Далее: 3. Производная и ее Вверх: II. Элементы математического анализа Назад: 1. Элементарные функции и

2. Предел. Непрерывность

Вопросы теории. Понятия предела числовой последовательности и предела функции в точке. Предел функции на бесконечности. Понятие бесконечно малой и бесконечно большой (в точке) функции. Правила вычисления пределов суммы, разности, произведения и частного двух функций. Понятие функции, непрерывной в точке области определения. Функция, непрерывная на промежутке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Связь непрерывности с операциями над функциями. Непрерывность элементарных функций в их областях определения. Непосредственное вычисление предела непрерывной функции в точке ее области определения. Простейшие виды неопределенностей и методы их раскрытия. Первый и второй замечательные пределы. Разрывы функции и их классификация.

Образцы решения задач
Задача 1. Вычислите, пользуясь непрерывностью элементарных функций в их областях определения:

$\displaystyle \lim_{x\to \ln 3}\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}.
$

Решение. Знаменатель выражения под знаком предела не обращается в нуль при $ x=3$; числитель тоже определен в этой точке. Все элементарные функции непрерывны в областях определения. Согласно определению функции, непрерывной в точке, ее предел в точке равен значению в этой точке. Поэтому

$\displaystyle \lim_{x\to \ln 3}\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=
\frac{e^{\ln 3}-e^{-\ln 3}}{e^{\ln 3}+e^{-\ln 3}}=\frac{4}{5}.
$


Задача 2. Вычислите пределы

$\displaystyle 1)\; \lim_{x\to \infty}\frac{x^2-4x^3}{x-3x^3},\;\;
2)\; \lim_{x\...
...ac{\tg x^2}{x^2},\;\;
3)\; \lim_{x\to \infty} \left( 1+\frac{2}{x}\right) ^x.
$

Решение. 1) Выражение под знаком предела представляет собой отношение бесконечно больших функций.

$\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{x^2-4x^3}{x-3x^3}=\lim_{x\to \infty}
\fra...
...3}{x^3}}=
\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{1}{x}-4}{\frac{1}{x^2}-3}=\frac{4}{3}.
$

2) Введем новую переменную $ y:=x^2,$ замечая, что $ \lim_{x\to 0}y=0$:

$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\tg x^2}{x^2}=
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x^2}{x...
... y}{y \cos y}=
\lim_{y\to 0}\frac{\sin y}{y} \lim_{y\to 0}\frac{1}{\cos y}=1.
$

3) Введем новую переменную $ y:=x/2,$ $ x=2y$ и воспользуемся вторым замечательным пределом:

$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \left( 1+\frac{2}{x}\right) ^x=
\lim_{y\to \in...
... ^{2y}=
\left( \lim_{y\to \infty} \left( 1+\frac{1}{y}\right) ^y\right)^2=e^2.
$


Задача 3. Найдите точки разрыва функции

$\displaystyle f(x)=\left\{ \begin{array}{l}
x^2,\; \mbox{\rm если}\; x<0,\\
x,...
...ox{\rm если}\;0<x\le 1,\\
1/(x-1),\mbox{\rm если}\;x\ge 1
\end{array} \right.
$

и укажите их тип.
Решение. Найдем область определения данной функции: $ D(f)=(-\infty,0)\cup (0,\infty).$ Элементарные функции, которыми задается данная функция на разных подмножествах области определения, не имеют точек разрыва в соответствующих им интервалах. Поэтому достаточно исследовать данную функцию на непрерывность в точках $ x=0$ и $ x=1$. Для этого вычислим односторонние пределы функции $ f(x)$ в этих точках.

$\displaystyle \lim_{x\to 0-0} f(x)=\lim_{x\to 0-0} x^2=0,\;
\lim_{x\to 0+0} f(x)=\lim_{x\to 0+0} x=0.
$

Односторонние пределы в точке $ x=0$ конечны, в то время как в этой точке функция не определена, поэтому $ x=0$ - точка разрыва первого рода. Они равны, поэтому это - точка устранимого разрыва, и, доопределив данную функцию в нуле выражением $ f(0)=0,$ получим функцию, непрерывную в точке $ x=0.$

$\displaystyle \lim_{x\to 1-0} f(x)=\lim_{x\to 1-0} x=1,\;
\lim_{x\to 1+0} f(x)=\lim_{x\to 1+0} \frac{1}{x-1}=\infty.
$

Один из односторонних пределов в точке $ x=1$ бесконечен, поэтому это - точка разрыва второго рода.

