Далее: 2. Прямая на плоскости Вверх: I. Элементы аналитической геометрии Назад: I. Элементы аналитической геометрии

1. Векторная алгебра

Вопросы теории. Геометрические векторы на плоскости. Коллинеарность векторов. Модуль вектора. Равенство векторов. Свободные векторы. Линейные операции над свободными векторами и их свойства. Понятие векторного пространства. Линейная зависимость и ее простейшие свойства. Базис. Координаты вектора в базисе и теорема об их единственности. Скалярная проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов и его свойства. Ортогональность векторов. Ортонормированный базис. Вычисление скалярного произведения и модулей векторов по их координатам в ортонормированном базисе. Расстояние между точками плоскости. Угол между векторами.

Образцы решения задач
Задача 1. Среди векторов $ \vec a=\{-3,4\},$ $ \vec b=\{1,2\},$ $ \vec c=\{-2,4\},$ $ \vec d=\{-1,-1\},$ $ \vec f=\{1,-2\}$ укажите коллинеарные векторы, равные векторы, вычислите комбинации $ 2\vec a - \vec b,$ $ \vec c+\vec d+ \vec f$ и проверьте результат графически в прямоугольном декартовом базисе.
Решение. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты в каком-либо базисе пропорциональны. Проверяя попарно данные векторы, находим, что имеется только два коллинеарных вектора: $ \vec c=\{-2,4\}$ и $ \vec f=\{1,-2\}$. Коэффициент пропорциональности их координат равен $ -2:1=4:(-2)=-2<0,$ значит, эти векторы противоположно направлены. Два вектора равны тогда и только тогда, когда их одноименные координаты в каком-либо базисе равны. Проверяя данные векторы, убеждаемся в том, что среди них равных векторов нет. Вычислим линейные комбинации:

\begin{displaymath}
2\vec a - \vec b=2\vec a +(-1) \vec b=2\left[
\begin{array}{...
...\right] = \left[
\begin{array}{r}
-7\\
6
\end{array} \right];
\end{displaymath}

$\displaystyle \vec c+\vec d+ \vec f= (\vec c + \vec d )+\vec f=
$

$\displaystyle \left( \left[ \begin{array}{r}
-2\\
4
\end{array} \right] +\left...
...
-2
\end{array} \right] =\left[ \begin{array}{r}
-2\\
1
\end{array} \right].
$

Теперь выполним операции $ 2\vec a - \vec b$ (рис. 1) и $ \vec c+\vec d+ \vec f$ (рис. 2) графически и убедимся в истинности вычислений:

\includegraphics{D:/html/work/link1/metod/met34/v1.eps}
Рис.1 Рис.2

Задача 2. Проверьте вычислением и графически, образует ли данная система векторов базис на плоскости:

$\displaystyle \vec a=\{2,-3\},\;\vec b=\{1,1\}.
$

Решение. Поскольку данная система состоит из двух векторов, то для того, чтобы она образовывала базис на плоскости, достаточно проверить ее линейную независимость. Согласно определению, надо убедиться в том, что равная нулю линейная комбинация $ \alpha \vec a+\beta \vec b $ тривиальна, т.е. $ \alpha =
\beta = 0.$ Итак,

$\displaystyle \alpha \vec a+\beta \vec b =\alpha \left[ \begin{array}{r}
2\\
-...
...1\\
1
\end{array} \right] =\left[ \begin{array}{r}
0\\
0
\end{array} \right]
$

или, в виде системы уравнений,

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}
2\alpha +\beta =0,\\
-3\alpha +\beta =0.
\end{array} \right.
$

Вычитая из первого уравнения второе, имеем $ 5\alpha =0,$ откуда $ \alpha =0.$ Подстановка этого значения в любое из уравнений системы дает $ \beta =0.$ Итак, данная система из двух векторов плоскости линейно независима; следовательно, она образует базис.

Убедимся в этом графически (рис. 3); данные два вектора неколлинеарны, значит, они линейно независимы.

\includegraphics{D:/html/work/link1/metod/met34/v2.eps}
Рис.3

Задача 3. Вычислите $ \vert\vec a\vert \vec b - \vert\vec b\vert \vec a$ для векторов $ \vec a = \{-5,12\}$, $ \vec b =\{0,1\},$ если векторы представлены координатами в ортонормированном базисе.
Решение. Модуль вектора равен квадратному корню из его скалярного квадрата: $ \vert\vec v\vert=\sqrt{(\vec v, \vec v)}.$ Так как базис ортонормированный, скалярное произведение векторов $ \vec u =\{u_1, u_2\}$ и $ \vec v =\{v_1, v_2\}$ может быть вычислено как сумма произведений их соответствующих координат:

$\displaystyle (\vec u, \vec v) =
[u_1\; u_2]\left[ \begin{array}{r}
v_1\\
v_2
\end{array}\right] =u_1 v_1 +u_2 v_2.
$

