Далее: 3. Задачи на нахождение Вверх: Элементарная математика Назад: 1. Применение производной для

2. Геометрический и механический смысл производной

Геометрический смысл производной

Пусть функция $f$ определена в некоторой окрестности $U(x_0 )$ токи $x_0$, непрерывна в этой точке и $y_0 = f(x_0 )$, а $M_0 = (x_0 ,y_0 )$ (рис.2).

Рис. 2

Придав произвольное приращение аргументу $\Delta x$, так чтобы $x_0 + \Delta x \in U(x_0 )$, перейдем к точке $M$ с абсциссой $x_0 + \Delta x$ и ординатой $y_0 + \Delta y$, где $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0 )$.

Уравнение прямой, проходящей через точки $M_0$ и $M$ (секущей графика функции $f)$, имеет вид: $y = \frac{\Delta y}{\Delta x}\left( {x - x_0 } \right) + y_0$, где отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ представляет собой угловой коэффициент секущей ($tg\varphi )$.

Касательной к графику функции $f$ в точке $M_0$ называется предельное положение секущей $M_0 M$, при стремлении точки $M$ по графику $f$ к точке $M_0$.

Для того, чтобы секущая $M_0 M$ при $\Delta x \to 0$ стремилась к предельному положению, отличному от вертикальной прямой , необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$, то есть , чтобы существовала конечная производная функции $y = f(x)$ в точке $x_0$.

Угловой коэффициент касательной получается путем перехода от $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ к пределу при $\Delta x \to 0$:

$$tg\alpha = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} tg\varphi... ...hop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}.$$

Таким образом, получим, что ${f}'(x_0 ) = tg\alpha$, где $\alpha$ - угол наклона касательной к оси $OX$ (см. рис.), а значение производной равно угловому коэффициенту касательной к графику функции. В этом заключается геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции $f$ в точке $M_0$ имеет вид

$$y = {f}'(x_0 )(x - x_0 ) + y_0 .$$

В случае бесконечной производной ${f}'(x_0 ) = \infty$.

Из уравнения секущей имеем:

$$\frac{y}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} = x - x_0 + \frac{y_0 }{\frac{\Delta y}{\Delta x}}.$$

Переходя в равенстве к пределу при $\Delta x \to 0$, получаем уравнение касательной к графику функции в точке $x_0$ в виде $x = x_0$, то есть касательная является в данном случае вертикальной прямой, проходящей через точку $x_0$ оси абсцисс.

Механический смысл производной

Пусть материальная точка движется прямолинейно и $S = S(t)$ - длина пути, проходимого за время $t$, отсчитываемого от некоторого момента времени $t_0$.

Для определения скорости $V$ в данный момент $t$ придадим переменной $t$ некоторое приращение $\Delta t$, при этом приращение пути будет равно $\Delta S = S(t + \Delta t) - S(t)$.

Отношение $\frac{\Delta S}{\Delta t}$ называется в физике величиной средней скорости движения за промежуток времени, начиная с момента времени $t$, и обозначается

$$V_{ср} = \frac{\Delta S}{\Delta t}.$$

Предел $\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} V_{ср} = V$ называется величиной мгновенной скорости движения в момент времени $t$.

Таким образом, мгновенная скорость в момент времени $t$ прямолинейного движения, совершаемого по закону $S = S(t)$ равна значению производной ${S}'(t)$.

Примеры задач

Задача 1. Составьте уравнение общей касательной к графикам функций $y = x^2$ и $y = x^3$.

Решение.

I способ.

