Далее: Задание 1. Расчет теоретических Вверх: Определение емкости конденсатора с Назад: Определение емкости конденсатора с

1.  Краткая теория

Соленоид (от греч. solen -- трубка и eidos -- вид) представляет собой свернутый в спираль изолированный проводник, обладающий значительной индуктивностью и малыми активным сопротивлением и емкостью. Соленоидальное поле -- это векторное поле, не имеющее источников в смысле зарядов ($div\vec{B}=0$) ; линии векторов $\vec{B}$ и $\vec{H}$ замкнуты или обоими концами уходят в бесконечность.

Индуктивность (от лат. inductio -- наведение, побуждение) -- одна из характеристик магнитных свойств электрических цепей, зависящая от их параметров и от магнитных свойств окружающей среды.

На рис.1.1 соленоид представлен в виде цилиндрической катушки длиной $\ell$ состоящей из $N$ витков радиусами $R$, которые образуют систему последовательно соединенных круговых токов. Для наглядности витки на рисунке показаны на некотором расстоянии, в действительности они могут распологаться вплотную друг к другу.

Рис. 1.1 

Особенности магнитного поля соленоида представлены качественно с помощью линий напряженности $\vec{H}$. Внутри соленоида напряженность магнитного поля значительно больше (примерно в $\ell^2\over R^2$ раз) напряженности вне его, поэтому линии внутри расположены ближе друг к другу. При этом в случае $\ell\gg R$ они располагаются параллельно друг другу и проходят в направлении оси практически с постоянной плотностью. Магнитное поле внутри соленоида является однородным всюду, кроме пространства вблизи концов, где оно ослабевает, а линии напряженности начинают расходиться. Вне соленоида напряженность поля при $\ell\gg R$ почти равна нулю. Таким образом, магнитное поле достаточно длинного соленоида (в пределе -- бесконечно длинного) сосредоточено в объеме, ограниченном его внешней поверхностью. Эта особенность соленоидов используется для получения однородных магнитных полей.

С помощью закона Био - Савара - Лапласа можно получить выражение для расчета напряженности магнитного поля соленоида как суперпозиции полей системы элементарных круговых токов:

$$\vert\vec{H}\vert={In\over 2}\left( {x\over \sqrt{R^2+x^2}}+{\ell-x \over \sqrt{R^2+(\ell-x)^2}}\right) ,$$ (1)

где	$I$	--	сила тока,
	$n$	--	число витков на единицу длины: $n ={N\over\ell}$,
	$x$	--	координата точки на оси соленоида.

Из этого выражения следуют два частных случая:

1. напряженность поля внутри соленоида в начале и в конце его оси, то есть при $X=0$ и $X=\ell$ оказывается равной:
   

   $$\vert\vec{H}\vert={In\over 2} \cdot{\ell\over\sqrt{R^2+\ell^2}}<{In\over 2},$$ (2)

   
   
   при этом в случае $\underline{{\bf\ell\gg R}}$     $\vert\vec{H}\vert\approx{In\over 2}$, а при $\underline{\ell\rightarrow\infty}$ , т.е. для бесконечно длинного соленоида:
   

   $$\vert\vec{H}\vert={In\over 2} .$$ (3)

   
   

2. напряженность поля внутри соленоида, в середине оси, то есть при $X={\ell\over 2}$ оказывается равной:
   

   $$\vert\vec{H}\vert={In\over 2}{\ell\over\sqrt{R^2+{\ell^2\over 4}}}<In ,$$ (4)

   
   
   при этом для случая $\underline{\bf\ell\gg R}$     $\vert\vec{H}\vert\approx In$, а при $\underline{\ell\rightarrow\infty}$, т.е. для бесконечно длинного соленоида:
   

   $$\vert\vec{H}\vert=In .$$ (5)

   
   

В соответствии с законом Био - Савара - Лапласа между полным магнитным потоком и силой тока существует прямопропорциональная зависимость:

$$\Psi=LI ,$$ (6)

где $\psi$ -- полный магнитный поток (потокосцепление):

$$\Psi=\sum\limits_{i=1}^N{\Phi_i} ,$$

$\Phi_i$ -- магнитный поток $i$-го витка соленоида, $L$ -- индуктивность.

Это общее выражение позволяет рассчитать индуктивность соленоида. Для однородного магнитного поля полный магнитный поток соленоида выражается следующим образом:

$$\Psi=BSN=\mu_o\mu HSN =\mu_o\mu HSn\ell ,$$

где $S$ -- площадь витка: $S=\pi R^2$.

С учетом зависимости напряженности поля соленоида от координаты выражение для магнитного потока получается методом дифференцирования и последующего интегрирования по всей длине соленоида:

$$d\Psi=\mu_o\mu HSnd\ell ,$$

где $H$ следует подставить из выражения (1). Тогда

$$\Psi=\int\limits_0^{\ell}{\mu_o\mu HSnd\ell}=\mu_o\mu Sn^2(\sqrt{R^2+\ell^2}-R)I$$

и на основании выражения (6) индуктивность соленоида:

$$L=\mu_o\mu Sn^2(\sqrt{R^2+\ell^2}-R)$$ (7)

определяется его параметрами и магнитными свойствами окружающей среды.

Для достаточно длинного соленоида ($\ell\gg R$) его индуктивность выражается проще:

$$L=\mu_o\mu Sn^2\ell ,$$ (8)

но при этом получается завышенное значение.

Соотношения (1-4), (7) и (8) в данной работе проверяются экспериментально.

Далее: Задание 1. Расчет теоретических Вверх: Определение емкости конденсатора с Назад: Определение емкости конденсатора с