Далее: 8.  Задачи для самостоятельного Вверх: Методическое пособие Назад: 6.  Молекулярная физика

7.  Примеры решения задач

Пример 7.3. Сжиженные газы хранят в сосудах, сообщающихся с атмосферой. Можно ли допустить испарение жидкого азота объемом $\displaystyle{0,5\,{\text{л}}}$ и плотностью $\displaystyle{0,81\,{\text{г/см}}^3}$ в закрытом сосуде объемом $\displaystyle{10\,{\text{л}}}$ при нагревании его до температуры $\displaystyle{20^\circ C}$ , если стенки сосуда выдерживают давление $\displaystyle{20\,{\text{атм}}}$ ?

Дано:
$\displaystyle{V_1=0,5\,{\text{л}}=5\cdot 10^{-4}\,{\text{м}}^3}$
$\displaystyle{\rho_1=0,81\,{\text{г/см}}^3=810\,{\text{кг/м}}^3}$
$\displaystyle{V=10\,{\text{л}}=10^{-2}\,{\text{м}}^3}$
$\displaystyle{T=293\,{\text{К}}}$
$\displaystyle{P=2\cdot 10^6\,{\text{Па}}}$
 
$\displaystyle{P_x}$ – ?

Решение. При повышении температуры жидкий азот перейдет в газообразное состояние. Примем его при температуре $\displaystyle{20^\circ C}$ за идеальный газ и применим для решения уравнение Клапейрона – Менделеева:

\begin{equation} PV = {m\over\mu}RT\,, \end{equation}
  (26)

где $\displaystyle{P}$ , $\displaystyle{V}$ и $\displaystyle{T}$ – давление, объем и температура газа; $\displaystyle{m}$ – его масса, $\displaystyle{\mu}$ – масса моля азота, равная $\displaystyle{28\cdot 10^{-3}\,{\text{кг/моль}}}$ ; $\displaystyle{R}$ – универсальная газовая постоянная.

Для ответа на вопрос задачи нужно определить давление газообразного азота и сравнить его с максимально допустимым.

Выразим искомое давление из уравнения (26):

\begin{equation} P_x = {mRT\over\mu V}\,, \end{equation}
  (27)

здесь неизвестна масса газа, ее можно определить через объем и плотность жидкого азота: $\displaystyle{m= \rho_1V_1}$ . Выражение для искомого давления в общем виде:

\begin{equation} P_x = {\rho_1V_1RT\over\mu V}\,. \end{equation}
  (28)

Проверка наименования единицы искомой величины:

\begin{equation} [P_x]={{\text{кг}}\cdot{\text{м}}^3\cdot{\text{Дж}}\cdot{\text{К}}\cdot{\text{моль}}\over {\text{м}}^3 \cdot{\text{моль}}\cdot{\text{К}}\cdot{\text{кг}}\cdot{\text{м}}^3}={{\text{Дж}}\over{\text{м}}^3}= {{\text{Н}}\cdot{\text{м}}\over{\text{м}}^3}={{\text{Н}}\over{\text{м}}^2}={\text{Па.}} \end{equation}
  (29)

Это единица давления в СИ, следовательно, выражение в общем виде получено правильно.

Вычисления: подставим числа (все они должны быть выражены в СИ):

\begin{equation} P_x={8,1\cdot 10^2\cdot 5\cdot 10^{-4}\cdot 8,3 \cdot 293\over 28\cdot 10^{-3}\cdot 10^{-2}}\,{\text{Па}}\,. \end{equation}
  (30)

Прежде чем вычислять, проведем действия со степенями:

\begin{equation} P_x={8,1\cdot 5\cdot 8,3 \cdot 293\over 28}\cdot 10^{3}\,{\text{Па}}=3,52\cdot 10^{6}\,{\text{Па}}\,. \end{equation}
  (31)

Искомое давление равно $\displaystyle{3,52\cdot 10^6\,{\text{Па}}}$ или $\displaystyle{35,2\ {\text{атм}}}$ и превышает допустимое.

Ответ: испарение жидкого азота данной массы в закрытом сосуде указанного объема нельзя допустить, так как при $\displaystyle{20^\circ \,С}$ давление превысит допустимое. Поэтому сжиженные газы хранят в открытых сосудах.

Пример 7.4. Расстояние между стенками сосуда равно $\displaystyle{ 8 \,{\text{мм}} }$ . При каком давлении вязкость газа, находящегося между ними, начнет уменьшаться при откачке? Температура газа равна $\displaystyle{17^\circ C}$ . Диаметр молекулы составляет $\displaystyle{3\cdot 10^{-10}\,{\text{м}}}$ .

Дано:
$\displaystyle{\ell=8\cdot 10^{-3}\,{\text{м}}}$
$\displaystyle{T=290\,K}$
$\displaystyle{d=3\cdot 10^{-10}\,{\text{м}}}$
 
$\displaystyle{P}$ - ?