Прямая $y = kx + b$ является общей касательной графиков функций $y = f_1 (x)$ и $y = f_2 (x)$, если она касается как одного, так и другого графиков, но совершенно не обязательно в одной и той же точке.

$$y = 2x_0 (x - x_0 ) + x_0^2 \quad - {у}{р}{а}{в}{н}{ е}{н}{и... ...2{в}{т}{о}{ч}{к}{е}{с}{а}{б}{ с}{ц}{и}{с}{с}{о}{й} \quad x_0 .$$

$$y = 3x_1^2 (x - x_1 ) + x_1^3 \quad - {у}{р}{а}{в}{ н}{е}{н}... ...3{в}{т}{о}{ч}{к}{е}{с}{а}{б}{ с}{ц}{и}{с}{с}{о}{й} \quad x_1 .$$

Прямые совпадают, если их угловые коэффициенты и свободные члены равны. Отсюда

$$\left\{ {\begin{array}{l} 2x_0 = 3x_1^2 , \\ - x_0^2 = - 2x_1^3 . \\ \end{array}} \right.$$

Решением системы будут

$$\left\{ {\begin{array}{l} x_0 = 0 \\ x_1 = 0 \\ \end{ar... ...\frac{32}{27} \\ x_1 = \frac{8}{9} \\ \end{array}} \right.$$

Уравнения общих касательных имеют вид:

$$y = 0; \quad y = \frac{64}{27}x - \frac{1024}{729}.$$

II способ.

Уравнение касательной к кривой $y = x^3$ в точке с абсциссой $x_1$ имеет вид:

$$y = 3x_1^2 (x - x_1 ) + x_1^3 .$$

Для касания прямой $y = kx + b$ параболы $y = x^2$ достаточно, чтобы дискриминант квадратного уравнения $x^2 - kx - b = 0$ был равен нулю.

$$D = k^2 + 4b.$$

Заметим, что: $\begin{array}{l} k^2 + 4b = 0; \\ k = 3x_1^2 ;b = - 2x_1^3 . \\ \end{array}$

Получаем $9x_1^4 - 8x_1^3 = 0$

$$x_1^3 (9x_1 - 8) = 0.$$

$$x_1 = 0{и}{л}{и} \quad x_1 = \frac{8}{9}.$$

Ответ: Уравнения общих касательных имеют вид: $y = 0$ и $y = \frac{64}{27}x - \frac{1024}{729}$.

Задача 2. График функции $y = \sqrt {10 - 4x} - 1$ пересекает ось абсцисс в точке $M$, а касательная к графику пересекает ось абсцисс в точке $N$. Напишите уравнение этой касательной, если точка $M$ делит пополам отрезок $ON$, где $O$ - начало координат.

Решение.

Найдем абсциссу точки $M$, решив уравнение $\sqrt {10 - 4x} - 1 = 0$.

$$\sqrt {10 - 4x} = 1;x = \frac{9}{4}.$$

Точка $M$ имеет координаты $\left( {\frac{9}{4};0} \right)$.$M$ - середина отрезка $ON$, значит, точка $N$ имеет координаты $\left( {\frac{9}{2};0} \right)$.

Функция $y = \sqrt {10 - 4x} - 1$ определена при $x \le 2,5$ и дифференцируема при $x < 2,5$.

Составим уравнение касательной в точке графика с абсциссой $x_0$.

$$y = \frac{ - 2}{\sqrt {10 - 4x_0 } }(x - x_0 ) + \sqrt {10 - 4x_0 } - 1.$$

Касательная проходит через точку $N\left( {\frac{9}{2};0} \right)$. Значит,

$$\frac{ - 2}{\sqrt {10 - 4x_0 } }\left( {\frac{9}{2} - x_0 } \right) + \sqrt {10 - 4x_0 } - 1 = 0.$$

Решим это уравнение.

$$\begin{array}{l} 2x_0 - 9 + 10 - 4x_0 - \sqrt {10 - 4x_0 } ... ...x_0 \le \frac{1}{2}; \\ \end{array}} \right. \\ \end{array}$$

$$x_0 = - \frac{3}{2}.$$

Уравнение касательной имеет вид:

$$y = - 0,5x + 2,25.$$

Ответ: $y = - 0,5x + 2,25$.

Задача 3. Точка движется прямолинейно под действием постоянной силы с ускорением 2 м / с$^{2}$ и с нулевой начальной скоростью. Через три секунды после начала движения сила прекращает действовать, и точка начинает двигаться равномерно с набранной скоростью. Найдите закон движения точки.

