Далее: Литература Вверх: Элементарная математика Назад: 3. Задачи на нахождение

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти наименьшее значение функции $f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 7} \right) \cdot \left( {x - 4} \right) \cdot \left( {x + 2} \right) + 90$ и соответствующие значение аргумента.

   Ответ: $\min f(x) = f\left( {\frac{5 - 3\sqrt 5 }{2}} \right) = 9$.

2. Найдите наименьшее значение функций:

   
   

   $$f(x) = \frac{x^4 - 4x^3 + 8x^2 - 8x + 5}{x^2 - 2x + 2};$$
   
   

   Ответ: 2.

   
   

   $$y\left( х \right) = \left( {х - 1} \right) \cdot \left( {х - 2} \right) \cdot \left( {х - 3} \right) + 4;$$
   
   

   Ответ: 3.

   
   

   $$y = \left( {2х^ - 4х + 6} \right) \cdot \left( {х^2 - 2х + 7} \right);$$
   
   

   Ответ: 24.

   
   

   $$y = 2\sin ^4x + \cos ^4x;$$
   
   

   Ответ: $\frac{2}{3}$.

   
   

   $$f(x) = \frac{х^4 - 2х^3 + 3х^2 - 2х + 2}{х^2 - х + 1};$$
   
   

   Ответ: 2.

   
   

   $$f(x) = \frac{х^4 + 2х^3 + 5х^2 + 4х + 5}{х^2 + х + 2};$$
   
   

   Ответ: $\frac{65}{28}$.

   
   

   $$f(x) = \frac{4х^4 + 4х^3 + 5х^2 + 2х + 2}{2х^2 + х + 1};$$
   
   

   Ответ: -2,5.

   
   

   $$у(х) = \left\vert {х - 3} \right\vert + \left\vert х \right\... ...eft\vert {х + 3} \right\vert + \left\vert {х + 5} \right\vert;$$
   
   

   Ответ: 11.

   
   

   $$у = \left\vert {х + 2} \right\vert + \left\vert х \right\ver... ...eft\vert {х - 1} \right\vert + \left\vert {х - 3} \right\vert;$$
   
   

   Ответ: 6.

3. На промежутке $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ найдите наименьшее значение функции
   $y = tg^4x + ctg^4x - tg^2x - ctg^2x + tgx + ctgx$;

   Ответ: 2.

4. Найдите наименьшее значение функции
   $f(x) = \frac{8х - 5}{\sqrt {х^2 + 2х + 5} - \sqrt {х^2 - 6х + 10} }$ и при каких $х$ оно достигается?

   Ответ: 5 при $х =\frac{5}{3}$.

5. Найдите наибольшее значение выражения $\sqrt {\sin ^2x\left( {\cos y + \sin y} \right)^2 + \sin ^2x \cdot \sin ^2y + \cos ^2x}$ и представьте его в виде $a + b\sqrt c$, где $a \in R$, $b \in R$, $c \in R^ +$.

   Ответ: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt 5$.

6. Найдите наибольшее значение выражения

   
   

   $$xy + x\sqrt {1 - y^2} + y\sqrt {1 - x^2} - \sqrt {\left( {1 - x^2} \right) \cdot \left( {1 - y^2} \right)} ;$$
   
   

   Ответ: $\sqrt 2$.

   
   

   $$\frac{3y^2 - 4xy}{x^2 + y^2};$$
   
   

   Ответ: 4.

7. Найдите наибольшее значение функции:

   
   

   $$f(x) = \frac{1}{4\sin ^2x + 4\sin x + 3};$$
   
   

   Ответ: 0,5.

   
   

   $$f(x) = \frac{\cos \frac{1}{x}}{4\cos ^2\frac{1}{x} + 1};$$
   
   

   Ответ: $\frac{1}{4}$.

   
   

   $$f(x) = \sin 2x \cdot \sin x;$$
   
   

   Ответ: $\frac{4}{3\sqrt 3 }$.

   
   

   $$f(x) = \sqrt 3 \sin \left( {e^x + 3x - e^{x^{\frac{1}{7}}}} ... ...t) + \cos \left( {e^x + 3x - e^{x^{\frac{1}{7}}}} \right) + 3;$$
   
   

   Ответ: 5.

   
   

   $$f(x) = \sin \left( {4x + \frac{13\pi }{15}} \right) - \sin \left( {4x + \frac{\pi }{5}} \right);$$
   
   

   Ответ: $5\sqrt 3$.

