Далее: 9.  Ответы и решения Вверх: Термодинамика Назад: 7.  Холодильные машины

8.  Замечательные задачи

Рассмотрим две задачи, приводящие к неожиданным результатам, которые, однако, становятся понятны при анализе решений с позиций первого и второго начал термодинамики.

Задача 1. В комнате некоторое время работает нагревательный прибор. В результате температура повышается от значения $T_{0}$ до значения $T_{1}$. Определить изменение внутренней энергии воздуха в комнате, считая его идеальным газом (Р. Эмден).

Решение. Реальная комната не является герметической, она непрерывно обменивается воздухом с окружающей средой, так что давление остается постоянным и равным атмосферному. Объем комнаты также постоянен. Используя уравнение состояния идеального газа

$$p\,V\ =\ \frac{m}{\mu}\,R\,T\;,$$

где $m$ - масса воздуха, $\mu$ - его молярная масса, приходим к выводу, что произведение массы воздуха в комнате на его температуру должно быть постоянным, то есть изменение температуры сопровождается обратно пропорциональным изменением массы.

Внутреннюю энергию воздуха в комнате можно вычислить по формуле

$$U\ =\ \frac{m}{\mu}\,C_{v}\,T\;.$$ (16)

$C_{v}$ - молярная теплоемкость при постоянном объеме - в пределах изменения комнатной температуры с высокой точностью сохраняет постоянное значение.

Формулу (16), называемую калорическим уравнением состояния идеального газа, можно получить из следующих соображений. В изохорном процессе механическая работа не совершается, поэтому прирост внутренней энергии обусловлен только поглощением тепла:

$$\Delta U\ =\ \Delta Q\ =\ \frac{m}{\mu}\,C_{v}\,\Delta T\;.$$

Отсюда с точностью до произвольного слагаемого и получается (16). При этом нужно иметь в виду, что любое состояние газа может быть достигнуто из любого начального состояния путем последовательного осуществления изохорного процесса и изотермического процесса, в котором внутренняя энергия идеального газа не меняется⁶.

Таким образом, поскольку переменные $m$ и $T$ в правую часть (16) входят в виде произведения, которое в нашем случае не меняет своего значения, то при изменениях температуры внутренняя энергия воздуха в комнате остается постоянной.

Анализ решения. Итак, при повышении температуры воздуха в комнате уменьшается его масса, и вся внутренняя энергия, поглощенная от нагревательного прибора, полностью выбрасывается в окружающую среду вместе с частью воздуха. Более того, если в комнату принести какой-либо холодный предмет, то он, принимая температуру теплой комнаты, увеличивает свою внутреннюю энергию за счет наружного, а не за счет комнатного воздуха. Если, используя уравнение состояния, исключить температуру и массу из (16):

$$U\ =\ \frac{C_{v}}{R}\,p\,V\;,$$

то получается, что внутренняя энергия воздуха в комнате при заданном объеме определяется только атмосферным давлением.

Зачем же обогревать комнату, если вся поглощенная энергия уходит наружу? Ответ на этот вопрос становится понятен только с позиций второго начала термодинамики. Обогревая комнату, мы повышаем ее температуру, которая как раз и является параметром, регулирующим интенсивность теплообмена воздуха с человеческим телом. Комфортность условий для организма определяется температурой, а не энергией воздуха в комнате (в таком виде утверждение уже не выглядит парадоксальным).

Точно так же жизнь на Земле не может существовать без солнечного излучения, вся энергия которого с точностью до малой доли снова излучается в космическое пространство; живой организм нуждается в регулярном приеме пищи, при этом его вес в течение длительного времени может не изменяться; вся энергия, потребляемая из электрической сети для обеспечения работы компьютера (телевизора, пылесоса и др.), проходя через разные промежуточные формы, в конечном итоге рассеивается в виде тепла.

Земля вместе с солнечной радиацией, компьютер вместе с электрическим током, живой организм вместе с пищей поглощают не только энергию, которую затем полностью отдают, но и отрицательную энтропию, необходимую для покрытия роста собственной энтропии за счет необратимых процессов.

По образному выражению Р. Эмдена, "в гигантской фабрике естественных процессов принцип энтропии занимает место директора, который предписывает вид и течение всех сделок, в то время как закон сохранения энергии играет лишь роль бухгалтера, который приводит в равновесие дебет и кредит". Мы не будем сравнивать по значимости первое и второе начала термодинамики, заметим лишь, что каждое из них без другого не дает полного описания многообразия термодинамических процессов.

Рис. 21 

Задача 2. Рассмотрим действие динамической системы отопления. Она включает в себя паровую машину, потребляющую топливо с теплотворной способностью единицы массы $q$. Температура воды в котле паровой машины $T_{1}$. Холодильником машины является отопительная система с температурой воды $T_{2}$. Паровая машина приводит в действие холодильную машину, поглощающую тепло из природного резервуара с температурой $T_{0}<T_{2}$, резервуаром с более высокой температурой для нее служит вода в отопительной системе (рис. 21). Найти тепло, переданное в отопительную систему, если масса сожженного топлива $m$ (В. Томсон (Кельвин).

