Далее: §11. Цепи Маркова Вверх: Глава II. Случайные события Назад: §9. Приближенные формулы для

§10. Вероятность и числовые ряды

В схеме Бернулли снимем ограничение на конечность числа испытаний и будем "проводить" повторные испытания (как независимые, так и зависимые) неограниченное число раз.

Рассмотрим урну, в которой содержатся белые и черные шары. Проводим эксперимент, который состоит в изъятии шара из урны до тех пор, пока не будет вынут белый шар.

Пусть событие $A$ = {извлечь белый шар} и $A_{i}$ = {извлечь белый шар при $i$-м испытании} ($i$=1, 2, 3, ...).

Тогда $A = A_1 + \bar {A}_1 \cdot A_2 + \bar {A}_1 \cdot \bar {A}_2 \cdot A_3 + ... + \bar {A}_1 \cdot \bar {A}_2 \cdot ... \cdot \bar {A}_{n - 1} \cdot A_n + ... ,$ $A_i \cdot A_j = \emptyset$ $(i \ne j)$

и $P(A) = P(A_1 ) + P(\bar {A}_1 \cdot A_2 ) + P(\bar {A}_1 \cdot \bar {A}_2 \cdot... ...bar {A}_1 \cdot \bar {A}_2 \cdot ... \cdot \bar {A}_{n - 1} \cdot A_n ) + ... ,$

а $P(\bar {A}) = P(\bar {A}_1 \cdot \bar {A}_2 \cdot ... \cdot \bar {A}_n \cdot ..... ...its_{n \to \infty } P(\bar {A}_1 \cdot \bar {A}_2 \cdot ... \cdot \bar {A}_n ).$

Заметим, что $P(A) + P(\bar {A}) = 1,$ и если, например, $P(\bar {A}) = 0,{\rm то }P(A) = 1.$ Это обстоятельство используем при решении следующих примеров.

Пример 46 (сумма убывающей геометрической прогрессии). Доказать, что

$1 + q + q^2 + ... + q^{n - 1} + ... = {\displaystyle \displaystyle 1\over\displaystyle \displaystyle 1 - q},$где $q$ - рациональное число, удовлетворяющее неравенству $0 < q < 1.$

Решение 1 (вероятностное). Примем за $p = P(A_{i})$ и $q = 1 -p = P(\bar {A}_i ).$ Проводим повторные вынимания шара с возвратом до появления белого шара. Вероятностное дерево эксперимента имеет вид:

Рис. 23

Пользуясь определением суммы ряда и вероятностным деревом, получим, что

$$P(A) = p + q \cdot p + q^2 \cdot p + ... + q^{n - 1} \cdot p + ...,$$

и

$$P(\bar {A}) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } P(\bar ... ...\bar {A}_n ) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } q^n = 0.$$

Наконец, $P(A) = 1 - P(\bar {A}) = 1,$ отсюда получаем, что

$$\begin{array}{l} p + q \cdot p + q^2 \cdot p + ... + q^{n -... ...tyle 1\over\displaystyle \displaystyle 1 -q}. \\ \end{array}$$

Решение 2 (геометрическое). Заполним единичный квадрат прямоугольниками, пары сторон которых лежат на сторонах квадрата, а вершинами прямоугольников выбираем соседние точки, удаленные от сторон квадрата на расстояния 1, $q$, $q^{2}$, ..., $q^{n - 1}$,$q^{n}$, ...

Рис. 24

Поскольку $S_{1 }+ S_{2 }+ S_{3 }+ \ldots + S_{n }+ \ldots = 1,$ то

$(1-q) + (q-q^{2}) + (q^{2}-q^{3}) + \ldots + (q^{n - 1}-q^{n}) + \ldots = 1,$

$$1 + q + q^2 + ... + q^{n - 1} + ... = {\displaystyle 1\over\displaystyle 1 - q}.$$

Пример 47. Доказать, что ${\displaystyle \displaystyle 1\over\displaystyle \displaystyle 1 \cdot 2} + {\d... ...yle \displaystyle 1\over\displaystyle \displaystyle n \cdot (n + 1)} + ... = 1.$