   
   

   $$f(x) = 3x + 4\sqrt {1 - x^2} ;$$
   
   

   Ответ: 5.

8. Найдите наибольшее значение производной функции

   $f(x) = 18 + 13x + 24(5 - x)^3 + 13\sin (x - 5){н}{а}{о}{ т}{р}{е}{з}{к}{е}$[4; 6];

   Ответ: 26.

   
   

   $$f(x) = \sin \left( {6x + \frac{7\pi }{10}} \right) - \sin \left( {6x + \frac{\pi }{5}} \right);$$
   
   

   Ответ: $\sqrt 2$.

9. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

   
   

   $$f(x) = \frac{14}{3}\cos ^3x - \frac{13}{4}\cos 2x + \frac{39}{4};$$
   
   

   Ответ: 13; $\frac{11}{6}$.

   
   

   $$f(x) = \frac{15}{2}\sin x - 5\sqrt {\frac{15\sin x + 17}{2}} + \frac{55}{4};$$
   
   

   Ответ: $\frac{5}{4}$; -1.

   
   

   $$f(x) = 24\sin x + 7\cos x;$$
   
   

   Ответ: 25.

   
   

   $$f(x) = \log _3 \left( {3x + 6} \right) + \frac{1}{\pi }\arcsin x;$$
   
   

   Ответ: $\frac{1}{2};\frac{5}{2}$.

10. Найдите множество значений функции

    
    

    $$f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1};$$
    
    

    Ответ: $\left[ {\frac{1}{3};3} \right]$.

    
    

    $$f(x) = \frac{x^2 - 6x + 10}{x^2 + 2};$$
    
    

    Ответ: $\left[ {\frac{6 - \sqrt {34} }{2};\frac{6 + \sqrt {34} }{2}} \right]$.

    
    

    $$f(x) = \frac{x^2 - 3x + 1}{x^2 + 1};$$
    
    

    Ответ: $\left[ {\frac{1}{3};\frac{5}{3}} \right]$.

    
    

    $$f(x) = - \frac{x^2 + 2x}{x^2 + 2x + 3};$$
    
    

    Ответ: (-1; 0,5].

    
    

    $$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x};$$
    
    

    Ответ: R.

    
    

    $$f(x) = \log _3 \left( {3x + 6} \right) + \frac{1}{\pi }\arcsin x;$$
    
    

    Ответ: $\left[ {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right]$.

    $f(x) = \frac{16^x + 320 \cdot 4^{x - 3} + 10}{4^{x - 1}\left( {20 + 4^{x + 1}} \right) + 2};{О}{т}{в}{е}{т} \quad :$(1; 5).

    
    

    $$f(x) = \log _{\frac{1}{2}} \left( {7x - x^2 - 12} \right);$$
    
    

    Ответ: $\left[ {2; + \infty } \right)$.

    
    

    $$f(x) = 5^{2arctgx + 1};$$
    
    

    Ответ: $\left( {5^{1 - \pi };5^{1 + \pi }} \right)$.

    
    

    $$f(x) = \log _5 \left( {0,2 + \left\vert x \right\vert} \righ... ...eft\vert x \right\vert},{е}{с}{л}{и}{х} \ge \quad - \quad 0,8;$$
    
    

    Ответ: $\left( { - 5;4} \right] \cup \left( {3; + \infty } \right)$.

    
    

    $$f(x) = \frac{27^{\frac{2x}{3}} + 4 \cdot 3^{x + 2} + 6}{3^{x + 1} \cdot \left( {12 + 3^{\frac{x - 1}{2}}} \right) + 30};$$
    
    

    Ответ: $\left( {\frac{1}{5};1} \right)$.

11. Дан равносторонний треугольник со стороной $a$. Найдите длину наименьшего отрезка, соединяющего точки двух сторон этого треугольника и делящего треугольник на две равновеликие части.

    Ответ: $\frac{а\sqrt 2 }{2}$.

12. Какое наименьшее значение может принимать сумма квадратов расстояний от т. $Н (2; 2)$ до двух точек параболы у=х$^{2}$, симметричных относительно оси ординат?

    Ответ: $12\frac{5}{8}$.

13. Какая наибольшая площадь может быть у прямоугольника две вершины которого лежат на оси $х$, а две другие на графике функции у=(х - 1)$\cdot$(7 - x), у $\ge$ 0.

    Ответ: $12\sqrt 3$.

