Далее: 2.  Выполнение работы Вверх: Лабораторная работа № 15 Назад: Лабораторная работа № 15

1.  Краткая теория

Механические колебания, возникшие в какой-либо точке упругой среды, передаются другим точкам, вызывая смещение их из положения равновесия. Процесс распространения колебаний в среде называется механической волной. При этом колеблющиеся частицы не перемещаются с распространяющимся волновым процессом, а колеблются около равновесных положений. В продольной волне колебания частиц происходят в направлении распространения волны, а в поперечной они перпендикулярны направлению распространения колебаний. Будут ли волны продольными или поперечными в данной среде определяют упругие свойства ее. В жидкостях и газах распространяются только продольные механические волны, так как в них не возникают упругие силы, стремящиеся возвратить сдвинутый слой в положение равновесия. В твердых телах могут распространяться и продольные, и поперечные механические волны.

Под скоростью распространения волны (скоростью звука) понимают фазовую скорость, то есть скорость распространения данной фазы колебания, например, максимума смещения точки. Рассмотрение динамики волнового процесса позволяет получить теоретические выражения для фазовой скорости различных волн. Так, для продольных волн скорость $v$ обратно пропорциональна корню квадратному из коэффициента упругости среды $\alpha$ и ее плотности $\rho$:

$$v=\sqrt{\frac{1}{\alpha\rho}}$$ (1)

Приближенно это выражение может быть заменено следующим:

$$v=\sqrt{\frac{{E}}{\rho}},$$ (2)

где $E$ -- модуль Юнга среды.

Расстояние, на которое распространяется данная фаза колебаний за период, называется длиной волны $\lambda$. Ее можно определить также как наименьшее расстояние между точками, колеблющимися в одинаковых фазах.

Фазовая скорость и длина волны связаны простым соотношением:

$$v=\frac{\lambda}{T},$$ (3)

где $T$ -- период колебаний источника и точек среды.

Или

$$v=\lambda\nu\,,$$ (4)

где $\nu$ -- частота колебаний.

Из этих выражений можно определить на опыте фазовую скорость волны. Для этого нужно измерить длину волны и частоту или период колебаний.

Смещение $\xi$ точек бегущей волны является функцией ее координаты $x$ и времени $t$. Уравнение плоской гармонической бегущей волны, распространяющейся в положительном направлении оси $X$, имеет вид:

$$\xi=A\cos{(\omega t-kx)}\,,$$

где $A$ -- амплитуда колебаний; $\omega$ -- круговая частота: $\omega=2\pi\nu$; $k$ -- волновое число: $k=\frac{2\pi}{\lambda }$, $(\omega t-kx)$ -- фаза.

При наложении двух встречных бегущих плоских волн с одинаковыми амплитудами образуются стоячие волны с характерными точками-узлами и пучностями смещений.

Уравнение стоячей волны можно получить, если сложить левые и правые части двух уравнений:

$$\xi_1=A\cos{(\omega t-kx)}\,;$$

$$\xi_2=A\cos{(\omega t+kx)}\,,$$

где $\xi_1$ -- смещение точек прямой, а $\xi_2$ -- обратной или отраженной от препятствия волны. Получается следующее выражение:

$$\xi=\xi_1+\xi_2=2A\cos{\frac{2\pi}{\lambda}x}\cos{\omega t}\,.$$

Так смещаются со временем точки в стоячей волне.

Множитель $\cos{\omega t}$ показывает, что в точках среды возникают колебания той же частоты, что и встречных волн.

Модуль множителя $2A\cos{\frac{2\pi}{\lambda}x}$, не зависящий от времени, называется амплитудой результирующего колебания. Как видно, она зависит от координаты точки.

В некоторых точках амплитуда стоячей волны равна сумме амплитуд обоих слагаемых колебаний. Такие точки называются пучностями. Координаты их можно найти из условия:

$$\left\vert\cos{\frac{2\pi}{\lambda}x}\right\vert=1\,,$$

в этих точках $A_c=2A$. Координаты пучностей:

$$x_{п}=\pm n\frac{\lambda}{2};\quad n=0,1,2,\ldots$$

В узлах амплитуда результирующего колебания всегда равна нулю. Условие образования узлов:

$$\cos{\frac{2\pi}{\lambda}x}=0\,,$$

отсюда можно найти координаты узлов:

$$x_{уз.}=\pm(2n+1)\frac{\lambda}{4}\,.$$

Нетрудно показать, что расстояния между двумя соседними пучностями или узлами стоячей волны равны половине длины волны:

$$\Delta x=\frac{\lambda}{2}\,,$$ (5)

а расстояние узла от ближайшей пучности равно $\frac{\lambda}{4}$.

Эти особенности позволяют определять на опыте длину волны, а затем и ее скорость из выражений (3) или (4). Для этого нужно сделать видимыми или слышимыми пучности стоячей волны.

Стоячие волны образуются обычно при интерференции прямой и отраженной волн. На границе отражения может оказаться узел или пучность в зависимости от соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, более плотная, чем среда, в которой распространяется волна, на границе сред получается узел; в противном случае -- пучность.

Рассмотрим два случая образования стоячих волн, которые используются в этой работе.

1. Пусть имеется труба, закрытая с одного конца. Если к отверстию поднести источник звука, то в столбе воздуха, находящегося в трубе, возникнут колебания с частотой источника.

       Всякий раз, когда частота вынужденных колебаний будет
   практически совпадать с собственной частотой воздушного столба, будет наблюдаться явление резонанса. Собственные частоты колебаний воздушного столба определяются его длиной $\ell$ и скоростью распространения звука в воздухе $v$. Теоретические расчеты показывают, что собственные частоты $\nu_n$ воздушного столба в случае, когда радиус его мал по сравнению с длиной, могут быть вычислены так:

   $$\nu_n=\frac{v}{4\ell}n\,,$$
   где $n=1,3,5\ldots$

   Схематически образующиеся стоячие волны можно изобразить следующим образом:

   

   Рис. 1.1 

       Если частота колебаний источника постоянна, явление резонанса наблюдается при плавном изменении длины воздушного столба всякий раз, когда на длине его укладывается нечетное число четвертей длин волн:

   $$\ell=n\frac{\lambda}{4}\,,$$
   при этом у открытого конца всегда образуется пучность.

       Из этого выражения видно, что наименьшая разность длин воздушного столба, при которых последовательно наблюдается явление резонанса, равно половине длин волны. Это свойство используется в работе для расчета длины волны и скорости звука в воздухе $\left(\Delta\ell=\Delta n {\lambda\over 2}\,;\ \Delta n_{наим.}=2\right)$.

2. Если обе границы твердого тела (стержня, струны и пр.) находятся в одном и том же положении - обе неподвижны или обе свободны, для образования устойчивых стоячих волн необходимо, чтобы на длине тела $L$ укладывалось целое число полуволн.

       Если один конец тела свободен, а другой закреплен, для образования упругих стоячих волн необходимо, чтобы на длине его умещалось нечетное число четвертей длин волн.

   

   Рис. 1.2 

       В работе используется латунный
   стержень, закрепленный посередине. В месте закрепления находится узел стоячей волны, а на концах - пучности. Если возбудить в стержне колебания основного тона $(n=1)$, на длине стержня уложится одна полуволна, а длина волны будет равна его удвоенной длине: $\lambda=2L$.

Далее: 2.  Выполнение работы Вверх: Лабораторная работа № 15 Назад: Лабораторная работа № 15