Решение 1. Возьмем урну, в которой находятся один белый и один черный шары. Вынимаем один шар; если он белый, то эксперимент на этом заканчивается, а если черный, то возвращаем его обратно в урну и добавляем еще один черный шар. Вероятностное дерево, соответствующее данному эксперименту, следующее:

Рис. 25

Это позволяет записать

$$P(\bar {A}) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } ({\disp... ...{n \to \infty } {\displaystyle 1\over\displaystyle n + 1} = 0.$$

Откуда $1 = P(A) + P(\bar {A}) = P(A) = {\displaystyle \displaystyle 1\over\displaystyl... ...ot {\displaystyle \displaystyle 1\over\displaystyle \displaystyle n + 1} + ...,$ что и требовалось доказать.

Решение 2. Заполним единичный квадрат прямоугольниками, пары сторон которых лежат на сторонах квадрата, а их вершинами выбираем соседние точки, удаленные от одной из сторон квадрата на расстояние ${\displaystyle \displaystyle 1\over\displaystyle \displaystyle 2},$ ${\displaystyle \displaystyle 2\over\displaystyle \displaystyle 3},$ ${\displaystyle {\displaystyle 3}\over\displaystyle {\displaystyle 4}},$..., ${\displaystyle {\displaystyle n - 1}\over\displaystyle {\displaystyle n}}, {\displaystyle {\displaystyle n}\over\displaystyle {\displaystyle n} + {1}},...$:

Рис. 26

$S_{1 }+ S_{2 }+ S_{3 }$+ ...+ S$_{n }$+ ...= 1,

$${\displaystyle 1\over\displaystyle 2} + \left( {{\displaysty... ... {\displaystyle n - 1\over\displaystyle n}} \right) + ... = 1,$$

$${\displaystyle 1\over\displaystyle 1 \cdot 2} + {\displaysty... ...{\displaystyle 1\over\displaystyle n \cdot (n + 1)} + ... = 1.$$

Пример 48. Найти суммы рядов:

а) ${\displaystyle \displaystyle 1\over\displaystyle \displaystyle 1 \cdot 2 \cdot ... ...laystyle 1\over\displaystyle \displaystyle n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2)} + ...$

б) ${\displaystyle \displaystyle 1\over\displaystyle \displaystyle 1 \cdot 3} + {\d... ... \displaystyle 1\over\displaystyle \displaystyle (2n - 1) \cdot (2n + 1)} + ...$

Решение. а) Из урны, содержащей два белых и один черный шары, извлекаем шар. Если он белый, то на этом испытание заканчиваем, а если черный, то возвращаем его обратно в урну и добавляем еще один черный шар. И так до тех пор, пока не "натолкнемся" на белый шар.

Построим соответствующее вероятностное дерево исходов:

Рис. 27

$$P(\bar {A}) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( ... ...nfty } {\displaystyle 2\over\displaystyle (n + 1)(n + 2)} = 0.$$

Следовательно, $P(A)$= 1,

$$P(A) = {\displaystyle 2\over\displaystyle 3} + {\displaystyl... ...e n + 1} \cdot {\displaystyle 2\over\displaystyle n + 2} + ...$$

Разделим обе части равенства на $2\cdot2$, получим искомую сумму ряда:

$${\displaystyle 1\over\displaystyle 1 \cdot 2 \cdot 3} + {\di... ... \cdot (n + 2)} + ... = {\displaystyle 1\over\displaystyle 4}.$$

б) Рассмотрим, как и в предыдущем случае урну, содержащую два белых и один черный шар. Проводим извлечения шара до появления белого, но в случае извлечения черного шара возвращаем его и уже добавляем два черных шара.

Получаем следующее вероятностное дерево:

Рис. 28

$$P(\bar {A}) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left(... ...e \displaystyle 1\over\displaystyle \displaystyle 2n + 3} = 0.$$

$$1 = P(A) = {\displaystyle \displaystyle 2\over\displaystyle... ... \displaystyle 2\over\displaystyle \displaystyle 2n + 3} + ...$$

Разделив обе части равенства на два, получаем искомую сумму ряда.

Решение 2.