14. На прямой параллельной оси ординат взяты точки лежащие на графиках функций $у=х+3$ и у=х-1. Найдите координаты этих точек, если известно, что сумма квадратов расстояний от этих точек до точки М (-2; -3) является наименьшей из возможных.

    Ответ: на прямой у=х+3 - т. А(-3;0);

    на прямой у=х-1 - т. В(-3;-4).

15. Найдите наибольшее значение периметра прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат и с диагональю $ОМ$, где $О$ - начало координат, а $М$ - точка на графике функции у=8$\cdot$ln$\cdot$(11 - 2x)+x, 1,3 $\le$ x $\le$ 3,3.

    Ответ: 48$\cdot$ln2+6.

16. Найти наименьшее расстояние между графиками функций $у=х^{2}$ и$у=х-1.$

    Ответ: $\frac{3}{4\sqrt 2 }$.

17. На графике функции $y = x \cdot \cos ^2x + x \cdot \sin x$ найдите точку $М$, с условием $\frac{\pi }{3} \le x \le \pi$, у которой отношение ординаты к абсциссе было бы наименьшим.

    Ответ: $\left( {\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right);\left( {\pi ;\pi } \right)$.

18. Какую максимальную площадь может иметь четырехугольник, стороны которого последовательно равны $1-7а$; $7-6а$; $5-3а$; $14а+5$? Найти все $а,$ при которых она достигается.

    Ответ: Ѕ=16 при а=0.

19. На плоскости $Оху$ рассматривается прямоугольный треугольник АВС, где $\angle$АСВ = 90 , А (2; 0). Вершина $С$ лежит на отрезке [0; 2] оси $Ох$, $В$ - на параболе у=2х - х$^{2}.$Какие координаты должна иметь точка $В$, чтобы площадь треугольника $АВС$ была наибольшей. Найдите эту наибольшую площадь.

    Ответ: В $\left( {\frac{2}{3};\frac{8}{9}} \right)$. S=$\frac{16}{27}$.

20. Найдите наименьшее значение периметра прямоугольника со сторонами параллельными осям координат и с диагональю ОМ, где О - начало координат, а М - точка на графике функции у=5 - 0,3$\cdot$ln(2x - 5), где х $\in$ [2,6; 2,9].

    Ответ: 15,6-0,6$\cdot$ln0,6

21. Точка $А$ лежит на графике функции $у = f(x)$, точка $В$ - на оси $Ох$ и ее абсцисса в 4 раза больше ординаты точки $А$. Найдите наименьшее значение площади треугольника $ОАВ$, где $О$ - начало координат, а $f(x) = \sqrt {4x + 2\sin 2x - 9\sin x + 13}$, $\frac{\pi }{5} \le x \le \frac{4\pi }{5}$.

    Ответ: 4$\pi$ + 8.

22. Найдите наименьшее значение выражения: $\frac{25}{a} + \frac{36}{b}$, если $а>0$, $b>0$ и $a+b=14.$

    Ответ: $\frac{121}{14}$.

23. Найдите наименьшее значение выражения $9x^2 - 30x + y + 40$ при условии, что $3x^2 + 42x + y \ge 110$ и $18x^2 + 6x + y \le 98$.

    Ответ: 30.

24. Найдите наибольшее значение функции f(x, y)=x - y при условии, что ху $\ge$ 0 и $5x^2 - 6xy + 5y^2 - 32 \le 0$.

    Ответ: $\frac{4\sqrt 2 }{\sqrt 5 } = \frac{4\sqrt {10} }{5}$.

25. Найти наибольшее значение выражения $14х^2 + 40х + у - 324,5$ при условии, что $4х^2 + 20х + у \ge 162$ и $20х^2 - 80х + у \le 8$.

    Ответ: 30.

26. Среди всех решений системы

    $\left\{ {\begin{array}{l} у + 3х \le - 3 \\ х^2 + у^2 + 4х + 2у \le 11 \\ \end{array}} \right.,$
    найти такое, при котором выражение $х^2 + у^2 - 6х - 8у + 25$ принимает минимальное значение.

    Ответ: $\left( { - \frac{9}{5};\frac{12}{5}} \right)$.

    $\left\{ {\begin{array}{l} 3у + 2х \ge 2 \\ х^2 + у^2 - 2х - 4у \le 4 \\ \end{array}} \right.,$
    найти такое, при котором выражение $х^2 + у^2 + 4х + 6у + 13$ принимает минимальное значение.

    Ответ: $\left( {\frac{4}{13};\frac{6}{13}} \right)$.