Решение. Теоретически вязкость газа при не слишком низких давлениях не зависит от него:

\begin{equation} \eta = {1\over 3}\overline{v}\overline{\lambda}\rho\,, \end{equation}
  (32)

так как $\displaystyle{\overline{\lambda}}$ – средняя длина свободного пробега молекул обратно пропорциональна давлению при постоянной температуре:

\begin{equation} \overline{\lambda} = {1\over \sqrt{2}\pi d^2n}={kT\over \sqrt{2}\pi d^2P}\,, \end{equation}
  (33)

а плотность газа $\displaystyle{\rho}$ прямо пропорциональна давлению. Выражение для плотности идеального газа можно получить из уравнения Клапейрона – Менделеева: $\displaystyle{PV = {m\over\mu}RT}$ , учитывая, что плотность – это масса единицы объема: $\displaystyle{\rho = {m\over V}}$ . Получается, что $\displaystyle{\rho = {\mu P\over RT}}$ .

При низком давлении средняя длина свободного пробега перестает зависеть от давления и определяется размерами сосуда:

\begin{equation} \overline{\lambda} = \ell\,. \end{equation}
  (34)

Молекулы движутся от стенки к стенке, не сталкиваясь между собой. Вязкость газа начнет уменьшаться при дальнейшей откачке сосуда за счет уменьшения концентрации молекул (плотности газа).

Для решения задачи нужно приравнять выражение для средней длины свободного пробeгa молекул $\displaystyle{\overline{\lambda}}$ расстоянию между стенками сосуда:

\begin{equation} \ell = {kT\over \sqrt{2}\pi d^2P}\, \end{equation}
  (35)

и выразить давление. Получаем:

\begin{equation} P = {kT\over \sqrt{2}\pi d^2\ell}\,. \end{equation}
  (36)

В этом выражении для давления все известно.

Проверка наименования единицы измерения:

\begin{equation} [P]={{\text{Дж}}\cdot{\text{К}}\over{\text{К}}\cdot{\text{м}}^2\cdot{\text{м}}}={{\text{Дж}}\over {\text{м}}^3}={{\text{Н}}\cdot{\text{м}}\over{\text{м}}^3}={{\text{Н}}\over{\text{м}}^2}={\text{Па}}\,. \end{equation}
  (37)

Выражение для давления в общем виде получено правильно.

Вычисления:

\begin{equation} P={1,38\cdot 10^{-23}\cdot 290\over \sqrt{2}\cdot 3,14\cdot 9\cdot 10^{-20}\cdot 8\cdot 10^{-3}}\,{\text{Па}}={1,38\cdot 290\over \sqrt{2}\cdot 3,14\cdot 9\cdot 8}\,{\text{Па}}=1,26\, {\text{Па}}\,. \end{equation}
  (38)

Полученное число значительно меньше величины атмосферного давления. Для данного газа при неизменной температуре оно определяется только размерами сосуда $\displaystyle{\ell}$ .

Ответ: при давлении 1,26 Па вязкость газа начнет уменьшаться при откачке. Указание: подобным образом решаются задачи, связанные с коэффициентом теплопроводности идеального газа:

\begin{equation} \chi = {1\over 3}\overline{v}\overline{\lambda}\rho c_v\,, \end{equation}
  (39)

где $\displaystyle{c_v}$ - удельная теплоемкость при постоянном объеме:

\begin{equation} c_v={i\over 2}{R\over\mu}\ (i{\text{ - - - число степеней свободы молекулы}}). \end{equation}
  (40)

Пример 7.5. 10 л азота, находящегося под давлением $\displaystyle{10^5\,{\text{Па}}}$ , расширяются вдвое. Найти конечное давление и совершенную газом работу в случаях изобарического, изотермического и адиабатического процессов. Молекулы азота имеют пять степеней свободы.

Дано:
$\displaystyle{P_1=10^{5}\,{\text{Па}}}$ ;
$\displaystyle{V_1=10^{-2}\,{\text{м}}^3}$ ;
$\displaystyle{V_2=2\cdot 10^{-2}\, {\text{м}}^3}$ ;
$\displaystyle{i=5}$
 
$\displaystyle{P_2}$ - ? $\displaystyle{A}$ - ?

Решение. Примем азот в данных условиях за идеальный газ.

1. При изобарическом процессе давление газа не меняется, поэтому $\displaystyle{P_2=P_1}$ . Элементарная работа расширения равна в общем случае $\displaystyle{PdV}$ , где $\displaystyle{P}$ – давление, $\displaystyle{dV}$ – бесконечно малый объем. Полная работа находится путем интегрирования, и величина eе зависит от вида процесса.

При изобарическом процессе

\begin{equation} A_1=\int\limits_{V_1}^{V_2}{PdV}=P(V_2-V_1)\,. \end{equation}
  (41)

Проверим единицу измерения работы:

\begin{equation} [A] = {{\text{Н}}\cdot {\text{м}}^3\over {\text{м}}^2}={\text{Н}}\cdot{\text{м}}={\text{Дж}}\,. \end{equation}
  (42)

2. В изотермическом процессе температура остается постоянной, а давления и объемы в двух состояниях идеального газа связаны законом Бойля – Мариотта: $\displaystyle{P_1V_1=P_2V_2}$ , откуда $\displaystyle{P_2'={P_1V_1\over V_2}}$ . Видно, что здесь для единицы неизвестного давления получается Па (паскаль).