а) Заполним единичный квадрат трапециями с общей высотой - одной из сторон квадрата. Вершинами трапеций выбираем соседние точки на параллельных сторонах квадрата и удаленных от общей высоты на расстояние $0,$ ${\displaystyle \displaystyle 1\over\displaystyle \displaystyle 2},$ ${\displaystyle \displaystyle 2\over\displaystyle \displaystyle 3},$ ${\displaystyle \displaystyle 3\over\displaystyle \displaystyle 4},$..., ${\displaystyle \displaystyle n\over\displaystyle \displaystyle n + 1},...$соответственно, на другой стороне - $0,$ ${\displaystyle \displaystyle 1\over\displaystyle \displaystyle 3},$ ${\displaystyle \displaystyle 2\over\displaystyle \displaystyle 4},$ ${\displaystyle \displaystyle 3\over\displaystyle \displaystyle 5},$..., ${\displaystyle \displaystyle n\over\displaystyle \displaystyle n + 2},...$

Рис. 29

$S_{1 }+ S_{2 }+ S_{3 }+ \ldots + S_{n }+ \ldots = 1,$т.е.

$${\displaystyle 1\over\displaystyle 2} \cdot \left( {{\display... ...\displaystyle 1\over\displaystyle 3}} \right)} \right] + ... +$$

$$+{\displaystyle 1\over\displaystyle 2} \cdot \left[ {\left(... ...le n - 1\over\displaystyle n + 1}} \right)} \right] + ... = 1,$$

$${\displaystyle 1\over\displaystyle 2} \cdot \left( {{\displ... ...isplaystyle n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2)} + ...} \right) = 1,$$

$${\displaystyle 3\over\displaystyle 2} \cdot \left( {{\displ... ...le 1\over\displaystyle (n + 1) \cdot (n + 2)} + ...} \right) +$$

$$+\left( {{\displaystyle 1\over\displaystyle 1 \cdot 2 \cdot 3... ...isplaystyle n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2)} + ...} \right) = 1.$$

Используя результат примера 47, получаем

$${\displaystyle 1\over\displaystyle 1 \cdot 2 \cdot 3} + {\di... ...playstyle 1 \cdot 2}) = {\displaystyle 1\over\displaystyle 4}.$$

б) Построения, аналогичные решению 2 примера 47.

Замечание 1. Приведенные вероятностные и геометрические модели суммирования числовых рядов просты для применения и обладают очевидным преимуществом наглядности по сравнению с традиционным подходом.

Замечание 2. Предложенный вероятностный метод применим для суммирования рядов типа:

а) $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{\displaystyle (n - 1)!\over\displaystyle (n + k)!}} = {\displaystyle 1\over\displaystyle k \cdot k!};$ б) $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\displaystyle k^{n - 1} \cdot n\over\displaystyle (n + k)!} = {\displaystyle 1\over\displaystyle k!},$ $(k \in {\bf N}),$

а при определенных вариациях и для других рядов (см. [15], С. 55-69).

Замечание 3. Суммирование отдельных рядов можно рекомендовать для факультативов по математике средней школы.

Пример 49. Двое поочередно вынимают карту и возвращают ее обратно в колоду из 36 карт. Первый вынимающий делает ставку на "пики", а второй - на карту с картинками. Найти отношения вероятностей на выигрыш игроков.

Решение. Составим вероятностное дерево испытания.

Рис. 30

$$P_1 = {\displaystyle 1\over\displaystyle 4} + {\displaystyl... ...tstyle{5 \over {12}}} = {\displaystyle 3\over\displaystyle 7},$$

$$P_2 = {\displaystyle 3\over\displaystyle 4} \cdot {\displayst... ...tstyle{5 \over {12}}} = {\displaystyle 4\over\displaystyle 7}.$$

Откуда $P_{1}:P_{2} = 3 : 4.$

Пример 50. В урне пять черных и один белый шар. Два друга по очереди вынимают по одному шару, и побеждает тот, кому первому достанется белый шар. Какой совет вы дали бы игрокам относительно выбора шаров - с возвратом или без возврата?

Решение. Составим вероятностное дерево исходов для вынимания шаров без возврата (рис. 31).