Решение. Выберем систему координат так, чтобы в начальный момент времени точка находилась в начале координат, то есть при $t = 0 \quad S = 0$.

Закон движения $S = \frac{at^2}{2}$ при $a = 2$ имеет вид: при $0 \le t \le 3$. При $t \ge 3$ графиком движения является прямая - касательная к параболе , проведенная в точке $\left( {3;9} \right)$. Найдем уравнение этой касательной.

$$% latex2html id marker 3669\begin{array}{l} S = {S}'(\ref{eq5})(t - 3) + S(\ref{eq5}); \\ S = 6t - 9. \\ \end{array}$$

Таким образом, закон движения имеет вид: $S = \left[ {\begin{array}{l} t^2,\quad\mbox{если} t \in \left[ {0;3} \right], 6t - 9,\quad\mbox{если} t \ge 3. \\ \end{array}} \right.$

Ответ: $S = \left[ {\begin{array}{l} t^2,\quad\mbox{если} t \in \left[ {0;3} \right], 6t - 9,\quad\mbox{если} t \ge 3. \\ \end{array}} \right.$

Задача 4. Паром подтягивается к берегу при помощи каната, который наматывается на ворот со скоростью 40 м / мин. Ворот находится на берегу на 10 м выше поверхности воды. Найдите:

а) скорость движения парома в тот момент, когда он находится в 30 м от берега;

b) скорость движения парома в тот момент, когда длина натянутого каната равна 50 м.

Решение.

а) Пусть $x(t)$ м - расстояние от парома до берега. В выбранной системе координат в точке $M$ находится ворот, паром - в точке $N$(рис. 3).

По теореме Пифагора:

$MN^2 = OM^2 + ON^2.$

Рис. 3

$$MN = S(t); \quad OM = 10; \quad ON = x(t).$$

$$S^2(t) = 100 + x^2(t); \quad S(t) = \sqrt {100 + x^2(t).}$$

При наматывании каната на ворот расстояние $ON$

уменьшается. Значит, ${S}'(t) = - 40.$

С другой стороны, ${S}'(t) = \frac{2{x}'(t)}{2\sqrt {100 + x^2(t)} }.$

При $x = 30$ получаем

$${S}'(t) = \frac{30{x}'(t)}{\sqrt {100 + 900} } = \frac{3{x}'(t)}{\sqrt {10} }.$$

Из решения уравнения $\frac{3{x}'(t)}{\sqrt {10} } = - 40$ находим искомую скорость движения: ${x}'(t) = \frac{ - 40\sqrt {10} }{3}$ (м / мин). Знак ``минус'' означает, что паром приближается к берегу.

b) $S_0 = 50$, $x(t) = \sqrt {2500 - 100} = 20\sqrt 6$.

Получаем: $- 40 = \frac{20\sqrt 6 }{50}{x}'(t)$. Откуда ${x}'(t) = - \frac{50}{3}\sqrt 6$.

Ответ:

$$\frac{ - 40\sqrt {10} }{3}{м} \quad / {м}{и}{н};$$

$$- \frac{50}{3}\sqrt 6 {м} \quad / {м}{и}{н}.$$

Задачи для самостоятельного решения

1. Составьте уравнение всех касательных к графику функции $y = f(x)$, которая проходит через точку $A$:

$$f(x) = \sqrt {4x - 3} , \quad A(2;3);$$

, ;

$$f(x) = \frac{x + 1}{x}, \quad A(a;b).$$

Сколько существует решений в зависимости от выбора точки?

2. На графике функции $f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 6x$ найдите все точки, касательная в каждой из которых к этому графику отсекает от отрицательной полуоси ОХ отрезок вдвое меньше, чем от положительной полуоси ОУ.

3. На графике функции $f(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 - 22x - 28$ найти все такие точки, касательная в каждой из которых к графику пересекает положительные полуоси и отсекает от них равные по длине отрезки.

4. Доказать, что касательная к гиперболе $xy = a^2$ образует с осями координат треугольник постоянной площади, а точка касания является центром окружности, описанной около этого треугольника.

