След.: 2.  Описание установки Выше: Лабораторная работа №11 Пред.: Лабораторная работа №11

1.  Теоретическое введение

При объединении атомов в кристаллическое тело структура энергетических уровней электронов претерпевает важные изменения. Эти изменения почти не затрагивают наиболее глубоких уровней образующих внутренние заполненные оболочки. Зато наружные уровни коренным образом перестраиваются. Указанное различие связано с разным пространственным распределением электронов, находящихся на глубоко лежащих и на верхних энергетических уровнях. Атомы в кристалле тесно "прижаты" друг к другу. Волновые функции наружных электронов в существенной мере перекрываются, что приводит к обобществлению этих электронов -- они теперь принадлежат не отдельным атомам, а всему кристаллу.

В то же время волновые функции внутренних электронов друг с другом практически не перекрываются. Положение этих уровней в кристалле мало отличается от их положения у изолированных атомов.

У одиночных атомов одного и того же элемента энергия соответствующих уровней в точности одинакова. При сближении атомов эти энергии начинают расходиться, как это изображено на рис.1.1а. Расщепление энергетических уровней аналогично расхождению частот колебаний, происходящему при появлении связи между одинаковыми маятниками или между электрическими колебательными контурами,настроенными на одну и ту же частоту. Системы "разошедшихся" уровней образуют в кристалле разрешенные энергетические зоны, разделенные запрещенными зонами (рис.1.1б). Ширина зон определяется величиной связи между атомами и не зависит от числа атомов в кристалле. В то же время количество уровней в зоне равно числу атомов и описывается цифрами с десятком или несколькими десятками нулей. Таким образом, расстояние между уровнями оказывается столь незначительным, что говорить о положении отдельных уровней в зоне не имеет смысла. В тоже время количество уровней сохраняет вполне ясный смысл.

Рис. 1.1 [
$E$ -- энергия,
$r$ -- расстояние между атомами.
При сближении атомов число возможных состояний, а, следовательно, и число электронов, которые могут занять эти состояния, не изменяется]

Квантовые числа, которыми характеризуются состояния обобществленных электронов в кристалле, не имеют ничего общего с квантовыми числами электронов в изолированных атомах. В атомах действующее на электроны поле является центральным, так что момент количества движения сохраняется. Момент количества движения служит поэтому основой для квантования: уровни отличаются друг от друга величиной и направлением этого момента.

В твердом теле электрические силы нецентральны, и говорить о моменте количества движения не приходится. Основной особенностью электрического поля в кристаллах является его периодичность. Квантовые состояния электронов различаются импульсом (или, точнее говоря, квазиимпульсом), а значит, направлением и скоростью движения.

Электропроводность кристаллов определяется распределением
электронов по уровням. В изоляторах электроны доверху заполняют последнюю из занятых зон (так называемую валентную зону). Следующая разрешенная зона (зона проводимости) не содержит электронов. Ширина запрещенной зоны, разделяющей валентную зону и зону проводимости, велика, так что электроны в обычных условиях не могут ее перепрыгнуть. В силу симметрии кристалла количество электронов находящихся в валентной зоне и движущихся в противоположные стороны, одинаково -- электрический ток отсутствует. В присутствии поля ни один из электронов не может изменить своего движения (например, сменить импульс "по полю" на импульс "против поля"), так как нет свободных энергетических состояний в зоне.

В металлах электроны лишь частично заполняют последнюю из занимаемых зон, и в ней имеются свободные состояния. В присутствии поля электроны зоны могут занимать эти состояния, что равносильно получению электронами импульса "против поля", и кристалл проводит ток.

К полупроводникам относятся вещества, которые при низких температурах являются изоляторами. Они отличаются от обычных изоляторов небольшой шириной запрещенной зоны. Уже при нормальных температурах тепловое движение перебрасывает часть электронов из валентной зоны в зону проводимости. В зоне проводимости она определяется присутствующими там электронами (электронная проводимость). В валентной зоне проводимость становится возможной из-за появления свободных состояний, часть из которых (соответствующих нужному направлению тока) может быть занята электронами зоны (дырочная проводимость).

Величина электропроводности в полупроводниках определяется числом электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне (эти числа в чистых полупроводниках, конечно, равны друг друга).

Число электронов, находящихся в зоне проводимости, равно произведению числа имеющихся уровней на вероятность их заполнения. Вероятность заполнения уровней определяется функцией Ферми, которая в нашем случае мало отличается от простой экспоненты:

$$f(E)={1\over\exp{\left({E-\mu\over kT}\right)}+1}\approx\exp{\left(-{E-\mu\over kT}\right)} , \text{ т.к. }(E-\mu)\gg kT ,$$ (1)

где	$E$	--	энергия уровня в зоне проводимости,
	$\mu$	--	некоторая константа, носящая название энергии Ферми.

Рис. 1.2 

В собственных полупроводниках энергия Ферми лежит вблизи середины запрещенной зоны (рис.1.2a).

