Далее: 3.  Решетка как спектральный Вверх: 2.  Теоретическое введение Назад: 2.1.  Дифракция на щели

2.2.  Интерференция от многих щелей

Рассмотрим несколько параллельных щелей одинаковой ширины ($b$), расположенных на расстоянии ($a$) друг от друга (дифракционная решетка) (см. рис. 4).

Рис. 4 

Дифракционная картина от щелей, как в предыдущем случае, будет наблюдаться в фокальной плоскости линзы ($L$). Но явление усложняется тем, что кроме дифракции от каждой щели, происходит еще и сложение световых колебаний в пучках, приходящих в фокальную плоскость линзы от отдельных щелей, т.е. происходит интерференция многих пучков. Если общее число щелей -- $N$, то интерферируют между собой $N$ пучков.

Разность хода от двух соседних щелей равна $\delta_{1}=(b+a)\cdot\sin\varphi$ или $\delta_{1}=d\cdot\sin\varphi$, где $d=a+b$ -- называется постоянной решетки.

Этой разности хода соответствует одинаковая разность фаз
$\Delta\psi=2\pi\cdot{\delta_{1} \over\lambda}$ -- между соседними пучками. В результате интерференции в фокальной плоскости линзы получаются результирующие колебания с некоторой амплитудой, которая зависит от разности фаз.

Если $\Delta\psi=2m\pi$ (что соответствует разности хода $\delta_{1}=2m{\lambda\over 2}$), то амплитуды колебаний складываются и интенсивность света достигает максимума. Эти максимумы называются главными т.к. они имеют значительную интенсивность и их положение не зависит от общего числа щелей.

Если $\Delta\psi=2m({\pi\over N})$ (или $\delta _{1}=2m{\lambda\over 2N}$), то в этих направлениях образуются минимумы света. Следовательно, при интерференции $N$ пучков одинаковой амплитуды возникает ряд главных максимумов, определенных условием:

$$d\cdot\sin\varphi=\pm m\lambda$$ (3)

где $m = 0; 1; 2; \ldots$

и добавочных минимумов, определяется условием:

$$d\cdot\sin\varphi=\pm m{\lambda\over N}$$ (4)

где $m =1; 2; 3; \ldots$

кроме $m = 0; N; 2N; \ldots$ , т.к. в этом случае условие (4) переходит в условие (3) -- главных максимумов. Из условий (4) и (3) видно, что между двумя главными максимума располагается ($N-1$) добавочных минимумов, между которыми находится соответственно ($N-2$) вторичных максимумов, определенных условием:

$$d\cdot\sin\varphi =\pm (2m+1){\lambda\over 2N}$$ (5)

Рис. 5 [(без учета дифракции на одной щели)]

С увеличением числа щелей растет число добавочных минимумов, а главные максимумы становятся уже и ярче. На рис. 5 дано распределение интенсивности при интерференции нескольких пучков (щелей). Таким образом, при действии многих щелей имеем в направлениях, определяемых условиями:

$$\begin{eqnarray*} b\cdot\sin\varphi & = & \pm m\lambda\qquad\qquad\qquad\text{-... ...m + 1)\cdot{\lambda\over 2N}\quad\text{- вторичные максимумы.} \end{eqnarray*}$$

При наблюдении картины, даваемой дифракционной решеткой, мы отчетливо видим только главные максимумы, разделенные практически темными промежутками, ибо вторичные максимумы очень слабы, интенсивность самого сильного из них составляет не более 5% от главного. Распределение интенсивности между отдельными главными максимума неодинаково. Оно зависит от распределения интенсивности при дифракции на щели и отношения между ($b$) и ($d$). В том случае, когда ($b$) и ($d$) соизмеримы, некоторые главные максимумы отсутствуют, т.к. этим направлениям соответствуют дифракционные минимумы. Так при $d=2b$ пропадают все четные максимумы , что ведет к усилению нечетных. При $d=3b$ исчезает каждый третий максимум. Описанное явление иллюстрируется на рис. 6.

Распределение интенсивности в зависимости от угла можно вычислить по формуле:

$$I_{\varphi\text{ реш.}}=I_{o}{\sin^{2}(\pi b\sin{\varphi\over... ...over\lambda})^{2}\cdot\sin^{2}(\pi b\sin{\varphi\over\lambda})}$$

где $I_{o}$ -- интенсивность, создаваемая одной щелью в центре картины.

Рис. 6 

Далее: 3.  Решетка как спектральный Вверх: 2.  Теоретическое введение Назад: 2.1.  Дифракция на щели