Далее: 2.  Описание установки и Вверх: Лабораторная работа №6 Назад: Лабораторная работа №6

1.  Краткая теория

В работе скорость пули одновременно измеряется двумя методами. Рассмотрим сущность каждого из них.

Кинематический метод. Для проведения опытов этим методом используются винтовка, пуля и два бумажных диска, расположенных на расстоянии $S$ и вращающихся на одном валу с электродвигателем. При установившемся движении угловая скорость дисков $\omega_g$ постоянна.

Пуля после выстрела движется между дисками прямолинейно.
В случае равномерного движения ее скорость можно найти следующим образом:

$$v_{\text{п}} = {S\over t} ,$$ (1)

где $t$ -- время движения пули между дисками.

За промежуток времени $t$ второй диск повернется на угол $\varphi$ относительно первого:

$$\varphi=\omega_g t .$$ (2)

Выразим угловую скорость дисков через частоту $n$:

$$\omega_g=2\pi n ,$$

тогда время движения пули между дисками:

$$t = \frac{\varphi}{2\pi n} .$$ (3)

Рис. 1.1 

Подставив (3) в (1), получим расчетную формулу для нахождения скорости пули кинематическим методом:

$$v_{\text{п}} = \frac{2\pi nS}{\varphi} ,$$ (4)

где $n$ выражается в об/с, а $\varphi$ -- в радианах.

Таким образом, для расчета скорости пули кинематическим методом необходимо измерить расстояние между дисками $S$, угол $\varphi$ между отверстиями в дисках, образованными пулей, и знать число оборотов вала электродвигателя $n$.

Динамический метод. Для проведения опытов этим методом используются винтовка, пуля и баллистический маятник -- массивное тeло на специальном подвесе, заполненное пластичным веществом, в котором пуля остается после выстрела. В результате неупругого взаимодействия пули с маятником он отклоняется на некоторый угол $\alpha$, величина которого зависит от скорости пули $v_{\text{п}}$.

Рис. 1.2 

Для вывода расчетной формулы используются два подхода. Рассмотрим подход на основе закона сохранения импульса изолированной системы, состоящей из пули и маятника, и на законе сохранения механической энергии материальной точки.

До взаимодействия импульсом обладает только пуля (маятник покоится), непосредственно после удара маятник вместе с попавшей в него пулей приобретает некоторую скорость. В проекциях на ось закон сохранения импульса имеет вид:

$$mv_{\text{п}}=Mv ,$$ (5)

где	$m$	--	масса пули,
	$M$	--	масса маятника вместе с пулей,
	$v_{\text{п}}$	--	скорость пули,
	$v$	--	скорость центра масс (центра тяжести) маятника
			с пулей.

За короткое время соударения изменение импульса системы под действием внешних сил незначительно и им можно пренебречь.

Скорость пули в этом выражении можно определить через массы $m$, $M$ и скорость $v$:

$$v_{\text{п}}={Mv\over m} .$$ (6)

Неизвестную $v$ выразим из закона сохранения механической энергии маятника:

$$\frac{Mv^2}{2}=Mgh ,$$ (7)

где $h$ -- высота подъема центра масс; в свою очередь $h$ можно выразись через угол $\alpha$ отклонения маятника и длину $\ell$ от точки подвеса до центра тяжести маятника (рис.1.2):

$$\cos\alpha={\ell-h\over\ell}\quad\Longrightarrow$$

$$h=\ell(1-\cos\alpha)=2\ell\sin^2{\alpha\over 2} ,$$ (8)

так как $(1-\cos\alpha)=2\sin^2{\alpha\over 2}$.

Для $v$ получим:

$$v=\sqrt{2gh}=2\sin{\alpha\over 2}\sqrt{g\ell} .$$ (9)

Подставив (9) в (6), найдем выражение для искомой скорости пули в рассматриваемом случае:

$$v_{\text{п}}={2M\over m}\sin{\alpha\over 2}\sqrt{g\ell} .$$ (10)

Таким образом, для определения скорости пули при таком подходе нужно измерить массу пули $m$, массу маятника с пулей $M$, расстояние $\ell$ и угол отклонения маятника от положения равновесия $\alpha$.

Второй подход основан на законах динамики вращательного движения системы материальных точек. Для вывода расчетной формулы используется закон сохранения момента импульса системы, состоящей из пули и маятника, и закон сохранения механической энергии маятника.

Скорость пули можно выразить из закона сохранения момента импульса в скалярной форме:

$$mv_{\text{п}}\ell_{\text{п}}=I\omega ,$$ (11)

где	$m$	--	масса пули,
	$v_{\text{п}}$	--	скорость пули,
	$\ell_{\text{п}}$	--	расстояние от оси вращения до точки попадания
			пули в маятник,
	$I$	--	момент инерции маятника с пулей,
	$\omega$	--	угловая скорость вращения маятника с пулей.

Исходное соотношение для скорости пули имеет вид:

$$v_{\text{п}}={I\omega\over m\ell_{\text{п}}} .$$ (12)

Здесь неизвестными величинами являются $I$ и $\omega$. Момент инерции $I$ выразим из формулы периода собственных колебаний физического маятника:

$$T=2\pi\sqrt{\frac{I}{Mg\ell}} ,$$

где $\ell$ -- расстояние от точки подвеса (оси) до центра тяжести маятника.

Момент инерции выражается так:

$$I=\frac{T^2Mg\ell}{4\pi^2} .$$ (13)

Угловую скорость маятника $\omega$ выразим из закона сохранения механической энергии с учетом (13) и (8):

$$W_{\text{к}}=W_{\text{п}};\qquad\quad\frac{I\omega^2}{2}=2Mg\ell\sin^2{\frac{\alpha }{2}} ,$$

откуда

$$\omega={4\pi\sin{\frac{\alpha }{2}}\over T} .$$ (14)

Подставляя (13) и (14) в исходное соотношение (12), получим:

$$v_{\text{п}}= \frac{Mg\ell T\sin{\frac{\alpha}{2}}}{m\pi\ell_{\text{п}}} .$$ (15)

Период колебаний маятника можно найти экспериментально:

$$T={t\over N} ,$$

где $t$ -- время некоторого числа полных колебаний $N$. В результате получим расчетную формулу для скорости пули при данном подходе:

$$v_{\text{п}}= \frac{Mg\ell t\sin{\frac{\alpha}{2}}}{Nm\pi\ell_{\text{п}}} .$$ (16)

Здесь кроме величин, измеряемых в 1-м подходе, необходимо измерить $t$, $N$ и $\ell_{\text{п}}$.

Примечание. При подстановке в (15) периода собственных колебаний математического маятника:

$$T=2\pi\sqrt{\ell\over g}$$

с учетом того, что в этом случае $\ell_{\text{п}}=\ell$, получим выражение для расчета скорости пули в 1-м подходе (10) -- приближении, соответствующем законам динамики материальной точки.

Далее: 2.  Описание установки и Вверх: Лабораторная работа №6 Назад: Лабораторная работа №6