Далее: 4.  Описание экспериментальной установки Вверх: Измерение сопротивления методом моста Назад: 2.  Подготовка к лабораторной

3.  Краткая теория

Мост Уитстона предназначен для измерения сопротивлений методом сравнения. При этом методе не требуется измерять токи и напряжения, что обуславливает получение более точных результатов.

Принципиальная схема моста Уитстона, работающего на постоянном токе, представлена на рисунке 1.

Рис. 1 

Мост Уитстона состоит из реохорда $AB$, гальванометра $G$ и двух резисторов -- с известным эталонным сопротивлением $R_{\text{э}}$ и неизвестным сопротивлением $R_x$. Питание моста осуществляется источником тока с ЭДС.

Реохорд представляет собой однородный проводник в виде струны, укреплённой на панели с измерительной линейкой. Вдоль струны реохорда может перемещаться подвижной контакт $D$, который делит сопротивление струны реохорда на части $R_{{}_{\!\! A\text{Д}}}$ и $R_{{}_{\! \text{Д}B}}$, величины которых однозначно определяются длиной соответствующих участков струны $\ell_{{}_{\!\! A\text{Д}}}$ и $\ell_{{}_{\! \text{Д}B}}$:

$$R_{{}_{\!\! A\text{Д}}}=\rho{\ell_{{}_{\!\! A\text{Д}}}\over S}$$ (1)

и

$$R_{{}_{\! {\text{Д}B}}}=\rho{\ell_{{}_{\! \text{Д}B}}\over S} .$$ (2)

$\rho$	--	удельное сопротивление струны реохорда.
$S$	--	площадь поперечного сечения струны реохорда.

Гальванометром называется электроизмерительный прибор с неградуированной шкалой, имеющий высокую чувствительность к току или напряжению. В схеме моста используется гальванометр магнитоэлектрической системы с нулём на середине шкалы, что позволяет фиксировать токи противоположных направлений. Он используется в качестве нулевого прибора, предназначенного для установления отсутствия тока в ветви $CD$ схемы моста.

В случае произвольного положения движка $D$ ток гальванометра $I_{{}_{\!\! G}}\neq 0$. При этом токи $I_x\neq I_{\text{э}}$, a $I_{{}_{\!\! A\text{Д}}}\neq I_{{}_{\! \text{Д}B}}$; потенциалы точек $C$ и $D$ отличаются друг от друга в ту или иную сторону: $\varphi_c>\varphi_{{}_{\! \text{Д}}}$ или $\varphi_c<\varphi_{{}_{\! \text{Д}}}$. Соотношение потенциалов $\varphi_c$ и $\varphi_{{}_{\! \text{Д}}}$ определяет направление тока гальванометра $I_{{}_{\! G}}$.

Очевидно, что $\varphi_{{}_{\!\! A}}>\varphi_c>\varphi_{{}_{\! \text{Д}}}$ и $\varphi_{{}_{\!\! A}}>\varphi_{{}_{\! \text{Д}}}>\varphi_{{}_{\!\! B}}$, то есть потенциалы точек $C$ и $D$ имеют промежуточное значение между потенциалами точек $A$ и $B$. Поэтому, перемещая контакт $D\text{,}$ можно обеспечить равенство потенциалов точек $C$ и $D$, то есть $\varphi_c=\varphi_{{}_{\! \text{Д}}}$. В этом случае ток, протекающий через гальванометр, будет равен нулю ( $I_{{}_{\! G}}=0$), а мост окажется балансированным или уравновешенным. В состоянии равновесия очевидны равенства:

$$I_x=I_{\text{э}} ;\qquad I_{{}_{\!\! A\text{Д}}}=I_{{}_{\! \text{Д}B}}$$

$$\varphi_{{}_{\!\! A}}-\varphi_c=\varphi_{{}_{\!\! A}}-\varphi... ...i_{{}_{\! B}}=\varphi_{{}_{\! \text{Д}}}-\varphi_{{}_{\! B}} .$$

