Далее: 2.2.  Задачи для самостоятельного Вверх: 2.  Электростатика. Законы постоянного Назад: 2.  Электростатика. Законы постоянного

2.1.  Примеры решения задач

Пример 2.8. Три одинаковых положительных заряда по 1нКл каждый расположены по вершинам равностороннего треугольника (см. рис.). Какой отрицательный заряд $Q_4$ нужно поместить в центре треугольника, чтобы сила притяжения с его стороны уравновесила силы взаимного отталкивания зарядов, находящихся в вершинах?

Решение. Для того чтобы система зарядов находилась в равновесии, необходимо, чтобы результирующая сила, действующая на каждый заряд, равнялась нулю. Поскольку заряды по условию задачи расположены в вершинах равностороннего треугольника, то на каждый заряд, в силу симметрии системы, будут действовать одинаковые по модулю результирующие силы. Поэтому для решения задачи достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы один из трех зарядов, например $Q_1$, находился в равновесии.

На заряд $Q_1$ действует
каждый из зарядов $Q_2$, $Q_3$, $Q_4$ независимо от остальных. Поэтому заряд $Q_1$ будет находиться в равновесии, если:

$$\vec F_2+\vec F_3+\vec F_4=0\,,$$ (25)

где ${\vec F_2\,,\ \vec F_3\,,\ \vec F_4}$ - силы, с которыми соответственно
действуют на заряд $Q_1$ заряды $Q_2$, $Q_3$ и $Q_4$.

Если обозначать векторную сумму сил $\vec F_2+\vec F_3$ через $\vec F$, то условие равновесия примет вид:

$$\vec F + \vec F_4=0\,,$$

так как силы $\vec F$ и $\vec F_4$ направлены вдоль одной прямой, то равенство (25) можно переписать в скалярной форме:

$$F-F_4=0\quad {или}\quad F=F_4\,.$$ (26)

Проведем решение в общем виде. Поскольку модули сил $F_2$ и $F_3$ равны, то их результирующая сила может быть найдена геометрически:

$$F=2F_2\cos{\alpha}\,,$$ (27)

где $\alpha={60^\circ\over 2} = 30ё$.

Силы $F_2$ и $F_3$ можно выразить из закона Кулона:

$$F_2 = k{Q_1Q_2\over \varepsilon r^2}\,,$$

здесь $r$ - сторона треугольника; $k= {1\over 4\pi\varepsilon_o}=9\cdot 10^9\,{{Н}\cdot{м}^2\over {Кл}^2}$.

Тогда, учитывая (27), для результирующий силы $F$ получим выражение:

$$F=2{1\over 4\pi\varepsilon_o}\cdot{Q_1Q_2\over \varepsilon r^2}\cos{\alpha} \,.$$ (28)

Учитывая условие (26) и применяя закон Кулона к взаимодействию зарядов $Q_1$ и $Q_4$, запишем условие равновесия зарядов (26) в следующем виде:

$$F_4={1\over 4\pi\varepsilon_o}\cdot{Q_1Q_4\over \varepsilon r_1^2} \,,$$ (29)

где $r_1$ - расстояние от $Q_1$ до $Q_4$; $r_1={2\over 3}rcos{\alpha}={2\over 3}r {\sqrt{3}\over 2}=r{\sqrt{3}\over 3}= {r\over\sqrt{3}}$.

Теперь запишем условие (26) с учетом (28) и (29):

$$2k{Q_1Q_2\over \varepsilon r^2}\cdot{\sqrt{3}\over 2}=k{Q_1Q_4\over \varepsilon r_1^2}\,,$$

откуда выразим искомый заряд $Q_4$:

$$Q_4={r_1^2\over r^2}\sqrt{3}Q_2\,.$$

Учтем, что $r_1={r\over \sqrt{3}}$, получим:

$$Q_4={r^2\sqrt{3}\over 3r^2}Q_2={\sqrt{3}\over 3}Q_2={Q_2\over\sqrt{3}}\,.$$

После подстановки численного значения $Q_2$ получим:

$$Q_4=0,58\,{нКл}\,.$$

Ответ: $Q_4=0,58\,{нКл}\,.$

Пример 2.9. Два одинаковых маленьких шарика массой по 0,1г каждый подвешены на непроводящих нитях длиной $\ell = 1\,{м}$ к одной точке. После того как шарикам были сообщены одинаковые заряды $q$, они разошлись на расстояние $r=9\,{см}$. Диэлектрическая проницаемость воздуха $\varepsilon=1$. Определить заряды шариков.