Тогда, полагая $ \vec u =\vec v,$ имеем

$\displaystyle (\vec v, \vec v) =v^2_1 + v^2_2, \;\; \vert\vec v\vert=\sqrt{v^2_1 + v^2_2}.
$

Таким образом,

$\displaystyle \vert\vec a\vert =\sqrt{(-5)^2+12^2}=13,\;\; \vert\vec b\vert=\sqrt{0^2+1^2}=1,
$

и можно вычислить требуемую линейную комбинацию

$\displaystyle \vert\vec a\vert \vec b - \vert\vec b\vert \vec a =13 \left[ \beg...
...\\
12
\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{r}
5\\
1
\end{array} \right].
$

Задача 4. Вычислите скалярное произведение векторов $ \vec{AB}$ и $ \vec{AC}$ и величину угла $ \angle BAC$, если $ A(1,1),$ $ B(1,3),$ $ C(3,3)$.
Решение. Найдем координаты векторов $ \vec{AB}$ и $ \vec{AC}$:
$\displaystyle \vec{AB}=\vec B -\vec A =\left[ \begin{array}{r}1 3\end{array} ...
...rray}{r}1 1\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{r}0 2\end{array}\right],$      
$\displaystyle \vec{AC}=\vec C -\vec A =\left[\begin{array}{r}3 3\end{array}\r...
...rray}{r}1 1\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{r}2 2\end{array}\right].$      

Искомое скалярное произведение равно

$\displaystyle (\vec{AB}, \vec{AC})=0 \cdot 2 + 2\cdot 2=4.
$

С другой стороны,

$\displaystyle (\vec{AB}, \vec{AC})=\vert\vec{AB}\vert\vert\vec{AC}\vert \cos \angle BAC,
$

откуда

$\displaystyle \cos \angle BAC =\frac{(\vec{AB}, \vec{AC})}{\vert\vec{AB}\vert\vert\vec{AC}\vert}.
$

Для вычисления угла надо знать модули векторов $ \vec{AB}$ и $ \vec{AC}$.

$\displaystyle \vert\vec{AB}\vert=\sqrt{0+4}=2,\;\; \vert\vec{AC}\vert=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}.
$

Подставляя эти данные в формулу косинуса угла $ \angle BAC$, получаем

$\displaystyle \cos \angle BAC =\frac{4}{2\cdot 2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}},\;\;
\angle BAC =\pi /4.
$


Задачи для самостоятельного решения
1. Векторы заданы координатами в некотором фиксированном базисе.
а) Укажите, какие из них коллинеарны.
б) Укажите пары равных между собой векторов.
в) Начертите какие-нибудь представители данных векторов в прямоугольной декартовой системе координат.
г) Выполните следующие операции над векторами в координатах: $ \vec a +\vec b,$ $ \vec a -\vec d$, $ \vec a +\vec b +\vec c + \vec d + \vec f.$
д) Те же операции выполните графически. Сравните результат с результатом пункта г).
1) $ \vec a
=\{1,2\},\;
\vec b =\{0,-1\},\;
\vec c =\{-2,4\},\;
\vec d
=\{2,4\},\;
\vec e =\{0,-5\},\;
\vec f =\{2,-1\};\; $
2) $ \vec a
=\{1,0\},\;
\vec b =\{4,-3\},\;
\vec c =\{-4,3\},\;
\vec d
=\{4,6\},\;
\vec e =\{1,0\},\;
\vec f =\{-1,-1\};$
3) $ \vec a
=\{3,1\},\;
\vec b =\{-4,3\},\;
\vec c =\{3,1\},\;
\vec d
=\{-2,5\},\;
\vec e =\{1,5\},\;
\vec f =\{-3,-1\};$
4) $ \vec a
=\{4,2\},\;
\vec b =\{-2,-1\},\;
\vec c =\{6,3\},\;
\vec d
=\{-3,2\},\;
\vec e =\{5,2\},\;
\vec f =\{0,0\};\;$
5) $ \vec a
=\{0,1\},\;
\vec b =\{5,0\},\;
\vec c =\{1,5\},\;
\vec d
=\{-2,-10\},\;
\vec e =\{4,3\},\;
\vec f =\{2,1\frac{1}{2}\}.$
2. Для векторов задачи 1 вычислите следующие комбинации

$\displaystyle 3\vec a + 2\vec b -\vec d+ \vec e,\;\;
\alpha \vec a +\beta \vec b +\gamma \vec c + \delta \vec d
$

