Далее: Выполнение работы Вверх: Лабораторная работа 6. Изучение Назад: Лабораторная работа 6. Изучение

Краткая теория

В работе на опыте исследуются статистические закономерности, которые наблюдаются в целом ряде явлений, в том числе во многих явлениях микромира. В области молекулярных явлений, например, им подчиняется распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям, если газ находится в равновесном состоянии.

Для этого типа закономерностей характерны два момента: во-первых, наличие большого, но конечного числа однородных объектов; во-вторых, то, что значение скорости молекулы газа не может быть определено однозначно: оно зависит от большого числа необходимых и случайных факторов. Однако, хотя значение скорости отдельной молекулы случайная величина, для большого числа молекул существует определенный закон их распределения по скоростям: скоростью в каждом возможном интервале значений обладает совершенно определенное число молекул при данной температуре.

В статистической теории существует понятие функции распределения, с помощью которой можно рассчитать число молекул $dN$ из общего числа их $N$, имеющих относительную скорость в некотором бесконечно малом интервале скоростей $dc$:

$${dN\over N}=f(c)dc .$$

Функция распределения молекул газа по скоростям была найдена английским физиком Д.Максвеллом и носит его имя. Для относительных значений скорости она не зависит от рода газа и его температуры и имеет вид:

$$f(c)={4\over \sqrt{\pi}}e^{-c^2}c^2 ,$$ (52)

где $e$ -- основание натуральных логарифмов, $c={v\over v_{\text{в}}}$ -- относительная скорость, $v_{\text{в}}$ -- наиболее вероятная скорость, $v$ -- некоторое значение скорости молекул.

Распределение Максвелла для абсолютных значений скорости имеет следующий вид:

$$f(v)={4\over \sqrt{\pi}}\left({m\over 2kT}\right)^{3\over 2}e^{{mv^2\over 2kT}}v^2 ,$$

где $m$ -- масса молекулы, $T$ -- абсолютная температура, $k$ -- постоянная Больцмана.

Наиболее общие количественные стороны статистических закономерностей изучаются теорией вероятностей. Функция распределения называется плотностью вероятностей, а отношение ${dN\over N}$ -- вероятностью данного случайного события.

Таким образом, ${dN\over N}$ является, с одной стороны, относительным числом молекул, имеющих значения относительной скорости в бесконечно малом интервале значений $dc$, а с другой стороны, вероятностью того, что некоторая молекула имеет значение относительной скорости в интервале $dc$. Это отношение можно рассчитать по известной функции распределения.

На рис.4.1 представлен график распределения Максвелла для относительных значений скорости (52). На одной оси отложены возможные значения скорости $c$, а на другой -- соответствующие им значения $f(c)$. Максимум функции соответствует наиболее вероятной скорости молекул, при этом $c=1$. Число молекул с нулевой скоростью равно нулю; наибольшее число молекул имеет скорости, близкие к наиболее вероятной. График несимметричен относительно максимума.

Рис. 4.1 

Число молекул $\Delta N$ со скоростями в некотором конечном интервале значений $\Delta c=c_{{}_1}-c_{{}_2}$ (отношение ${\Delta N\over N}$ численно равно площади фигуры, заштрихованной на рис.4.1.) находится интегрированием:

$${\Delta N\over N}=\int\limits_{c_1}^{c_2}{f(c)dc} ,$$

а для небольшого интервала значений -- как площадь прямоугольника на рисунке 4.1.

Площадь фигуры, ограниченной кривой и осью абсцисс, равна единице. Действительно интеграл:

$$\int\limits_{0}^{\infty}{f(c)dc}=\int\limits_{0}^{\infty}{dN\over N} ,$$

численно равный площади фигуры под графиком функции, это вероятность того, что относительная скорость некоторой молекулы имеет значение в области от нуля до бесконечности. В терминах теории вероятностей это достоверное событие, вероятность которого по определению равна единице. Таким образом, $\int\limits_{0}^{\infty}{f(c)dc}=1$, что справедливо для всякой функции распределения и называется условием нормировки.

В данной работе для изучения особенностей статистических закономерностей используется нормальное распределение (Гаусса). Такой вид имеет распределение молекул идеального газа по составляющим скоростей $v_x$, $v_y$, $v_z$. Оно моделируется на доске Гальтона -- механической модели, воспроизводящей картину случайных отклонений от среднего расположения сыпучего вещества на ней.

Нормальное распределение в общем случае имеет вид:

$$\Large f(x)={1\over \sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x-a)^2\over 2\sigma^2} ,$$ (53)

где $x$ -- случайная переменная величина, $\sigma^2$ -- постоянная величина, называемая дисперсией распределения, $a$ -- математическое ожидание.

Функция имеет максимум при $x=a$. Это значение функции называется наиболее вероятным.

Нормальное распределение имеет место в тех случаях, когда случайная величина зависит от большого числа факторов, которые могут вносить с равной вероятностью положительные и отрицательные отклонения от среднего (наиболее вероятного) значения величины. Примером такого распределения является распределение случайных ошибок измерений.

Рассмотрим влияние параметра $\sigma$ на форму графика. На рисунке 4.2 показан вид таких графиков при различных $\sigma\ (a=0)$.

Рис. 4.2 

Как видно, чем меньше $\sigma$, тем больший максимум имеет кривая, тем круче она идет. Это означает, что вероятность попадания в некоторый интервал больше для той случайной величины, распределенной по нормальному закону (с параметром $a=0$), для которой величина $\sigma$ меньше. Следовательно, $\sigma$ можно считать характеристикой разброса случайной величины $x$.

В данной работе нужно на опыте определить $\sigma_{\text{экс.}}$ и получить конкретный вид функции распределения $f(x)_{\text{э}}$.

Сходным образом влияет на ход графика функции распределения Максвелла абсолютная температура газа.

Далее: Выполнение работы Вверх: Лабораторная работа 6. Изучение Назад: Лабораторная работа 6. Изучение