Решение. Поскольку шарики одинаковы, то на каждый шарик действуют одинаковые силы: сила тяжести $m \vec g$, сила натяжения нити $\vec T$ и сила кулоновского взаимодействия (отталкивания) $\vec F$.

На рисунке показаны силы, действующие на один из шариков. Поскольку шарик находится в равновесии, сумма всех сил, действующих на него, равна 0. Кроме того, сумма проекций сил на оси $OX$ и $OY$ равна 0:

$$\parbox{1.75cm}{на ось $OX$: на ось $OY$:}\quad \left\{\begin... ... T\sin{\alpha} & =F \\ T\cos{\alpha} & = mg \end{array}\right.$$

Решим совместно эти уравнения. Разделив первое равенство почленно на второе, получим:

$$\tg{\alpha}= {F\over mg}\,.$$ (30)

Так как угол $\alpha$ мал, то

$$\tg{\alpha}\approx\sin{\alpha}={r\over 2\ell}\,.$$

Тогда выражение (30) примет вид:

$${r\over 2\ell}={F\over mg}\,.$$ (31)

Сила $F$ по закону Кулона равна: $F=k{q^2\over\varepsilon r^2}$.

Подставим значение $F$ в выражение (31):

$${r\over 2\ell}={kq^2\over\varepsilon r^2 mg}\,,$$

откуда выразим в общем виде искомый заряд:

$$q=r\sqrt{r\varepsilon mg\over 2k\ell}\,.$$ (32)

После подстановки численных значений будем иметь:

$$q= 9\cdot 10^{-2}\sqrt{9\cdot 10^{-2}\cdot 1 \cdot 10^{-4}\cd... ...r 2\cdot 9\cdot 10^9\cdot 1}\, {Кл}=6.36\cdot 10^{-9}\, {Кл}\,.$$

Предлагается самостоятельно проверить размерность для расчетной формулы (32).

Ответ: $q=6,36\cdot 10^{-9}\,{Кл}\,.$

Пример 2.10. Pомб составлен из двух равносторонних треугольников со стороной, длина которой равна 0,2 м. В вершинах при острых углах ромба помещены одинаковые положительные заряды по $6,0\cdot 10^{-7}\,{Кл}$. В вершине при одном из тупых углов помещен отрицательный заряд $-8,0\cdot 10^{-7}\,{Кл}$. Определить напряженность и потенциал электрического поля в четвертой вершине ромба. Считать $\varepsilon=1$.

Решение. 1. Сначала определим напряженность $\vec E$ в четвертой вершине. При определении напряженности необходимо учитывать векторный характер этой величины. Решение данной задачи требует понимания принципа суперпозиции полей, созданных системой зарядов, а также практического умения нахождения векторной суммы.

При решении задачи на установление направления и численного значения напряженности в данной точке поля можно в конкретную точку, в данном случае это четвертая вершина ромба, мысленно поместить пробный положительный заряд. Учитывая направление силы взаимодействия между одноименными и разноименными зарядами, определим направление векторов напряженностей, созданных каждым зарядом в этой точке. Напряженности полей, созданных зарядами $q_1$, $q_2$, $q_3$, направлены так, как показано на рисунке.

Согласно принципу суперпозиции искомая напряженность в четвертой вершине

$$\vec E = \vec E_1 + \vec E_2 + \vec E_3\,.$$ (33)

Учитывая векторный характер напряженности, определим численное значение напряженности в проекции на ось $OX$:

$$E_x = E_1\cos{\alpha}+E_2\cos{\alpha}-E_3\,,$$ (34)

в проекции на ось $OY$:

$$E_y = E_2\sin{\alpha}-E_1\sin{\alpha}=(E_2- E_1)\sin{\alpha}\,.$$ (35)

$$E_1={\vert q_1\vert\over 4\pi\varepsilon_o\varepsilon a^2}\,;... ...d E_3={\vert q_3\vert\over 4\pi\varepsilon_o\varepsilon a^2}\,.$$

Из выражения (35) следует, что $E_y=0$, поскольку $q_1=q_2$.

Следовательно, искомая напряженность по модулю равна:

$$E=\vert E_x\vert\,.$$

Из (34) следует:

$$E=2{q_1\cos{\alpha}\over 4\pi\varepsilon_o\varepsilon a^2}-{q... ...psilon a^2}= {q_1-q_3\over 4\pi\varepsilon_o\varepsilon a^2}\,,$$

здесь учтено значение $\cos{\alpha}={1\over 2}$.