Работа изотермического расширения рассчитывается так:

\begin{equation} A_2=\int{PdV}=\int\limits_{V_1}^{V_2}{{m \over \mu}RT{dV\over V}}={m\over\mu}RT\ln{V_2 \over V_1}\,. \end{equation}
  (43)

Здесь давление выражено из уравнения Клапейрона – Менделеева. Температура неизвестна, поэтому, применив еще раз уравнение Клапейрона – Менделеева, получим выражение для искомой работы через известные в условии величины:

\begin{equation} A_2 = P_1V_1\ln{V_2\over V_1}\,. \end{equation}
  (44)

Результат не изменится, если подставить конечные давление и объем $\displaystyle{P_2}$ и $\displaystyle{V_2}$ или вместо отношения $\displaystyle{{V_2\over V_1}}$ взять $\displaystyle{{P_1\over P_2}}$ .

3. Конечное давление адиабатического расширения выразим из уравнения Пуассона:

\begin{equation} {P_2}''=P_1\left({V_1\over V_2}\right)^\gamma\,,\ {\text{где }}\gamma={C_p\over C_V}={i+2\over i} \end{equation}
  (45)

( $\displaystyle{i}$ - число степеней свободы молекулы).

Работа в этом процессе совершается за счет убыли внутренней энергии газа:

\begin{equation} A_3=-\Delta u={m\over\mu}C_V(T_1-T_2)={m\over\mu}C_V T_1 \left(1-{T_2\over T_1}\right)\,, \end{equation}
  (46)

где $\displaystyle{C_V}$ - молярная теплоемкость при постоянном объеме:

\begin{equation} C_V={i\over 2}R={R\over \gamma-1}\,. \end{equation}
  (47)

\begin{picture}(69.00,65.00) \emline{4.00}{5.00}{1}{4.00}{65.00}{2} \emline{4.00... ...put(44.00,15.00){\circle*{1.00}} \put(44.00,10.00){\circle*{1.00}} \end{picture}

Рис. 7.1 

В этой задаче температуры не заданы, поэтому отношение температур следует заменить отношением объемов $\displaystyle{{T_2\over T_1}=\left({V_1\over V_2}\right)^{\gamma-1}}$ и воспользоваться уравнением состояния идеального газа:

\begin{equation} A_3={m\over\mu}{R\over(\gamma-1)}T_1\left(1-{T_2\over T_1}\right) = {m\over\mu}{R T_1\over(\gamma-1)} \left(1-\left({V_1\over V_2}\right)^{\gamma-1}\right) ={1\over\gamma-1}(P_1V_1-P_2''V_2)\,. \end{equation}
  (48)

Здесь все известно, конечное давление можно рассчитать отдельно.

Вычисления:

  1. $\displaystyle{P_2=P_1=10^{5}\,{\text{Па}}\,;\quad A_1=10^{5}\cdot 10^{-2}\,{\text{Дж}}=10^{3}\,{\text{Дж}}}$ .
  2. $\displaystyle{P_2'={10^{5}\cdot 10^{-2}\over 2\cdot 10^{-2}}\,{\text{Па}}=5\cdot 10^{4}\,{\text{Па}}\,;}$

    $\displaystyle{A_2=10^{5}\cdot 10^{-2}\ln{2\cdot 10^{-2}\over 10^{-2}}\,{\text{Дж}}=10^{3}\ln{2}\,{\text{Дж}}= 6,9\cdot 10^2\,{\text{Дж}}}$ .

  3. $\displaystyle{P_2''= 10^{5}\cdot 0,5^{1,4}\,{\text{Па}}=3,8\cdot 10^4\,{\text{Па}}\,;}$ $\displaystyle{A_3={1\over 0,4}(10^3-760)\,{\text{Дж}}=600\,{\text{Дж}}\,.}$

Таким образом, наибольшее изменение давления происходит при адиабатическом расширении, а наибольшая работа совершается при изобарическом. Качественно результаты представлены на рисунке. Площади фигур под графиками процессов позволяют судить о соотношении совершенной работы.

Ответ: $\displaystyle{10^{5}\,{\text{Па}}\,,\ 10^{3}\,{\text{Дж}}\,;\ 5\cdot 10^{4}\,{\text{Па}}\,,\ 690\,{\text{Дж}}\,;\ 3,8\cdot 10^4\,{\text{Па}}\,,\ 600\,{\text{Дж}}}$ .

Далее: 8.  Задачи для самостоятельного Вверх: Методическое пособие Назад: 6.  Молекулярная физика

ЯГПУ, Отдел образовательных информационных технологий 10.07.2012