Настоящее пособие, подготовленное в поддержку лекционно-практического курса дифференциальной геометрии и элементов топологии, содержит задачи по разделам дифференциальной геометрии и элементам топологии, необходимые теоретические сведения, примерный план лекций, комментарии, мотивировки и примеры, а также аналогии из курса физики и параллели с курсом математического анализа и другими курсами геометрии. Пособие нацелено на структурирование знаний, получаемых студентами, повышение уровня понимания фактов и теорем математики (и не только геометрии) и межпредметных связей, развитие пространственных представлений и, возможно, пробуждение интереса к математике. Кроме этого, оно содержит ответы на вопросы, часто задаваемые студентами.
Пособие состоит из двух глав, первая из которых содержит более современный материал и посвящена элементам топологии, вторая - классические темы дифференциальной геометрии: теорию кривых на плоскости и в пространстве и теорию поверхностей. Каждый раздел включает вопросы теории - примерный план лекционного курса; основные определения, результаты, комментарии - материалы, призванные помочь студенту в осмыслении основ изучаемой науки и необходимые для решения задач; рисунки, подкрепляющие геометрические факты и конструкции и, наконец, задачи различного уровня сложности.
В силу специфики изучаемого предмета связи с математическим анализом и аналитической геометрией остаются очень тесными на протяжении всего курса. Задачи не только "тренируют" умение доказывать определенные факты и вычислять характеристики геометрических объектов, но и знакомят с новыми для студента объектами и конструкциями топологии и дифференциальной геометрии. Некоторые из них предлагается построить самостоятельно, используя описание, данное в тексте задачи.
Величины и конструкции дифференциальной геометрии и топологии часто имеют наглядную интерпретацию (например, гауссова кривизна поверхности в ее точке пропорциональна дефекту малого геодезического треугольника в окрестности этой точки), реализуются в физических процессах (поверхности, описывающие форму мыльных пленок, имеют нулевую среднюю кривизну - это требование минимальности потенциальной энергии) и в практической деятельности человека (задачи картографии и архитектуры).
Многие (хотя далеко не все) объекты дифференциальной геометрии и топологии нетрудно себе представить или нарисовать; они своеобразно красивы. Математика выступает еще и средством достижения художественной гармонии, а также может быть стимулом к научному и эстетическому творчеству.