Задачи для самостоятельного решения
1. Вычислите пределы, пользуясь непрерывностью входящих в них функций.
$\displaystyle 1) \lim_{x\to 0} (x^2+x-1),\;\;\;\; 
4) \lim_{x\to \pi/2} (\sin ^2 x+\cos x),\;\;\;\;\; 
7) \lim_{x\to 1/2} x \arcsin x,\;$      
$\displaystyle 2) \lim_{x\to -2} \frac{x-1}{x+1},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 
5) \...
...\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 
8) \lim_{x\to 0} \frac{e^x+x^{-x}}{x+1},\;\;\;\;$      
$\displaystyle 3) \lim_{x\to \ln 2} (e^{2x}-2e^x),\;\;\;\;\;
6) \lim_{x\to 1} (\arctg x -\arccos x),\;
9) \lim_{x\to 3} \sqrt{x^2+3x}.\;\;\;$      

2. Укажите промежутки непрерывности функций

$\displaystyle 1)\; f(x)=\frac{x+1}{x^2+6x-7};\;\;\;
2)\; f(x)=\left\{ \begin{ar...
...mbox {\rm если}}& x<0,\\
x^2,&{\mbox {\rm если}}& x\ge 0;
\end{array} \right.
$

$\displaystyle 3)\; f(x)=\frac{1}{\sin x};\;\;
4)\; f(x)=\ln \sin x;\;\;
5)\; f(...
...,&{\mbox {\rm если}}& x<0,\\
x^3,&{\mbox {\rm если}}& x>0.
\end{array}\right.
$

3. Вычислите, используя, где это необходимо, первый и второй замечательные пределы:

$\displaystyle 1) \lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{3x},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;  ...
...^{10}},\;\;\;\;\;\;\; 17) \lim_{x\to \infty}\left( 1+ \frac{1}{x}\right) ^{2x},$      
$\displaystyle 2) \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{\sin 2x},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\...
...;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 18) \lim_{x\to \infty}\left( 1+ \frac{3}{x}\right) ^{9x},$      
$\displaystyle 3) \lim_{x\to 0} \frac{\tg 3x}{\sin 2x}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;...
...10}}{x^{10}+x},\;\;\; 19) \lim_{x\to \infty}\left( 1- \frac{1}{2x}\right) ^{x},$      
$\displaystyle 4) \lim_{x\to 0} \frac{\cos 3x-\cos x}{\sin 3x-\sin x},\; 12)\lim...
...;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 20) \lim_{x\to \infty}\left( 3- \frac{1}{x}\right) ^{2x},$      
$\displaystyle 5) \lim_{x\to 0} \frac{\tg 5x}{\tg x}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;...
...x+3}, \;\;\;\;\;\;\; 21)  \lim_{x\to \infty} \left( \frac{1+x}{x}\right) ^x,$      
$\displaystyle 6) \lim_{x\to 0} \frac{\tg 3x-\tg 2x}{\tg x},\;\; 14) \lim_{x\to ...
...,  \;\;\;\;\;\;\;\;\; 22) \lim_{x\to \infty}\left( \frac{2+x}{x}\right) ^{2x},$      
$\displaystyle 7) \lim_{x\to 0} \frac{\sin x\tg 4x}{\sin 2x \sin 5x},\;\;\;  15...
...{x-6},  \;\;\;\;\;\; 23)  \lim_{x\to \infty} \left( \frac{x-1}{x}\right) ^x,$      
$\displaystyle 8) \lim_{x\to 0} \frac{\sin 4x \sin^2 x}{x^3},\;\;\;\; 16) \lim_{...
...{x-1},\;\;\;\;\;  24)  \lim_{x\to \infty} \left( \frac{x+1}{2x}\right) ^x. $      

4. Определите тип точек разрыва функций, данных в задаче 2. В точках устранимого разрыва доопределите функции так, чтобы они стали непрерывными.


Далее: 3. Производная и ее Вверх: II. Элементы математического анализа Назад: 1. Элементарные функции и

ЯГПУ, Центр информационных технологий обучения
27.03.2007