пример 9.6. Два одинаковых маленьких шарика массой по 0,1г каждый подвешены на непроводящих нитях длиной $\displaystyle{\ell = 1\,{\text{м}}}$ к одной точке. После того как шарикам были сообщены одинаковые заряды $\displaystyle{q}$ , они разошлись на расстояние $\displaystyle{r=9\,{\text{см}}}$ . Диэлектрическая проницаемость воздуха $\displaystyle{\varepsilon=1}$ . Определить заряды шариков.

Дано:

$\displaystyle{m=0,1\,{\text{г}}=10^{-4}\,{\text{кг}}}$

$\displaystyle{\ell=1\,{\text{м}}}$

$\displaystyle{r=9\,{\text{см}}=9\cdot 10^{-2}\,{\text{м}}}$

$\displaystyle{\varepsilon = 1}$

$\displaystyle{q}$ - ?

Решение. Поскольку шарики одинаковы, то на каждый шарик действуют одинаковые силы: сила тяжести $\displaystyle{m \vec g}$ , сила натяжения нити $\displaystyle{\vec T}$ и сила кулоновского взаимодействия (отталкивания) $\displaystyle{\vec F}$ .

На рисунке показаны силы, действующие на один из шариков. Поскольку шарик находится в равновесии, сумма всех сил, действующих на него, равна 0. Кроме того, сумма проекций сил на оси $\displaystyle{OX}$ и $\displaystyle{OY}$ равна 0:

\begin{equation} {{\mbox{на ось }} {OX} : \atop { \mbox{ на ось }} {OY} : }\quad \left\{\begin{array}{ll} F-T\sin{\alpha} & =0 \\ T\cos{\alpha}-mg & =0 \end{array}\right. \quad{\text{или}}\quad \left\{\begin{array}{ll} T\sin{\alpha} & =F \\ T\cos{\alpha} & = mg \end{array}\right. \end{equation}

(49)

$\begin{picture}(56.00,77.00) \emline{21.00}{20.00}{1}{21.00}{23.00}{2} \emline{2... ...ebox(0,0)[cc]{$y$}} \put(28.00,42.00){\makebox(0,0)[rc]{$\vec T$}} \end{picture}$

Рис. 9.1

Решим совместно эти уравнения. Разделив первое равенство почленно на второе, получим:

\begin{equation} {\mbox{tg}\,}= {F\over mg}\,. \end{equation}

(50)

Так как угол $\displaystyle{\alpha}$ мал, то

\begin{equation} {\mbox{tg}\,}\approx\sin{\alpha}={r\over 2\ell}\,. \end{equation}

(51)

Тогда выражение (50) примет вид:

\begin{equation} {r\over 2\ell}={F\over mg}\,. \end{equation}

(52)

Сила $\displaystyle{F}$ по закону Кулона равна: $\displaystyle{F=k{q^2\over\varepsilon r^2}}$ .

Подставим значение $\displaystyle{F}$ в выражение (52):

\begin{equation} {r\over 2\ell}={kq^2\over\varepsilon r^2 mg}\,, \end{equation}

(53)

откуда выразим в общем виде искомый заряд:

\begin{equation} q=r\sqrt{r\varepsilon mg\over 2k\ell}\,. \end{equation}

(54)

После подстановки численных значений будем иметь:

\begin{equation} q= 9\cdot 10^{-2}\sqrt{9\cdot 10^{-2}\cdot 1 \cdot 10^{-4}\cdot 9,8\over 2\cdot 9\cdot 10^9\cdot 1}\, {{\text{Кл}}}=6.36\cdot 10^{-9}\, {{\text{Кл}}}\,. \end{equation}

(55)

Предлагается самостоятельно проверить размерность для расчетной формулы (54).

Ответ: $\displaystyle{q=6,36\cdot 10^{-9}\,{\text{Кл}}\,.}$

Пример 9.7. Какую работу надо совершить, чтобы перенести точечный заряд $\displaystyle{q=6\,{\text{нКл}}}$ из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии $\displaystyle{\ell = 10\,{\text{см}}}$ от поверхности металлического шарика, потенциал которого $\displaystyle{\varphi_{\text{ш}}=200\,{\text{В}}}$ , а радиус $\displaystyle{R = 2\,{\text{см}}}$ ? Шарик находится в воздухе (считать $\displaystyle{\varepsilon=1}$ ).

Дано:
$\displaystyle{q=6\,{\text{нКл}}=6\cdot 10^{-9}\,{\text{Кл}}}$ $\displaystyle{\ell=10\,{\text{см}}}$ $\displaystyle{\varphi_{\text{ш}}=200\,{\text{В}}}$ $\displaystyle{R=2\,{\text{см}}}$ $\displaystyle{\varepsilon = 1}$

$\displaystyle{A}$ - ?