27. Найти наибольшее и наименьшее значение выражения:

    $х^{2} + 2у^{2}$, если $х^{2}$ - ху +2у$^{2} = 1;$

    Ответ: max = $\frac{2\sqrt 2 }{2\sqrt 2 - 1}$,

    min = $\frac{1}{2\sqrt 2 + 1}$.

    $х^{2} + 7у^{2}$, если $х^{2}$ - 2ху + 7у$^{2} = 1;$

    Ответ: max = $\frac{3}{\sqrt 3 + 1}$,

    min = $\frac{\sqrt 3 }{\sqrt 3 - 1}$.

    $2х - 3у$, если 3$х^{2}$ - ху + 2у$^{2} = 5;$

    Ответ: max = $\sqrt {\frac{580}{23}}$,

    min = $- \sqrt {\frac{580}{23}}$.

    2х$^{2}$ - ху - у$^{2}$, если $х^{2}$+ 2ху + 3у$^{2} = 4;$

    Ответ: max = $6 + 3\sqrt 6$,

    min = $6 - 3\sqrt 6$.

28. Найдите наименьшее значение выражения $х^{2}$ - 2ху + 8у$^{2}$, если х + 2у = 4.

    Ответ: 7.

29. Найти наибольшее значение выражения $-7х^{2} - у^{2}$, если 3х - у =1.

    Ответ: $- \frac{7}{16}$.

30. Найти наибольшее значение выражения $х + 2у$, если $х, у$ отрицательны и удовлетворяют неравенству $х^{2}$ - 4ху + у$^{2}$ + 3 $\le$ 0.

    Ответ: $- \sqrt {13}$.

31. Найдите наибольшее значение $3х + 2у$, если $х$ и $у$ неположительные и 2х$^{2}$ - ху + 3у$^{2}$$\le$ 4.

    Ответ: 0.

32. Найдите наибольшие и наименьшие значения, которые может принимать $х + 2у$, если $3х^{2 }$- 2ху +4у$^{2}$ $\le$ 5.

    Ответ: $\frac{10}{\sqrt {11} }; - \frac{10}{\sqrt {11} }.$

33. Найдите наибольшее и наименьшее значения, которые может принимать выражение $2х^2 + 3ху + 4у^2$, если $х^2 - ху + 2у^2 = 3$.

    Ответ: $\frac{57 + 30\sqrt 2 }{7};\frac{57 - 30\sqrt 2 }{7}.$

34. Найти наименьшее значение, которое может принимать выражение 2$х^{2} -$2$ху + у^{2}$, если $х^2 - 2ху - 3у^2 = 4$.

    Ответ: $\frac{7 + \sqrt {65} }{2}$

35. Число 130 представить в виде суммы трех положительных чисел $х, у, z$ так, чтобы $z = 3у$ и сумма $S = x^2 + y^2 + z^2$ была наименьшей. В ответе указать число $х$.

    Ответ: 50.

36. Пункты $А, В, С$ расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной 200 км. Автомобиль и поезд одновременно начинают движение. Автомобиль движется из $А$ в $В$ со скоростью 80 км/ч, а поезд - из $В$ в $С$ со скоростью 50 км/ч. В какой момент времени (от начала движения) расстояние между поездом и автомобилем будет наименьшим?

    Ответ: $1\frac{27}{43}ч.$

37. По двум дорогам, пересекающимся под углом 60 , движутся к перекрестку (и дальше) с постоянными скоростями 75 км/ч и 25 км/ч автомобиль и велосипедист. В начальный момент времени расстояние до перекрестка составляют 5 км. В какой момент времени расстояние между автомобилем и велосипедистом достигнет наименьшего значения?

    Ответ: в начальный.

38. Стоимость изготовления $n$ банок пропорционально 24 + 4n + n$^{2}$. Определить количество банок, при котором стоимость изготовления одной банки минимальна.

    Ответ: 5.

39. Стоимость изготовления $m$ коробок пропорционально 17 + 5m + m$^{2}$. Определить количество коробок, при котором стоимость изготовления одной коробки минимальна.

    Ответ: 4.

40. Из круглого бревна радиуса $R$ требуется вырезать прямоугольную балку максимальной прочности. Известно, что прочность балки прямо пропорциональна произведению ее ширины на квадрат высоты. Какими должны быть размеры балки, чтобы ее прочность была максимальной?

    Ответ: $\frac{2R}{\sqrt 3 };\frac{2\sqrt 2 R}{\sqrt 3 }$.