5. График функции $y = 2 - \sqrt {2x + 2}$ пересекает ось абсцисс в точке К, а касательная к графику пересекает ось абсцисс в точке С. Напишите уравнение этой касательной, если начало координат является серединой отрезка КС.

6. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = (1 - x)\sqrt {1 - x} - x^2$, не пересекающей прямой $y = 3x$.

7. Прямая $y = 5 - x$ является касательной к графику функции $y = x - \sqrt {x^2 - 2x + a}$. Найдите координаты точки касания.

8. Докажите, что касательная к графику функции $y = x^2 - 4$ в точке с абсциссой $x_0 = - 2$ и наклонная асимптота графика функции $y = \frac{8x^2 - 4x + 9}{3 - 2x}$ параллельны.

9. Окружность радиуса 1 с центром на положительной полуоси ОУ касается параболы $y = x^2$. Найти точку касания и положение центра окружности.

10. Составьте уравнение общей касательной к графикам функций:

$$y = 2x^2 - 2x + 7{и} \quad y = 5 - x^2 + 2x;$$

$$y = 2x^2 + 2x + 9{и} \quad y = 6 - x^2.$$

11. Найдите все значения $x$, при каждом из которых касательные к графикам функций $y = 3\cos 5x$ и $y = 5\cos 3x + 2$ в точках с абсциссой $x$ параллельны.

12. На координатной плоскости построены две параболы $y = 2x^2 + 2x + 8$ и $y = - x^2 + 4$, и к ним проведены две общие касательные. Найдите уравнение этих общих касательных, а также координаты точек касания. Докажите, что четырехугольник с вершинами в точках касания является параллелограммом.

13. При каких значениях параметра $m$, прямая, проходящая через точки $A( - 1; - 3)$ и $B(2;m)$ касается параболы $y = x^2$?

14. Найти величину угла, под которым парабола $y = x^2$ видна из точки $A(2; - 1)$.

15. Найти множество точек действительной оси над которыми касательная к графику функции $y = f(x)$ образует с этой осью острый угол, параллельна оси, если

$$f(x) = \left( {x^2 - 3x + 2} \right)^2;$$

$$f(x) = \sqrt[3]{5 + 4x - x^2}.$$

16. При каких значениях параметра $m$, парабола, проходящая через точки $A( - 1;0)$ и $B(2;0)$ и $C(0;m)$касается прямой $y = 6 - 2x$?

17. Доказать, что при любом значении $a$ существует касательная к графику функции $y = x^3 - a^2x$, перпендикулярная прямой $y = - x$.

18. Найти все значения параметра $a$, при которых на графике функции $f(x) = ax^3 + (a - 1)x^2$ существует единственная точка с отрицательной абсциссой, касательная в которой параллельна прямой $y = 2x$.

19. Найти все такие числа $a$ и $b$, что парабола $y = ax^2 + bx + 2$ касается прямых $y = 3x - 4$ и $y = - 3x$.

20. При каких значениях $a$ существует ровно две точки на графике функции $y = f(x)$, касательные в которых к этому графику параллельны прямой $y = ax$

$$f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 - 2x + 5;$$

$$f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2x - 3.$$

21. К параболе $y = x^2 - 3x + 3$ проведены две касательные. Одна из них касается левой ветви параболы и одновременно кривой, заданной уравнением $5x^2 - 50x + 5y^2 + 53 = 0$. Тангенс угла между двумя касательными равен $\frac{4}{7}$. Определите площадь фигуры, заключенной между параболой и этими касательными.

22. К графику функции $f(x) = 2x^4 - x^3 - \frac{4x}{3} + 1$ в точке с абсциссой $x_0 = 0$ проведена касательная. Найдите расстояние от начала координат до этой касательной.

23. Для параболы $y = ax^2$ точка $F\left( {0;\frac{1}{4a}} \right)$ является ее фокусом. Докажите, что лучи света, исходящие из фокуса, отражаются в любой точке параболы параллельно ее оси симметрии.