Рис. 31

$$P_1 = {\displaystyle 1\over\displaystyle 6} + {\displaystyle... ...aystyle 6} = {\displaystyle 1\over\displaystyle 2} ( = P_2 ).$$

Для вынимания шаров с возвратом вероятностное дерево исходов выглядит следующим образом (рис. 32):

Рис. 32

$$P_1 = {\displaystyle 1\over\displaystyle 6} + \left( {{\disp... ...ver\displaystyle 11} = {\displaystyle 5\over\displaystyle 11}.$$

Поэтому если ваш друг вынимает шар первым, то для него предпочтительнее выбрать схему с возвратом, а для второго - без возврата.

Вопросы для самоконтроля

1. Какие ряды рассматриваются (и как?) в школьном курсе математики?
2. Необходимое условие сходимости числового ряда.
3. Продолжение схемы Бернулли для бесконечного числа испытаний.
4. Геометрическая прогрессия и ее вероятностный и геометрический способы суммирования.
5. В чем заключаются достоинства и недостатки вероятностного и геометрического способов суммирования геометрической прогрессии?
6. Основная идея вероятностного способа суммирования числовых рядов.
7. На чем основаны вероятностный и геометрический способы суммирования числовых рядов?

Задачи

I 91. Докажите, что

$${\displaystyle 1\over\displaystyle 1 \cdot 2} + {\displaysty... ... ... + {\displaystyle 1\over\displaystyle n(n + 1)} + ... = 1.$$

  92. Найти суммы следующих рядов:

a) ${\displaystyle 1\over\displaystyle 1 \cdot 2 \cdot 3} + {\displaystyle 1\over\d... ... 4 \cdot 5} + ... + {\displaystyle 1\over\displaystyle n(n + 1)(n + 2)} + ...;$

б) ${\displaystyle 1\over\displaystyle 1 \cdot 3} + {\displaystyle 1\over\displays... ... 5 \cdot 7} + ... + {\displaystyle 1\over\displaystyle (2n - 1)(2n + 1)} + ....$

  93. Докажите, что

а) ${\displaystyle 1\over\displaystyle 1\!\cdot\!2\!\cdot\!3\!\cdot 4} + {\display... ...style n(n + 1)(n + 2)(n + 3)} + ...\!=\!{\displaystyle 1\over\displaystyle 18};$

б) ${\displaystyle 1\over\displaystyle 1 \cdot 4} + {\displaystyle 1\over\displays... ...r\displaystyle (3n - 2)(3n + 1)} + ... = {\displaystyle 1\over\displaystyle 3}.$

  94. Найдите сумму ряда:

$${\displaystyle 1\over\displaystyle 2!} + {\displaystyle 2\ov... ...!} + ... + {\displaystyle n\over\displaystyle (n + 1)!} + ....$$

  95. При последовательном вынимании с возвратом кости из полного набора домино первый игрок поставил на нечетную сумму, а второй - на четную. В каком соотношении находятся их шансы на победу?

  96. Как относятся шансы на победу, если первый игрок поставил на простую цифру, а второй - на составную (цифры выбираются случайно для каждого и с повторением)?

II 97. Покажите вероятностным и геометрическим способами, что

$$\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{\displaystyle 2^{n - 1} \... ...splaystyle (n + 2)!} = {\displaystyle 1\over\displaystyle 2}.}$$

  98. Докажите, что

$$1 + 2q + 3q^2 + ... + nq^{n - 1} + ... = {\displaystyle 1\over\displaystyle (1 - q)^2}$$

для любого рационального $q (0 < q < 1).$

III 99. Найдите вероятностным и геометрическим способами суммы следующих рядов:

а) $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{\displaystyle 3^{n - 1} \cdot n\over\displaystyle (n + 3)!};}$

б) ${\displaystyle 1\over\displaystyle 4} + {\displaystyle 3\over\displaystyle 4} \... ... 1} \cdot (3n - 2)\over\displaystyle 4 \cdot 7 \cdot ... \cdot (3n + 1)} + ....$

  100. В урне три черных и один белый шар. Два игрока по очереди вынимают шары из этой урны, а побеждает тот, кому первому достался белый шар. Первый игрок имеет право выбирать, с возвращением или без возвращения шара проводить испытания. Какое решение ты принял(а) бы на его месте?

Далее: §11. Цепи Маркова Вверх: Глава II. Случайные события Назад: §9. Приближенные формулы для