Далее: Задачи для самостоятельного решения Вверх: Электромагнетизм Назад: Электромагнетизм

Примеры решения задач

Пример 1.1. Между полюсами магнита на двух тонких вертикальных npоволочках подвешен горизонтальный линейный проводник массой $ m=10 $г и длиной $ \ell=20 $см. Индукция однородного магнитного поля направлена вертикально и равна $ \vec{B}=0,25 $Тл. Весь проводник находится в магнитном поле. На какой угол от вертикали отклоняются проволочки, поддерживающие проводник, если по нему пропустить ток силой $ I=2 A$? Массами проволочек пренебречь.

\hbox to 0.4\hsizeРешение. На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера, которая отклонит проволочки, поддерживающие проводник, от вертикали. Для наглядности решения задачи изобразим проводник в таком положении, что ток в нем уходит за плоскость листа, при этом линии магнитной индукции направим вертикально вверх ($ AC$ -- одна из проволок, поддерживающих проводник).


\begin{center}\vbox{\def\basepath{D:/html/work/link1/metod/met25} \def\metdir{} \getpic{M31}}\end{center}

Будем считать, что все силы, действующие на проводник, приложены в центре тяжести проводника.

Напишем условие равновесия линейного проводника, подвешенного на вертикальных проволоках $ AC$, в магнитном поле после пропускания тока:

$\displaystyle m\vec{g} + \vec{F_A}+\vec{T}=0 ,$ (1)

здесь $ \vec{T}$ - суммарная сила натяжения поддерживающих проволочек;
  $ \vec{F}_A$ - сила Ампера, направление которой определяется по правилу левой руки.

Спроектируем уравнение (1) на оси $ OX$ и $ OY$:


$\displaystyle F_A-T\sin{\alpha}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0 ,$ (2)
$\displaystyle -mg+T\cos{\alpha}$ $\displaystyle =$ 0  

Перепишем систему (2) в виде:

$\displaystyle F_A=T\sin{\alpha} ,$ (3)

$\displaystyle mg=T\cos{\alpha} .$ (4)

После деления выражения (3) на (4) получим:

$\displaystyle {F_A\over mg}=\tg{\alpha} .$ (5)

Учтем, что сила Ампера $ F_A=IB\ell\sin{\beta}$. По условию задачи
$ \beta=90^\circ , \sin{\beta}=1$. Подставив данные в уравнение (5), рассчитаем угол, на который отклоняются проволочки, поддерживающие проводник с током в магнитном поле:

$\displaystyle \tg{\alpha}={IB\ell\over mg} ;\quad \tg{\alpha}={2\cdot 0,25\cdot 0,2\over 0,01\cdot 9,8}=1 ,\quad \alpha=45^\circ .$

Проверим единицы измерения:

$\displaystyle [\tg{\alpha}]={A\cdot\text{Тл}\cdot\text{м}\over\text{кг} \cdot{\... ...ot\text{м}\over A\cdot\text{м}\cdot\text{Н}} \text{- величина безразмерная.}$

Ответ: $ \alpha=45^\circ С $.

Пример 1.2. Какой магнитный поток пронизывает плоскую поверхность площадью $ 50 $см$ ^2$ при индукции поля 0,4Тл, если эта поверхность: а) перпендикулярна вектору индукции поля; б) расположена под углом $ 30^\circ$ к вектору индукции?

\hbox to 0.4\hsizeРешение. Магнитный поток -- это скалярная величина, определяемая:
Ф$ =BS\cos{\alpha}$, где $ \alpha$ -- угол между вектором $ \vec{B}$ и нормалью к поверхности, которую пронизывает магнитный поток.

а) В этом случае поверхность перпендикулярна вектору $ \vec{B}$, следовательно, угол $ \alpha$ между нормалью к поверхности и вектором $ \vec{B}$ будет равен 0, следовательно, поток в этом случае максимальный, так как $ \cos{0}=1$, Ф$ =BS$.

Рассчитаем: Ф$ =0,4\cdot 50\cdot 10^{-4} $Вб$ =2\cdot 10^{-3} $Вб$ =2 $мВб.

б) По условию задачи известен угол $ \varphi=30^\circ$ между плоскостью поверхности и вектором $ \vec{B}$. Значит угол между нормалью к поверхности и $ \vec{B}$ составит $ 60^\circ$. Определим искомый поток: Ф$ =BS\cos{60^\circ}$.

Ф$\displaystyle =0,4\cdot 50\cdot 10^{-4}\cdot{1\over 2} $Вб$\displaystyle = 10^{-3} $Вб$\displaystyle =1 $мВб$\displaystyle .$

Ответ: a) $ 2 $мВб; б) $ 1 $мВб$ .$

Пример 1.3. На проволочный виток радиусом 10см, помещенный между полюсами магнита, действует максимальный механический момент 6,5мкНм. Сила тока в витке равна 2А. Определить магнитную индукцию поля между полюсами магнита. Действием магнитного поля Земли пренебречь.