При обычных температурах заняты главным образом уровни находящиеся у дна зоны проводимости, так что в качестве энергии $E$ можно подставить энергию $E_c$, соответствующую дну зоны проводимости. При этом вместо полного числа уровней в зоне нужно принимать некоторое эффективное число уровней $N_{\text{эфф}}$, находящихся вблизи дна зоны. Таким образом, число электронов в зоне проводимости равно:

$$n_{\text{э}}=N_{\text{эфф}_{\text{э}}}\cdot \exp{\left(-{E_c-\mu\over kT}\right)} .$$ (2)

Вероятность появления дырки в валентной зоне определяется разностью $1-f(E)$. Поэтому число дырок равно:

$$n_g=N_{\text{эфф}_g}\cdot\left(1-{1\over\exp{\left({E_{\nu}-... ...{\text{эфф}_g}\cdot\exp{\left({E_{\nu}-\mu\over kT}\right)} .$$ (3)

При преобразовании формулы (1.3) было принято во внимание, что энергия верхнего края валентной зоны $E_{\nu}$ меньше $\mu$ и дробь ${E_{\nu}-\mu\over kT}$ является большим отрицательным числом. Перемножим формулы (1.2) и (1.3) и примем во внимание, что число электронов равно числу дырок:

$$n_{\text{э}}\cdot n_g=n^2=N_{\text{эфф}_{\text{э}}}\cdot N_{\text{эфф}_g}\cdot \exp{\left(-{E_c-E_{\nu}\over kT}\right)} .$$ (4)

Разность $(E_c-E_{\nu})$ равна ширине зоны $\Delta E$. Обозначая для краткости произведение

$$N_{\text{эфф}_{\text{э}}}\cdot N_{\text{эфф}_g}=c^2$$ (5)

и извлекая корень из (1.4), получим:

$$n=C\cdot\exp{\left(-{\Delta E\over 2kT}\right)} .$$ (6)

Найдем теперь электропроводность полупроводника. В присутствии поля большая часть электронов в зоне проводимости начинает двигаться в сторону противоположную полю. Средняя величина скорости электронов перестает быть равной нулю и направлена вдоль поля. При этом вплоть до самых сильных полей (практически до пробоя) выполняется формула:

$$v_{\text{ср}}=\mu_{\text{э}}E ,$$ (7)

где	$v_{\text{ср}}$	--	среднее значение скорости электронов,
	$E$	--	напряженность электрического поля,
	$\mu_{\text{э}}$	--	коэффициент пропорциональности, носящий
			название подвижности электронов.

Применяя формулу (1.7) к электронам в зоне проводимости и к дыркам в валентной зоне, найдем:

$$\sigma={j\over E}=\vert e\vert\cdot\{n_{\text{э}}\mu_{\text{э}}+n_g\mu_g\} ,$$ (8)

где $j$ - плотность электрического тока.

Подставляя в (1.8) значение $n_{\text{э}}=n_g$ из (1.6), получим:

$$\sigma=\vert e\vert\cdot C(\mu_{\text{э}}+\mu_g)\cdot \exp{\... ... 2kT}\right)}=A\cdot\exp{\left(-{\Delta E\over 2kT}\right)} ,$$ (9)

где предэкспоненциальный множитель заменен константой $A$.

Измерим электропроводность $\sigma$ как функцию температуры и изобразим результаты на графике в полулогарифмическом масштабе:

$$\ln{\sigma}=f\left({1\over T}\right) .$$ (10)

Формула (1.9) показывает, что график должен иметь вид прямой линии с наклоном ${\Delta E\over 2k}$.

Наклон прямой (1.10) позволяет, таким образом, определить ширину запрещенной зоны $\Delta E$:

$$\tg{\alpha}={\Delta E\over 2k}\quad\Rightarrow\quad\Delta E=2k\cdot\tg{\alpha} .$$

Приведенные соображения верны лишь постольку, поскольку электропроводность проводника определяется переходами электронов из валентной зоны в зону проводимости, т.е. пока основной вклад в электропроводность вносит собственная проводимость полупроводника.

При небольших температурах это обычно не имеет места, так как полупроводники всегда содержат примеси. Примесная проводимость полупроводников происходит из-за внедрения в кристалл донорных и акцепторных атомов. Донорными являются атомы V периода таблицы Менделеева. (Напомним, что к типичным полупроводникам принадлежат кремний и германий -- элементы IV периода.) Элементы V периода содержат в наружной оболочке лишний, по сравнению с германием и кремнием электрон. У атома, вошедшего в состав кристаллической решетки полупроводника, связь этого электрона с атомом ослабляется. Внутри запрещенной зоны у самого дна зоны проводимости (см. рис.1.2б) появляется поэтому небольшое количество дополнительных уровней (их число равно числу атомов примесей). Уже при нормальных температурах эти уровни оказываются практически полностью ионизированы: электроны уходят из них в зону проводимости.

Акцепторами служат, обычно, элементы III периода таблицы Менделеева. Создаваемые ими локальные уровни также распологаются в запрещенной зоне, но ближе к верхнему краю валентной зоны. Эти уровни заполняются электронами из валентной зоны; в валентной зоне появляются дырки.

В зависимости от чистоты полупроводника примесная проводимость может вносить в электропроводность больший или меньший вклад. Она искажает температурный ход собственной электропроводности. Чтобы правильно определить ширину запрещенной зоны, нужно провести измерения в широком интервале и выбрать участок, где зависимость электропроводности от ${1\over T}$ имеет чисто экспоненциальный характер.

Электропроводность полупроводников может измеряться различными способами. При выборе методики следует учитывать факторы, которые способны исказить результаты измерений. Наибольшую опасность представляют места контакта изучаемого образца с подводящими проводами. Сопротивление контактов может оказаться соизмеримым с сопротивлением самого образца, в этом случае, конечно, измерения будут испорчены. Контакт может оказаться неомическим (сопротивление контакта зависит от величины тока) и может сложным образом изменяться с температурой. На контактах полупроводника с металлом появляется термо-э.д.с., величина которой изменяется с температурой.

Обычно предлагается три метода экспериментального исследования зависимости $\sigma(T)$, в той или иной степени исключающие перечисленные источники ошибок. При выполнении работы следует воспользоваться одним из описанных методов.

След.: 2.  Описание установки Выше: Лабораторная работа №11 Пред.: Лабораторная работа №11