41. В правильную четырехугольную пирамиду с высотой $Н$ и стороной основания, а вписана прямая четырехугольная призма, нижнее основание которой лежит в плоскости основания пирамиды, а вершины верхнего основания лежат на боковых ребрах. Определите высоту призмы, при которой:

    площадь ее боковой поверхности будет наибольшей;

    ее объем будет наибольшим.

    Ответ: а) $\frac{Н}{2}$; б) $\frac{Н}{3}$.

42. Две бригады рабочих мостили два участка дороги (первая бригада - первый участок, вторая - второй), причем объем работ на втором участке вдвое больше, чем на первом, а в первой бригаде на 10 рабочих меньше, чем во второй. Производительность труда всех рабочих одинакова. Бригады одновременно начали работу, и когда первая бригада закончила работу, вторая еще работала. Какое наименьшее число рабочих могло быть в первой бригаде?

    Ответ: 10.

43. Среди пар чисел (а; в), а $\le$ 0 для каждой из которых система уравнений
    $\left\{ {\begin{array}{l} х + у = а, \\ х^3 + у^3 = в, \\ \end{array}} \right.$имеет единственное решение, выбрать ту, для которой выражение $4в - а$принимает наибольшее значение.

    Ответ: $\left( { - \frac{\sqrt 3 }{3}; - \frac{\sqrt 3 }{36}} \right)$.

44. Среди пар чисел (а; в), а > 0 для каждой из которых уравнение $\left\vert {\left\vert {х + 7} \right\vert - \left\vert {а - х} \right\vert} \right\vert + х = в$ имеет ровно 2 решения, выбрать ту, для которой выражение $а^{2} - 7в$ принимает минимальное значение.

    Ответ: $\left( {\frac{7}{2};\frac{7}{2}} \right)$.

45. Число $х$ является решением уравнения $3х + \sqrt {х^2\left( {а + х + \sqrt {х^2 - 12х + 36} } \right)} = х^2$. Какое наименьшее значение принимает выражение $3\left\vert {х - 7} \right\vert - \left\vert {х - 5} \right\vert$? При каком $а$ это происходит?

    Ответ: min f(x) = f(7) = -2; a = 9

46. Пусть $h(x)$ есть наибольшее значение функции f(x) = t - t$^{2}$ при t $\le$ x.
    Решить уравнение: $2х^{2}$ - 3х +3 = 8h(x).

    Ответ: $\frac{1}{2}$; 1.

47. Пусть $g(x)$ наименьшее значение функции $f(x) = t^{2} - t$ при t $\le$ x.
    Решить уравнение: $2х^{2}$ - 3х - 6 = g(x).

    Ответ: -2, 2,5.

48. Найти все значения параметра $а$, при которых периметр фигуры, заданной на координатной плоскости условием $\log _{\left( {\frac{2 - \left\vert {ay} \right\vert}{2}} \right)} \left( {\frac{a^2 + x^2}{2a^2}} \right) > 0$ будет наименьшим.

    Ответ: $\begin{array}{l} а = \pm \sqrt 2 , \\ P_{\min } = 8\sqrt 2 . \\ \end{array}$

49. При каких значениях $а$ из промежутка $\left[ {1; + \infty } \right)$ больший из корней уравнения $x^2 - 6x + 2ax + a - 13 = 0$ принимает наибольшее значение?

    Ответ: $а = 1$.

50. При каких значениях $а$ произведение $ху$ какого-либо решения системы $\left\{ {\begin{array}{l} x + y = a - 1 \\ x^2 + y^2 = 5a^2 - 3a + 1,5 \\ \end{array}} \right.$ принимает наибольшее значение?

    Ответ: $a = \frac{1}{8}$.

51. Для каждого положительного $а$ найдите наибольшее значение функции $y = \frac{1}{3}\left( {x - a} \right)^3 + \left( {x - a} \right)^2$ на промежутке -2 $\le$ х $\le$ 0.

    Ответ: если $a \in (0;2),$ то $\max y = - \frac{4}{3}$;

    если $a \in [2; + \infty ),$ то $\max y = - \frac{1}{3}a^3 + a^2.$

52. Найти все значения $с$, при которых количество целочисленных решений неравенства $х^2 - 3х + 3\left\vert {х + с} \right\vert + с \le 0$ максимально.

    Ответ: $с = -4$.

Далее: Литература Вверх: Элементарная математика Назад: 3. Задачи на нахождение