Далее: 2.  Описание установки Вверх: Лабораторная работа № 5 Назад: Лабораторная работа № 5

1.  Краткая теория

Основными кинематическими величинами являются радиус-вектор точки $\vec{r}$ , мгновенные скорость $\vec{v}$ и ускорение $\vec{a}$, траектория и путь $S$.

Мгновенная скорость точки $\vec{v}={d\vec{r}\over t}$ в общем случае движения может меняться. Скорость изменения скорости называется мгновенным ускорением:

$$\vec{a} ={d\vec{v}\over dt} .$$

Интегрирование последнего выражения при условии постоянства ускорения дает закон изменения скорости равнопеременного движения:

$$\vec{v}=\vec{v_o}+\vec{a}t ,$$ (1)

где $\vec{v_o}$ -- начальная скорость, $\vec{v}$ -- скорость в момент времени $t$.

При движении из состояния покоя, при $\vec{v_o}=0$:

$$\vec{v}=\vec{a}t$$ (2)

В свою очередь, интегрирование выражения для $\vec{v}$ с учетом (1) дает закон изменения $\vec{r}$ при равноускоренном движении:

$$\vec{r}=\vec{r_o}+\vec{v_o}t+{\vec{a}t^2\over 2} .$$ (3)

При движении из начала координат без начальной скорости это выражение упрощается:

$$\vec{r}={\vec{a}t^2\over 2} .$$ (4)

Если точка движется по прямой в одном направлении, вектор перемещения $\Delta\vec{r}$ по модулю равен пройденному пути $S$. При равноускоренном движении без начальной скорости, которое изучается в этой работе

$$S ={\vec{a}t^2\over 2} .$$ (5)

Другой частный случай движения - равномерное - описывается просто:

$$\vec{a}=const ,\quad S=vt.$$ (6)

Рис. 1.1 

Теперь рассмотрим динамику равноускоренного движения системы тел, состоящей из двух грузов, подвешенных к концам нерастяжимой невесомой нити, перекинутой через блок. Рассчитаем вначале ускорение, пренебрегая массой блока.

На каждый груз будут действовать две силы -- сила тяжести $\vec{P}=m\vec{g}$ и сила натяжения нити $\vec{F}_{н}$, под действием которых грузы будут перемещаться (силами трения пренебрегаем и считаем нить невесомой). Направление ускорения показано на рис.1.1 для случая когда $m_1>m_2$.

Поскольку нить нерастяжима, то ускорения правого и левого грузов равны по величине и противоположны по знаку $\vec{a}_1=-\vec{a}_2$. Если предположить, что блок невесом, то

$$\vec{F}_{н_1}=\vec{F}_{н_2}=\vec{F}_{н_n}.$$

Запишем уравнения движения каждого груза в векторной форме:

$$m_1\vec{g}+\vec{F_{н}}=m_1\vec{a} ,$$

$$m_2\vec{g}+\vec{F_{н}}=m_2\vec{a} ,$$

затем в проекциях на ось $X$, положительное направление которой указано на рис.1.1:

$$m_1g-F_{н}=m_1a ,$$

$$m_2g-F_{н}=-m_2a .$$

Решая эти уравнения, получим выражение для ускорения системы:

$$a={(m_1-m_2)\over(m_1+m_2)}g .$$ (7)

Таким образом, система движется ускоренно, если массы грузов различны и покоится или движется равномерно прямо линейно при $m_1=m_2$.

В действительности силы натяжения, действующие на грузы, не равны друг другу, так как масса блока отлична от нуля. Возникает момент сил натяжения $\vec{F}_{н_1}-\vec{F}_{н_2}$, вызывающий вращение блока. Для динамического описания движения в этом случае нужно дополнить систему уравнений законом движения блока:

$$\vert\vec{M}\vert=J\vert\vec{\beta}\vert ,$$ (8)

где $\vert\vec{M}\vert=(\vec{F}_{н_1}-\vec{F}_{н_2})R$ -- результирующий момент сил натяжения, действующих на блок; $R$ -- плечо сил, равное радиусу блока; $J$ -- момент инерции блока; $\vec{\beta}$ -- угловое ускорение точек блока.

Считая блок однородным диском, выразим его момент инерции так:

$$J={m_{бл}R^2\over 2} .$$ (9)

Кроме того, если нить не скользит по блоку, линейное ускорение её точек связано с угловым ускорением блока соотношением:

$$\vert\vec{a}\vert=\vert\vec{\beta}\vert R .$$ (10)

Решая систему уравнений для движения грузов, а также (7) с учетом (8) и (9), получим более точное выражение для ускорения грузов:

$$a={(m_1-m_2)\over(m_1+m_2+{m_{бл}\over 2})}g .$$ (11)

Как видно, условие ускоренного движения сохраняется, но на величину ускорения влияют не только массы грузов, но и масса блока. Количественная оценка этого влияния является одной из целей данной работы.

Далее: 2.  Описание установки Вверх: Лабораторная работа № 5 Назад: Лабораторная работа № 5