След.: 3.  Экспериментальное определение моментов Выше: Лабораторная работа №9 Пред.: 1.  Описание установки

2.  Принцип работы маятника Максвелла

Принцип работы маятника основан на том, что поднятый на высоту $h\strut$ маятник, обладающий массой $M\strut$ будет иметь запас потенциальной энергии $Mgh$. После отключения электромагнита маятник начнёт раскручиваться и его потенциальная энергия будет переходить в кинетическую энергию поступательного движения и кинетическую энергию вращательного движения.

$$Mgh={Mv_c^2\over 2}+{I\omega^2\over 2} ,$$ (1)

где	$M\strut$	--	масса маятника;
	$h\strut$	--	высота его подъёма;
	$v\strut$	--	cкорость центра инерции маятника;
	$I\strut$	--	момент инерции маятника;
	$\omega\strut$	--	угловая скорость вращения.

Это уравнение позволяет получить соответствующее выражение для момента инерции маятника, однако предварительно обсудим некоторые динамические и кинематические особенности такой вращающейся и одновременно поступательно движущейся системы.

При движении маятника центр его инерции (масс) движется поступательно. Уравнение его движения согласно второму закону Ньютона

$$M\vec{g} + 2\vec{F}_H = M\vec{a}_c$$ (2)

и в проекциях на вертикальное направление:

$$Mg + 2F_H = Ma_c ,$$ (3)

где	$a_c$	--	ускорение центра масс,
	$F_H$	--	cила натяжения нитей
			(см. рис.2).

Рис. 2

Основной закон динамики вращательного движения маятника (диска с валом) определяется известным уравнением динамики вращательного движения

$$\sum_{i=1}^n \vec{M}_i = I \vec{\varepsilon}$$ (4)

которое в проекции на ось вращения даёт:

$$2 F_H\cdot r = I\varepsilon ,$$ (5)

где	$I\strut$	--	момент инерции маятника,
	$\varepsilon\strut$	--	угловое ускорение маятника.

Нить разматывается без проскальзывания, и это означает, что мгновенная скорость точки $A\strut$ (cм. рис.3) равна нулю.

Движение маятника можно представить как ряд последовательных поворотов вокруг мгновенного центра вращения $A\strut$ (подобно качению цилиндра по плоскости). Тогда справедливо равенство

$$v_c=\omega r ,$$

где $\omega\strut$ - угловая скорость вращения центра масс.

Рис. 3

Но угловая скорость вращения твёрдого тела относительно оси для всех его точек одинакова. Соответственно, линейное ускорение центра масс

$$a_c={dv_c\over dt}=\varepsilon r .$$ (6)

Совместное решение уравнений (3), (5) и (6) даёт для

$$a_c= {g\over 1+\displaystyle { I\over Mr^2}}$$ (7)

Центр масс движения с постоянным ускорением и за время

$$t = {T\over 2}$$ (8)

($T\strut$ - период колебаний маятника) проходит путь равный $h\strut$

$${a_ct^2\over2}=h\quad\text{или}\quad a_c ={2h\over t^2} .$$ (9)

Наконец, совместное решение (8), (9) и (7) позволяет получить выражение для вычисления момента инерции в виде:

$$I = Mr^2 \left({gT^2\over 8 h} -1\right) .$$ (10)

Это же выражение можно получить из уравнения (1) с учётом кинематических связей ($v_c=\omega r$, $a_c=\varepsilon r$).

След.: 3.  Экспериментальное определение моментов Выше: Лабораторная работа №9 Пред.: 1.  Описание установки