После подстановки численных значений получим:

$$E={(6-8)\cdot 10^{-7}\over 0,04}\cdot 9\cdot 10^9\, {{Н}\over{Кл}}=-4,5\cdot 10^{4}\, {{Н}\over{Кл}}\,.$$

Итак, напряженность в четвертой вершине ромба $E\!=\!-4,5\cdot\!10^4{{Н}\over{Кл}}$. Знак "$-$" обозначает, что результирующий вектор напряженности направлен против положительного направления оси $OX$, в сторону отрицательного заряда.

2. Определим потенциал $\varphi$ в четвертой вершине ромба. Потенциал -- скалярная величина, и поэтому значение суммарного потенциала в искомой точке надо искать, складывая потенциалы алгебраически:

$$\varphi=\varphi_1+\varphi_2+\varphi_3\,.$$

$$\varphi_1={q_1\over 4\pi\varepsilon_o\varepsilon a}\,;\quad ... ...,;\quad \varphi_3={q_3\over 4\pi\varepsilon_o\varepsilon a}\,.$$

$$\varphi={1\over 4\pi\varepsilon_o\varepsilon a}(q_1+q_2-q_3)\,, { учтен знак заряда }q_3\,.$$

В результате расчетов получим:

$$\varphi=9\cdot 10^{9}{10^{7}(6+6-8)\over 0,2}\,{В}=1,8\cdot 10^4\,{В}\,.$$

Ответ: $E=-4,5\cdot 10^{4}\,{В/м}\,;\ \varphi=1,8\cdot 10^4\,{В}\,.$

Пример 2.11. Какую работу надо совершить, чтобы перенести точечный заряд $q=6\,{нКл}$ из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии $\ell = 10\,{см}$ от поверхности металлического шарика, потенциал которого $\varphi_{{ш}}=200\,{В}$, а радиус $R = 2\,{см}$? Шарик находится в воздухе (считать $\varepsilon=1$).

Решение. Работа, которую необходимо совершить, чтобы перенести заряд из точки с потенциалом $\varphi_1$ в точку с потенциалом $\varphi_2$, равна изменению потенциальной энергии точечного заряда, взятому с обратным знаком:

$$A=-\Delta W_n\,.$$

Известно, что $A=-q(\varphi_2-\varphi_1)$ или

$$A=q(\varphi_1-\varphi_2)\,.$$ (36)

Поскольку точечный заряд первоначально находится на бесконечности, то потенциал в этой точке поля равен 0: $\varphi_1=0$.

Определим потенциал в конечной точке, то есть $\varphi_2$.

Пусть $Q_{{ш}}$ -- заряд шарика. По условию задачи потенциал шарика известен ( $\varphi_{{ш}}=200\,{В}$), тогда:

$$\varphi_{{ш}}={Q_{ш}\over 4\pi\varepsilon_o\varepsilon R}\,,$$

$${откуда}\quad Q_{{ш}}=\varphi_{{ш}}\cdot 4\pi\varepsilon_o\varepsilon R\,.$$ (37)

Значение потенциала поля в конечной точке с учетом (37):

$$\varphi_2={Q_{ш}\over 4\pi\varepsilon_o\varepsilon(R+\ell)}= {\varphi_{{ш}}R\over (R+\ell)}\,.$$ (38)

Подставим в выражение (36) значение $\varphi_1$ и $\varphi_2$, после чего получим искомую работу:

$$A=-q{\varphi_{{ш}}R\over (R+\ell)}\,.$$

В результате расчетов получим: $A=-2\cdot 10^{-7}\,{Дж}$.

Знак "$-$" показывает, что работа производится против сил электростатического поля, при этом энергия заряда увеличивается.

Ответ: $A=-2\cdot 10^{-7}\,{Дж}$.

Пример 2.12. Плоский воздушный конденсатор заряжен до разности потенциалов $U$ = 50В и отключен от источника. После этого в конденсатор параллельно обкладкам вносится металлический лист толщиной $d_1 = 1\,{мм}$. Найти разность потенциалов $U_1$ между обкладками конденсатора, если расстояние между обкладками $d$ = 5мм. Площади обкладок и металлического листа равны.

Решение. Решая подобные задачи, следует помнить, что при изменении электрической емкости конденсатора, подключенного к источнику напряжения, меняется величина заряда на его пластинах, разность потенциалов при этом не меняется; при изменении емкости конденсатора, отключенного от источника напряжения, меняется разность потенциалов на его пластинах, а величина заряда остается неизменной. Последний случай мы имеем в условии задачи.