Решение. Работа, которую необходимо совершить, чтобы перенести заряд из точки с потенциалом $\displaystyle{\varphi_1}$ в точку с потенциалом $\displaystyle{\varphi_2}$ , равна изменению потенциальной энергии точечного заряда, взятому с обратным знаком:

\begin{equation} A=-\Delta W_n\,. \end{equation}

(56)

Известно, что $\displaystyle{A=-q(\varphi_2-\varphi_1)}$ или

\begin{equation} A=q(\varphi_1-\varphi_2)\,. \end{equation}

(57)

Поскольку точечный заряд первоначально находится на бесконечности, то потенциал в этой точке поля равен 0: $\displaystyle{\varphi_1=0}$ .

Определим потенциал в конечной точке, то есть $\displaystyle{\varphi_2}$ .

Пусть $\displaystyle{Q_{\text{ш}}}$ – заряд шарика. По условию задачи потенциал шарика известен ( $\displaystyle{\varphi_{\text{ш}}=200\,{\text{В}}}$ ), тогда:

\begin{equation} \varphi_{\text{ш}}={Q_{\text{ш}}\over 4\pi\varepsilon_o\varepsilon R}\,, \end{equation}

(58)

\begin{equation} {\text{откуда}}\quad Q_{\text{ш}}=\varphi_{\text{ш}}\cdot 4\pi\varepsilon_o\varepsilon R\,. \end{equation}

(59)

Значение потенциала поля в конечной точке с учетом (59):

\begin{equation} \varphi_2={Q_{\text{ш}}\over 4\pi\varepsilon_o\varepsilon(R+\ell)}= {\varphi_{\text{ш}}R\over (R+\ell)}\,. \end{equation}

(60)

Подставим в выражение (57) значение $\displaystyle{\varphi_1}$ и $\displaystyle{\varphi_2}$ , после чего получим искомую работу:

\begin{equation} A=-q{\varphi_{\text{ш}}R\over (R+\ell)}\,. \end{equation}

(61)

В результате расчетов получим: $\displaystyle{A=-2\cdot 10^{-7}\,{\text{Дж}}}$ .

Знак " $\displaystyle{-}$ " показывает, что работа производится против сил электростатического поля, при этом энергия заряда увеличивается.

Ответ: $\displaystyle{A=-2\cdot 10^{-7}\,{\text{Дж}}}$ .

Пример 9.8. Сколько времени нужно пропускать ток силой
$\displaystyle{J=1,8\,{\text{А}}}$ через раствор соли серебра, чтобы на 12 ложках, служащих катодом и имеющих площадь поверхности $\displaystyle{S=50\,{\text{см}}^2}$ каждая, отложился слой серебра толщиной 0,058мм? Плотность серебра $\displaystyle{10,5\cdot 10^3\,{\text{кг/м}}^3}$ , атомная масса серебра $\displaystyle{108\cdot 10^{-3}\,{\text{кг/моль}}}$ , его валентность $\displaystyle{n=1}$ . Постоянная Фарадея $\displaystyle{F=9,65\cdot 10^4\,{\text{Кл/моль}}}$ .

Дано:
$\displaystyle{J=1,8\,{\text{А}}}$ $\displaystyle{N=12}$ $\displaystyle{S=50\,{\text{см}}^2}$ $\displaystyle{h=0,058\,{\text{мм}}}$ $\displaystyle{\rho=10,5\cdot 10^3\,{\text{кг/м}}^3}$ $\displaystyle{A=108\cdot 10^{-3}\,{\text{кг/моль}}}$ $\displaystyle{n=1}$ $\displaystyle{F=9,65\cdot 10^4\,{\text{Кл/моль}}}$

$\displaystyle{t}$ - ?

Решение. По закону Фарадея масса серебра, отложившегося на ложках,

\begin{equation} m={1\over F}\cdot{A\over n}Jt\,, \end{equation}

(62)

где $\displaystyle{t}$ – время прохождения тока. С другой стороны,

\begin{equation} m = \rho V=\rho NSh\,, \end{equation}

(63)

где $\displaystyle{V}$ – объем выделившегося серебра; $\displaystyle{h}$ – толщина слоя.

Из выражений (62) и (63) следует, что

\begin{equation} t = {nF\rho NSh\over AJ}\approx 18\cdot 10^3\,c=5\,{\text{ч}}\,. \end{equation}

(64)

Ответ: 5 ч.

ЯГПУ, Отдел образовательных информационных технологий 10.07.2012