\hbox to 0.4\hsizeРешение. На контур с током (виток или рамку), помещенный в магнитное поле, действует вращательный момент, который определяется так:

$\displaystyle \vec{M}=\vec{p}_m\times\vec{B} ,$ (6)

где $ \vec{p}_m$ - магнитный момент контура с током

$\displaystyle \vec{p}_m={p}_m\vec{n} ;\quad {p}_m=IS ,$ (7)

$ \vec{n}$ -- единичный вектор, направление которого совпадает с направлением положительной нормали. Таким образом, контур с током в магнитном поле будет поворачиваться до тех пор, пока вектор $ \vec{n}$ не совпадет с направлением $ \vec{B}$, то есть контур с током в магнитном поле ориентируется. Перепишем выражение (6):

$\displaystyle M={p}_mB\sin{\alpha} .$ (8)

По условию задачи на проволочный виток действует максимальный механический момент. Следовательно, угол $ \alpha$ между $ \vec{p}$ и $ \vec{B}$ составляет $ 90^\circ$ и $ \sin{\alpha}=1$. Если учесть (7), выражение (8) можно записать так: $ M_{max}=ISB$, здесь $ S$ -- площадь контура радиусом 10см, то есть $ S=\pi r^2$. Запишем окончательное выражение для определения искомого вектора В:

$\displaystyle B={M_{max}\over I\pi r^2} .$

Произведем расчет:

$\displaystyle B={6,5\cdot 10^{-6}\over 2\cdot 3,14\cdot 0,01} $Тл$\displaystyle =103,5\cdot 10^{-6} $Тл$\displaystyle =103,5 $мкТл$\displaystyle .$

Проверим единицы измерения:

$\displaystyle [B]={\text{Н}\cdot\text{м}\over A\cdot\text{м}^2}= {\text{Н}\over A\cdot\text{м}}=\text{Тл} .$

Ответ: $ B=103,5 $мкТл$ .$

Пример 1.4. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов 400В, попал в однородное магнитное поле с индукцией 1,5мТл. Определить: 1) радиус кривизны траектории; 2) частоту вращения электрона в магнитном поле. Вектор скорости электрона перпендикулярен линиям индукции.

\hbox to 0.4\hsizeРешение. 1) На заряд, движущийся со скоростью $ \vec{v}$ в магнитном поле с индукцией $ \vec{B}$, действует сила Лоренца $ \vec{F}=q\vert\vec{v}\times\vec{B}\vert$ или $ F = \vert e\vert\vec{v}B\sin{\alpha}$. Вектор силы Лоренца перпендикулярен вектору скорости $ \vec{v}$ и, следовательно, сообщает электрону нормальное ускорение. Учитывая это, можно записать:

$\displaystyle \vert e\vert vB\sin{\alpha}=m{v^2\over R} .$ (9)

Из формулы (9) выразим радиус кривизны траектории, принимая во внимание, что $ \alpha=90^\circ$ по условию:

$\displaystyle R={mv\over \vert e\vert B} .$ (10)

Входящую в выражение (10) скорость электрона выразим через кинетическую энергию электрона:

$\displaystyle E={mv^2\over 2} .$ (11)

Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов $ U$, определяется равенством: $ E_{\text{к}}=\vert e\vert U$. Подставим это выражение в формулу (11) и выразим скорость электрона:

$\displaystyle v=\sqrt{2\vert e\vert U\over m} .$

Вернемся к выражению (10) с учетом скорости

$\displaystyle R={m\over \vert e\vert B}\sqrt{2\vert e\vert U\over m}={1\over B}\sqrt{2mU\over \vert e\vert} .$ (12)

Произведем вычисления:

$\displaystyle R={1\over 1,5\cdot 10^{-3}}\sqrt{2\cdot 9,1\cdot 10^{-31}\cdot 400\over 1,6\cdot 10^{-19}} \text{м}=4,5\cdot 10^{-2} \text{м}=4,5 \text{см} .$

Проверим единицы измерения:

$\displaystyle [R]={1\over\text{Тл}}\sqrt{\text{кг}\cdot B\over \text{Кл}}={A\cd... ... A \cdot c}=\text{м}\sqrt{A\cdot\text{кг}\cdot B\over \text{Н}^2\cdot\text{с}}=$

$\displaystyle \qquad\qquad\qquad\quad=$м$\displaystyle \sqrt{\text{Дж}\cdot\text{кг}\over \text{Н}^2\cdot\text{с}^2}= \t... ...t{Дж}\cdot\text{кг}\cdot\text{м}^2\over \text{Дж}^2\cdot\text{с}^2}=\text{м} .$

2) Для определения частоты вращения электрона воспользуемся соотношением между линейной скоростью движения электрона и угловой скоростью:

$\displaystyle v=\omega R=2\pi nR ,$   откуда

$\displaystyle n={v\over 2\pi R}={\vert e\vert B\over 2\pi m} .$

$\displaystyle n={1,6\cdot 10^{-19}\cdot 1,5\cdot 10^{-3}\over 2\cdot 3,14\cdot 9,1\cdot10^ {-31}}=4,2\cdot 10^7 \text{с}^{-1}=4,2\cdot 10^7 \text{Гц} .$

Ответ: $ R=4,5 $см$ ; n=4,2\cdot 10^7 $Гц$ .$

Пример 1.5. Между полюсами электромагнита помещена катушка, соединенная с баллистическим гальванометром. Ось катушки параллельна линиям индукции. Катушка сопротивлением $ R_1=4 $Ом имеет $ N=15$ витков площадью $ S=2 $см$ ^2$. Сопротивление $ R_2$ гальванометра равно 46Ом. Когда ток в обмотке электромагнита выключили, по цепи гальванометра прошел заряд $ Q=90 $мкКл. Вычислить магнитную индукцию $ B$ поля электромагнита.