При этом пусть $\ell_{{}_{\!\! A\text{Д}}}=\ell_1$, а $\ell_{{}_{\! \text{Д}B}}=\ell_2$. На основании закона Ома для участка цепи без ЭДС, можно записать, что

$$\varphi_{{}_{\!\! A}}-\varphi_c=I_xR_x ;\qquad \varphi_{{}_{... ...\!\! \text{Д}}}= I_{{}_{\!\! A\text{Д}}}R_{{}_{\!\! A\text{Д}}}$$

$$\varphi_c-\varphi_{{}_{\!\! B}}=I_xR_{\text{э}} ;\qquad \var... ...i_{{}_{\!\! B}}=I_{{}_{\!\! A\text{Д}}}R_{{}_{\! \text{Д}B}} .$$

Следовательно,

$$I_xR_x =I_{{}_{\!\! A\text{Д}}}\cdot R_{{}_{\!\! A\text{Д}}} ,$$ (3)

$$I_xR_{\text{э}}=I_{{}_{\!\! A\text{Д}}}\cdot R_{{}_{\! \text{Д}B}} .$$ (4)

Деля почленно уравнения (3) на уравнение (4), получим:

$${R_x\over R_{\text{э}}}={R_{{}_{\!\! A\text{Д}}}\over R_{{}_{\! \text{Д}B}}} .$$ (5)

Решая (5) относительно $R_x$ с учётом соотношений (1) и (2), будем иметь

$$R_x=R_{\text{э}}{R_{{}_{\!\! A\text{Д}}}\over R_{{}_{\! \text... ...l_1\over S\rho\ell_2}\cdot S=R_{\text{э}}{\ell_1\over\ell_2} .$$

Следовательно,

$$R_x=R_{\text{э}}{\ell_1\over\ell_2} ,$$

где $\ell_1$ и $\ell_2$ -- длины участков реохорда $AD$ и $DB$, соответсвующие условию баланса моста.

Эти длины связаны соотношением: $\ell_1+\ell_2=\ell$, где $\ell$ -- полная длина струны реохорда.

Тогда

$$R_x=R_{\text{э}}{\ell_1\over\ell-\ell_1} .$$ (6)

Относительная погрешность измерения сопротивления методом моста Уитстона определяется выражением:

$${\Delta R_x\over R_x}={\Delta R_{\text{э}}\over R_{\text{э}}... ...{\Delta\ell\over\ell-\ell_1}+{\Delta\ell_1\over\ell-\ell_1} .$$ (7)

Величина $\Delta R_{\text{э}}\over R_{\text{э}}$ задаётся классом точности магазина эталонных сопротивлений.

Найдем условия минимума погрешности (7):

$$\left({\Delta R_x\over R_x}\right)'_{\! \ell_1} = -{\Delta\ell_1\over\ell_1^2}+ {\Delta\ell\over(\ell-\ell_1)^2}+{\Delta\ell_1\over(\ell-\ell_1)^2}=$$

$$= {\Delta\ell_1(\ell_1^2+2\ell\ell_1-\ell^2)+\Delta\ell\ell_1^2-\Delta\ell_1\ell_1^2\over \ell_1^2(\ell-\ell_1)^2} .$$ (8)

Приравнивая к нулю числитель равенства (8) и полагая
$\Delta\ell_1=\Delta\ell\neq 0$, приходим к уравнению:

$$\ell_1^2+2\ell\ell_1-\ell^2=0$$ (9)

Решение квадратного уравнения (9) имеет вид:

$$\ell_1=-\ell\pm\sqrt{2}\cdot\ell .$$ (10)

Физический смысл имеет лишь один из корней уравнения (9):

$$\ell_1=-\ell+\ell\sqrt{2}=\ell(\sqrt{2}-1)=0.41\ell ,$$

то есть

$$\ell_1= 0.41\ell .$$ (11)

Таким образом, погрешность измерений минимальная, когда подвижной контакт $D$ реохорда расположен примерно на середине его шкалы.

Следовательно, измерение сопротивлений с помощью моста Уитстона сводится к определению длины плеча реохорда, соответствующей условию баланса моста с последующим расчётом величины неизвестного сопротивления по формуле (6).

При этом следует помнить, что минимальная погрешность измерений имеет место при выполнении условия (11), что требует соответствующего подбора величины эталонного сопротивления $R_{\text{э}}$ в процессе проведения измерений.

Далее: 4.  Описание экспериментальной установки Вверх: Измерение сопротивления методом моста Назад: 2.  Подготовка к лабораторной