24. Дана функция $f(x) = x^3 + 3x^2$. Докажите, что

фигуры, ограниченные отрезками горизонтальных касательных к графику функции $f$ и дугами этого графика между точками его пересечения с касательными имеют равные площади;

прямая, касающаяся графика функции $f$ в точке с абсциссой $K_0$, где $x_0 \ne - 1$, пересечет этот график еще в одной точке, абсцисса которой $x_1 = - 2x_0 - 3$.

25. Дана функция $f(x) = \frac{x^2 - 2}{x}$. Найдите

уравнения касательных к графику функции $f$, параллельных прямой проходящей через точки с абсциссами 1 и 4 на этом графике;

множество значений углов наклона касательных к графику функции$f$;

уравнения тех касательных к графику данной функции , которые вместе с осями координат образуют треугольник, площадью $\frac{8}{3}$.

26. К каждой ветви графика функции $y = - \frac{2}{x}$ проведено по касательной. Пусть $A,B,C,D$ точки их пересечения с осями координат (рис. 4). Докажите, что треугольники AOD и BOC равновелики.

Рис. 4

27. Две точки движутся по одной прямой по законам $S = t^2$ и $S = \frac{t^3}{2} \quad (t \ge 0)$. Каковы их скорости в момент встречи? В какой момент времени их скорости одинаковы? Постройте графики движения и поясните полученные результаты.

28. Покажите, что если точка движется по закону $S = at^2 + bt + c \quad (a \ne 0)$, то на нее действует постоянная сила. Будет ли сила постоянной, если $S = at^4 + bt^3 + ct^2 + dt + f \quad (a \ne 0)$?

29. Высота тела, брошенного вертикально вверх, меняется в зависимости от времени по закону $H = 200t - 4,9t^2$. Найдите скорость тела в конце десятой секунды. Сколько времени тело будет лететь вверх и какой наибольшей высоты оно достигнет.

30. Точка совершает прямолинейное колебательное движение по закону $x = A\sin \omega t$. Определите скорость и ускорение движения в момент времени $t = \frac{2\pi }{\omega }$. Покажите, что ускорение движения пропорционально отклонению $x$.

31. Угол $\alpha$ (в радианах), на который повернется колесо за $t$ секунд, равен $\alpha = 3t^2 - 12t + 36$. Найдите угловую скорость колеса в момент $t = 4$ с и момент, когда колесо остановится.

32. При деформации одна из сторон прямоугольника увеличивается с постоянной скоростью 1 см / ч, а другая уменьшается со скоростью 0,5 см / ч. Найти скорость изменения площади прямоугольника через 45 минут после начала деформации, если известно, что в этот момент его площадь равна 20 см$^{2}$, а первоначальная площадь прямоугольника 17 см$^{2}$.

33. Человек приближается со скоростью $b$ м / с к подножию башни высотой $h$ м. Какова скорость его приближения к вершине башни, когда он находится на расстоянии $l$ м от основания?

34. Лестница, длиной 5 м, приставлена к стене таким образом, что верхний ее конец находится на высоте 4 м. В некоторый момент времени нижний конец лестницы начинает скользить по полу в направлении от стены, при этом верхний конец приближается к поверхности земли с постоянным ускорением 2 м /с$^{2}$. С какой скоростью удаляется от стены нижний конец лестницы в тот момент, когда верхний конец находится на высоте 2 м?

35. Из конусообразной воронки высыпается песок с постоянной скоростью а м$^{3}$ / с. С какой скоростью будет понижаться уровень песка в воронке?

36. Лошадь бежит по окружности со скоростью 20 км / ч. В центре окружности стоит фонарь, по касательной к окружности в точке, откуда лошадь начинает свой бег, расположен забор. С какой скоростью будет перемещаться тень лошади вдоль забора в момент, когда лошадь пробежит $\frac{1}{8}$ окружности?

37. Человек приближающийся к вертикальной стене, освещен сзади фонарем, находящемся на расстоянии $l$ от стены. Скорость движения человека равна $V$. С какой скоростью увеличивается его тень, если рост человека $h$?

Далее: 3. Задачи на нахождение Вверх: Элементарная математика Назад: 1. Применение производной для