\hbox to 0.4\hsizeРешение. При выключении электромагнита поток магнитной индукции, пересекающий контур катушки, меняется от Ф до 0, и по катушке, согласно закону электромагнитной индукции, протекает индукционный ток. По закону Фарадея ЭДС индукции:

$\displaystyle \varepsilon_i =-{\Delta\text{Ф}\over \Delta t} ,$ (13)

По закону Ома для замкнутой цепи:

$\displaystyle \varepsilon_i=I_i(R_1+R_2) ,$ (14)

-- здесь следует учитывать сумму сопротивлений $ (R_1+R_2)$, поскольку баллистический гальванометр включен последовательно с катушкой.

Приравняем правые части выражений (13) и (14):

$\displaystyle I_i(R_1+R_2)=-{\Delta\text{Ф}\over \Delta t} ,$ (15)

где $ \Delta$Ф$ =N\Delta BS=N(0-B)S$, поскольку магнитная индукция убывает.

Учтем, что $ I_i={\Delta Q\over\Delta t}$ и перепишем выражение (15):

$\displaystyle {\Delta Q\over \Delta t}(R_1+R_2)={NBS\over\Delta t} .$

Выразим из последнего выражения индукцию:

$\displaystyle B={\Delta Q(R_1+R_2)\over NS} ,$   здесь $\displaystyle \Delta Q=Q .$

Произведем вычисления в СИ:

$\displaystyle B={90\cdot 10^{-6}\cdot 50\over 15\cdot 2\cdot 10^{-4}} $Тл$\displaystyle =1,5 $Тл$\displaystyle .$

Ответ: $ B=1,5 $Тл$ .$

Пример 1.6. В однородном магнитном поле с индукцией $ B=0,4 $Тл в плоскости, перпендикулярной линиям индукции поля, вращается проводящий стержень длиной $ \ell=10 $см. Ось вращения проходит через один из концов стержня. Определить разность потенциалов на концах стержня при частоте вращения $ n=16 c^{-1}$.

\hbox to 0.4\hsizeРешение. Предположим, что магнитное поле направлено за плоскость листа, а стержень вращается вокруг оси $ O$ против часовой стрелки. Рассмотрим частицу внутри проводника, которая может перемещаться вдоль проводника. Пусть частица имеет положительный заряд. На эту частицу, движущуюся вместе с проводником со скоростью $ \vec{v}_i$, действует сила Лоренца, которая будет смещать положительные частицы к оси, а на конце $ A$ окажется избыток электронов.

Сила Лоренца: $ F=qv_iB\sin{\alpha}$.

\begin{center}\vbox{\getpic{M32}}\end{center}

Эта сила совершает работу $ A=qv_iB\ell\sin{\alpha}$ по перемещению зарядов вдоль проводящего стержня. Отношение этой работы к величине заряда есть элекродвижущая сила:

$\displaystyle \varepsilon=Bv_i\ell\sin{\alpha} .$ (16)

Роль сторонних сил, вызывающих ЭДС индукции, в этом случае играет сила Лоренца, по условию задачи $ \alpha=90^\circ , \sin{\alpha}=1$.

Выражение (16) было бы справедливо для ЭДС индукции в проводящем стержне, движущемся в магнитном поле поступательно с постоянной скоростью.

В случае данной задачи каждая частица в стержне, вращающемся с угловой скоростью $ \omega=2\pi n$, будет иметь разную линейную скорость, которая изменяется от 0 (в точке$ O$) до $ v=\omega\ell$ (в точке$ A$).

Искомая разность потенциалов будет равна по модулю ЭДС индукции. Представим выражение (16) с учетом условия и данных задачи:

$\displaystyle \Delta\varphi=\int\limits_0^{\ell}Bv d\ell=\int\limits_0^{\ell} ... ...limits_0^{\ell} B\cdot 2\pi n\ell d\ell=2\pi nB{\ell^2\over 2}=\pi nB\ell^2 .$

Рассчитаем:

$\displaystyle \Delta\varphi=3,14\cdot 16\cdot 0,4\cdot 0,01 $B$\displaystyle =0,201 $B$\displaystyle =201 $мВ$\displaystyle .$

Ответ: $ \Delta\varphi=201 $мВ$ .$

Далее: Задачи для самостоятельного решения Вверх: Электромагнетизм Назад: Электромагнетизм

ЯГПУ, Центр информационных технологий обучения
23.10.2006