Итак, заряд конденсатора остается постоянным при внесении металлической пластины в конденсатор: $q = const$.

До внесения металлической пластины емкость конденсатора была

$$C = {q\over U}\,,\quad {где}\quad C={\varepsilon_o\varepsilon S\over d}\,.$$ (39)

Заряд конденсатора $q=CU$.

После внесения пластины толщиной $d_1$, предположив для простоты решения, что металлический лист прилегает к одной из пластин конденсатора, можно считать, что расстояние между обкладками конденсатора уменьшилось на $d_1$ и стало $(d-d_1)$. Следовательно, емкость конденсатора изменилась и стала

$$C_1 = {q\over U_1}\,,\quad {с другой стороны,}\quad C_1={\varepsilon_o\varepsilon S\over (d-d_1)}\,.$$ (40)

Поскольку $q = const$, то $q=CU=C_1U_1$, откуда

$$U_1 = U{C\over C_1}\,.$$ (41)

Подставляя выражения (39) и (40) в (41), получим искомое напряжение:

$$U_1=U{(d-d_1)\over d}\,.$$

Расчеты дают $U_1=40\,{В}$.

Замечание. Если бы в пространство между обкладками конденсатора была внесена диэлектрическая пластина, то в этом случае емкость $C_1$ представляла бы общую емкость системы последовательно соединенных конденсаторов и расчет был бы несколько иным.

Ответ: $U_1=40\,{В}$.

Пример 2.13. Два потребителя, сопротивления которых $R_1$ и $R_2$, подключаются к сети постоянного тока первый раз параллельно, а второй -- последовательно. В каком случае потребляется большая мощность от сети? Отдельно рассмотреть случай, когда $R_1 =R_2$.

Решение. Поскольку потребители подключаются к одной и той же сети постоянного тока, напряжение на концах источника будет оставаться постоянным, и для определения мощности, потребляемой от сети, можно воспользоваться выражением

$$P = {U^2\over R}\,,$$ (42)

где $U$ - напряжение в сети; $R$ - общее сопротивление потребителей.

1. При параллельном соединении потребителей их общее сопротивление
   
   $$R'={R_1R_2\over (R_1+R_2)}\,.$$
   
   
2. При последовательном соединении общее сопротивление
   
   $$R'' = R_1+R_2\,.$$
   
   

В первом случае, согласно выражению (42), потребляется мощность

$$P_1={U^2(R_1+R_2)\over R_1R_2}\,,$$ (43)

а во втором

$$P_2={U^2\over (R_1+R_2)}\,.$$ (44)

Разделив почленно равенство (43) на (44), получим

$${P_1\over P_2}={(R_1+R_2)^2\over R_1R_2}={R_1\over R_2}+{R_2 \over R_1}+2>3\,.$$ (45)

Таким образом, при параллельном подключении нагрузок потребляется большая мощность от сети, чем при последовательном.

Из выражения (45) следует, что при $R_1 =R_2$ ${P_1\over P_2} = 4$, то есть две параллельно соединенные одинаковые нагрузки потребляют от сети в 4 раза большую мощность, чем те же нагрузки, соединенные последовательно.

Пример 2.14. Сколько времени нужно пропускать ток силой
$J=1,8\,{А}$ через раствор соли серебра, чтобы на 12 ложках, служащих катодом и имеющих площадь поверхности $S=50\,{см}^2$ каждая, отложился слой серебра толщиной 0,058мм? Плотность серебра $10,5\cdot 10^3\,{кг/м}^3$, атомная масса серебра $108\cdot 10^{-3}\,{кг/моль}$, его валентность $n=1$. Постоянная Фарадея $F=9,65\cdot 10^4\,{Кл/моль}$.

Решение. По закону Фарадея масса серебра, отложившегося на ложках,

$$m={1\over F}\cdot{A\over n}Jt\,,$$ (46)

где $t$ - время прохождения тока. С другой стороны,

$$m = \rho V=\rho NSh\,,$$ (47)

где $V$ - объем выделившегося серебра; $h$ - толщина слоя.

Из выражений (46) и (47) следует, что

$$t = {nF\rho NSh\over AJ}\approx 18\cdot 10^3\,c=5\,{ч}\,.$$

Ответ: 5 ч.

Далее: 2.2.  Задачи для самостоятельного Вверх: 2.  Электростатика. Законы постоянного Назад: 2.  Электростатика. Законы постоянного