а) в координатах, б) графически и сравните результаты, полученные двумя способами.
  $\displaystyle 1)$ $\displaystyle \alpha =-2,\;
\beta =5,\;
\gamma =\frac{1}{2},\;
\delta =-\frac{3}{2};$  
  $\displaystyle 2)$ $\displaystyle \alpha =1,\;
\beta =-2,\;
\gamma = 0,5,\;
\delta =-1;$  
  $\displaystyle 3)$ $\displaystyle \alpha =-3,\;
\beta =3,\;
\gamma =0,\;
\delta =1;$  
  $\displaystyle 4)$ $\displaystyle \alpha =0,\;
\beta =-2,\;
\gamma =3,\;
\delta =0;$  
  $\displaystyle 5)$ $\displaystyle \alpha=5,\;
\beta =0,\;
\gamma=-4,\;
\delta =-1.$  

3. Проверьте а) вычислением,б) графически, образует ли данная система векторов базис на плоскости.
1) $ \vec e_1 =\{0,1\},$ $ \vec e_2 =\{1,0\};$ 4) $ \vec e_1=\{-1,1\},$ $ \vec e_2=\{2,-2\};$
2) $ \vec e_1 =\{1,0\},$ $ \vec e_2=\{2,-1\};$ 5) $ \vec e_1 =\{1,0\},$ $ \vec e_2=\{0,0\}; $
3) $ \vec e_1=\{-1,1\},$ $ \vec e_2=\{2,3\}; $ 6) $ \vec e_1=\{1,1\},$ $ \vec e_2=\{3,2\}; $
7) $ \vec e_1 =\{1,0\},$ $ \vec e_2=\{1,1\},$ $ \vec e_3=\{-1,1\};$  
8) $ \vec e_1 =\{0,1\},$ $ \vec e_2=\{0,0\},$ $ \vec e_3=\{2,-3\}.$  

4. Для следующих векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе, вычислите комбинации $ (\vec a, \vec b),\;
(\vec a, \vec b) \vec c + (\vec a, \vec c) \vec b + (\vec ...
...ert, \vert\vec a +\vec b\vert, \vert\vec b\vert\vec a + \vert\vec a\vert\vec b.$
1) $ \vec a =\{4,3\},\; \vec b =\{-1,1\},\; \vec c =\{2,-3 \};$
2) $ \vec a =\{5,12\},\; \vec b =\{1,0\},\; \vec c =\{4,-3 \};$
3) $ \vec a =\{1,3\},\; \vec b =\{0,0\},\; \vec c =\{5,3 \}.$
5. Вычислите скалярные произведения:
1) $ \vert\vec a\vert=10,\; \vert\vec b\vert=2, \; \angle (\vec a, \vec b)= \pi/6, $
2) $ \vert\vec a\vert=5,\; \vert\vec b\vert=3, \; \angle (\vec a, \vec b)= \pi/3, $
3) $ \vert\vec a\vert=2,\; \vert\vec b\vert= 5,\; \angle (\vec a, \vec b)= 45^o ,$
4) $ \vert\vec a\vert=8,\; \vert\vec b\vert= 4, \; \angle (\vec a, \vec b)= 90^o ,$
5) $ \vert\vec a\vert=5,\; \vert\vec b\vert= 10, \; \angle (\vec a, \vec b)= \pi/2 .$
6. Вычислите углы, образуемые парами векторов. Укажите пары ортогональных векторов, пары, образующие острые углы, пары, образующие тупые углы. Выводы проверьте графически. Векторы заданы координатами в ортонормированном базисе.
1) $ \vec a=\{1,0\},$ $ \vec b=\{0,20\};$ 5) $ \vec m=\{5,-6\},$ $ \vec n=\{12,10\};$
2) $ \vec c=\{3,4\},$ $ \vec d=\{-4,3\};$ 6) $ \vec p=\{-1,-1\},$ $ \vec q=\{10,10\};$
3) $ \vec f=\{2,3\},$ $ \vec h=\{-6,3\};$ 7) $ \vec r=\{-2,5\},$ $ \vec s=\{-3,-2\};$
4) $ \vec k=\{-2,9\},$ $ \vec l=\{-3,-1\};$ 8) $ \vec u=\{10,-4\},$ $ \vec v=\{0,-2\}.$

7. Среди данного набора точек плоскости укажите пары точек, расстояние между которыми а) наибольшее, б) наименьшее.
1) $ A(-5,0),\; B(1,1),\; C(0,-1),\; D(3,-2);$
2) $ P(0,0),\; Q(-1,6),\; R(-4,0),\; S(5,1);$
3) $ T(0,9),\; U(5,-6),\; V(0,-3),\; W(0,0).$
8. Вычислите длины сторон и углы треугольника по координатам его вершин в прямоугольной декартовой системе координат. Какой это треугольник: остроугольный, прямоугольный или
тупоугольный?
1) $ A(0,0),\; B(-3,4),\; C(4,3);$
2) $ D(1,1),\; E(-6,2),\; F(2,3);$
3) $ K(0,1),\; L(-5,0),\; M(-3,6).$


Далее: 2. Прямая на плоскости Вверх: I. Элементы аналитической геометрии Назад: I. Элементы аналитической геометрии

ЯГПУ, Центр информационных технологий обучения
27.03.2007