Решение. Поскольку нагревателями и холодильниками обеих машин являются тепловые резервуары с постоянной температурой, действие машин можно в идеале описать циклами Карно. Тогда для цикла паровой машины

$$\frac{Q_{2}}{Q_{1}}\ =\ \frac{T_{2}}{T_{1}}\;,$$ (17)

где $Q_{1}$ и $Q_{2}$ - соответственно тепло, поглощаемое из парового котла, и тепло, отдаваемое в отопительную систему. Для цикла холодильной машины

$$\frac{Q^{\prime}_{2}}{Q^{\prime}_{1}}\ =\ \frac{T_{0}}{T_{2}}\;,$$ (18)

где $Q^{\prime}_{1}$ и $Q^{\prime}_{2}$ - соответственно дополнительное тепло, передаваемое в отопительную систему, и тепло, поглощаемое из низкотемпературного природного резервуара.

Полезная работа паровой машины, используемая в качестве внешней работы для холодильной машины, равна

$$A\ =\ Q_{1}\ -\ Q_{2}\ =\ Q^{\prime}_{1}\ -\ Q^{\prime}_{2}\;.$$ (19)

Источником тепла в паровой машине является сжигаемое топливо, поэтому

$$Q_{1}\ =\ q\,m\;.$$

Из (17) и (19) получаем

$$Q_{2}\ =\ q\,m\,\frac{T_{2}}{T_{1}}\;\;\;;\;\;\;\;\;\;\; A\ =\ \frac{q\,m}{T_{1}}\,(T_{1}\,-\,T_{2})\;.$$

Из (18) и (19) для $Q^{\prime}_{1}$ получаем

$$Q^{\prime}_{1}\ =\ \frac{A\,T_{2}}{T_{2}-T_{0}}\;.$$

В результате суммарное тепло, переданное в отопительную систему, равно

$$Q\ =\ Q_{2}\,+\,Q^{\prime}_{1}\ = \ q\,m\,\frac{T_{2}\,(T_{1}-T_{0})}{T_{1}\,(T_{2}-T_{0})}\;.$$ (20)

Анализ решения. Если окончательный результат представить в виде

$$Q\ =\ q\,m\,\frac{T_{2}}{T_{1}}\ \left(1\ +\ \frac{T_{1}-T_{2}}{T_{2}-T_{0}}\right)\;,$$

то нетрудно заметить, что переданное в отопительную систему тепло при всех $T_{0}<T_{2}$ превышает тепло, полученное от сжигания топлива. Действительно, при предельно малых $T_{0}$ тепло имеет минимальное значение $Q\,=\,q\,m$ и монотонно возрастает с увеличением $T_{0}$ до $T_{2}$ (рис. 22).

Мы знаем, что помимо необратимой передачи тепла от горячего тела к холодному, например, при сжигании топлива, можно организовать теплопередачу в обратимом процессе, в том числе и от холодного тела к горячему, за счет внешней работы. Рассмотренная задача как раз является примером того, что дополнительное тепло, извлекаемое из низкотемпературного резервуара, может значительно превышать тепло, получаемое от сжигания топлива.

Рис. 22 

Полезная работа паровой машины, которая в сумме с теплом $Q_{2}$ дает тепло от сжигания топлива $q\,m$ (в идеале), с другой стороны, представляет собой разность между дополнительным теплом $Q^{\prime}_{1}$ и теплом, поглощенным из природного резервуара. Эта разность при близких по величине $T_{0}$ и $T_{2}$ может быть, согласно (18), сколь угодно малой по сравнению с $Q^{\prime}_{1}$ и $Q^{\prime}_{2}$.

Данный результат, будучи очень красивым в теории, пока не нашел широкого технического применения, поскольку существенное превышение над неизбежными потерями энергии получается лишь для достаточно близких значений $T_{0}$ и $T_{2}$. Таким образом, чтобы эффективно извлекать тепло из природного резервуара (например, воды моря), нужно поддерживать температуру в отопительной системе чуть выше температуры резервуара. Но температура отопительной системы ограничена снизу необходимой температурой отапливаемого помещения, иначе такое "отопление" просто теряет смысл.

Здесь уместно напомнить основной результат предыдущей задачи: конечной целью отопления является достижение и поддержание необходимой температуры, а вовсе не извлечение максимальной энергии из природных источников.

Вопросы и задачи

8.1. В комнату объемом $60\ \text{м}^{3}$ с температурой воздуха $293\ K$ вносится тело объемом $10^{-3}\ \text{м}^{3}$ с температурой $280\ K$. Плотность тела $\rho_{1}=10^{3}\ \text{кг/м}^{3}$, его удельная теплоемкость $c_{1}=4,2\cdot10^{3}\ \text{Дж/кг}\cdot\text{град}$. Плотность воздуха при температуре $293\ K$ и его удельная теплоемкость при постоянном давлении соответственно равны: $\rho=1,2\ \text{кг/м}^{3}$ и
$c_{p}=10^{3}\ \text{Дж/кг}\cdot\text{град}$. Определить, насколько изменятся температура воздуха в комнате и внутренняя энергия тела после установления равновесия.

8.2. В котле динамической системы отопления поддерживается температура $T_{1}\,=\, 480\ K$, температура природного теплового резервуара $T_{0}\,=\, 280\ K$, температура воды в отопительной системе $T_{2}\,=\,330\ K$. Во сколько раз можно уменьшить потребление топлива для поддержания той же температуры в отопительной системе, если температура природного резервуара поднимется до $295\ K$?

Далее: 9.  Ответы и решения Вверх: Термодинамика Назад: 7.  Холодильные машины