Далее: 4.  Обратимые и необратимые Вверх: Термодинамика Назад: 2.  Работа и теплота

3.  Первое начало термодинамики

Первое начало термодинамики обычно формулируется в виде утверждения:

При переходе из состояния 1 в состояние 2 поглощенное телом тепло расходуется на совершение механической работы и увеличение внутренней энергии системы:

$$Q_{12}\ =\ A_{12}\ +\ \Delta U_{12}$$ (3)

($\Delta U_{12}$ - изменение внутренней энергии системы).

Все входящие в данное соотношение величины могут принимать положительные и отрицательные значения: тепло $Q_{12}$ положительно, если оно поглощается системой, и отрицательно, если оно отдается; работа $A_{12}$ положительна, если она совершается системой над внешними телами, и отрицательна, если работа совершается над системой; изменение внутренней энергии положительно, если поглощенное тепло больше, чем совершенная работа, если же тепла поглощается меньше, чем производится работы (например, при адиабатическом расширении), то внутренняя энергия системы уменьшается: $\Delta U_{12}\ <\ 0$.

Проанализируем смысл сделанного утверждения.

Во-первых, оно означает введение новой величины - внутренней энергии системы, которая может увеличиваться или
уменьшаться в зависимости от соотношения поглощенного тепла и произведенной работы.

Во-вторых, в нем содержится так называемый принцип эквивалентности тепла и механической работы. Этот принцип заключается в том, что тепло и работа являются различными формами энергообмена системы с окружающей средой. Одно и то же изменение внутренней энергии системы может быть достигнуто за счет совершения работы без поглощения или выделения тепла (в адиабатическом процессе) либо за счет теплообмена без совершения работы (в изохорном процессе). В результате поглощения тепла система может совершать полезную работу, и наоборот - внешняя работа при определенных условиях может приводить к выделению системой тепла. Эквивалентность тепла и работы с сегодняшних позиций представляется очевидной. Действительно, нагревание тел в результате трения было известно с первобытных времен. Однако ясное научное понимание взаимосвязи тепловых и механических явлений было достигнуто лишь к середине прошлого столетия.

В-третьих, первое начало термодинамики представляет собой обобщенный закон сохранения энергии, который утверждает, что во всех процессах перехода энергии из тепловой формы в механическую и наоборот разница между поглощенным теплом и произведенной работой в точности покрывается изменением внутренней энергии системы.

Первое начало термодинамики впервые было сформулировано в работе Р. Майера (1841 г.), которая, однако, стала известной лишь после появления работ Джоуля, Клаузиуса и Гельмгольца. Наиболее значительный вклад в экспериментальную проверку первого начала внес Д. Джоуль, который с поразительной для того времени точностью определил механический эквивалент тепла, то есть установил соотношение между единицами измерения тепла и работы. Используемая в настоящее время так называемая международная калория содержит 4,1868 Дж.

Приведенная выше формулировка первого начала термодинамики не является полной. Для того, чтобы сделать к ней необходимое дополнение, рассмотрим следующую задачу.

Идеальный газ переходит из состояния 1 в состояние 2 (давление $p_{2} < p_{1}$ , объем $V_{2} > V_{1}$) двумя способами: в первом способе вначале происходит расширение газа при постоянном давлении, а затем - уменьшение давления при постоянном объеме; во втором способе, наоборот, сначала уменьшается давление при постоянном объеме, а затем происходит изобарное расширение (рис. 3). Найти поглощенное тепло, совершенную работу и изменение внутренней энергии в каждом из способов.

Рис. 3 

Решение. Из рисунка видно, что впервом способе переход системы из состояния 1 в состояние 2 осуществляется через промежуточное состояние 3, во втором способе - через состояние 4. Работа в первом способе равна

$$A_{1}\ =\ p_{1}\,(V_{2}\ -\ V_{1})\;,$$

во втором способе -

$$A_{2}\ =\ p_{2}\,(V_{2}\ -\ V_{1})\;.$$

При вычислении поглощенного тепла будем для простоты считать, что количество газа - один моль. Тогда в первом способе поглощенное тепло составляет

$$Q_{1}\ =\ C_{p}\,(T_{3}\ -\ T_{1})\ +\ C_{v}\,(T_{2}\ -\ T_{3})\;,$$

во втором способе -

$$Q_{2}\ =\ C_{v}\,(T_{4}\ -\ T_{1})\ +\ C_{p}\,(T_{2}\ -\ T_{4})\;.$$

Для молярных теплоемкостей $C_{p}$ и $C_{v}$ идеального газа существует известное соотношение Майера:

$$C_{p}\ -\ C_{v}\ =\ R\;,$$

где $R$ - универсальная газовая постоянная. Пользуясь этим соотношением и уравнением состояния идеального газа

$$p\,V\ =\ R\,T\;,$$

выразим $Q_{1}$ и $Q_{2}$ через данные в задаче значения давлений и объемов:

$$Q_{1}\ =\ p_{1}\,V_{2}\ -\ \frac{C_{p}}{R}\,p_{1}\,V_{1}\ +\ \frac{C_{v}}{R}\,p_{2}\,V_{2}\;,$$

$$Q_{2}\ =\ -\,p_{2}\,V_{1}\ +\ \frac{C_{p}}{R}\,p_{2}\,V_{2}\ -\ \frac{C_{v}}{R}\,p_{1}\,V_{1}\;.$$

Для изменения внутренней энергии, используя уравнение первого начала термодинамики (3), в том и другом случае получаем

$$\Delta U_{12} = Q_{1}-A_{1} = Q_{2}-A_{2} = \frac{C_{v}}{R}(p_{2}V_{2} - p_{1}V_{1}) = C_{v}(T_{2}-T_{1})\;.$$

Из рассмотренной задачи можно сделать два вывода.

1. Поглощенное тепло и совершенная работа зависят не только от начального и конечного состояний системы, но и от способа перехода (такие величины называются функциями процесса; к функциям процесса из известных нам величин относится также теплоемкость).

2. Изменение внутренней энергии в данном случае, то есть для идеального газа и данного набора процессов, оказалось зависящим только от параметров начального и конечного состояний ( $p_{1}\ ,V_{1}\ ,p_{2}\ ,V_{2}$) и не зависящим от способа перехода.

В молекулярной физике второй вывод легко обобщить на любые системы и любые процессы. Действительно, если представлять внутреннюю энергию как среднее значение полной механической энергии всех частиц системы, то ясно, что это значение не должно зависеть от способа перехода системы в данное термодинамическое состояние.

В аксиоматической термодинамике обобщение второго вывода из нашей задачи на случай произвольной системы и произвольных процессов имеет характер постулата, который и является необходимым дополнением формулировки первого начала термодинамики, данной в начале параграфа. С учетом этого первое начало можно сформулировать следующим образом.

Термодинамическому состоянию системы соответствует определенное значение ее внутренней
энергии, которое может увеличиваться при поглощении системой тепла либо при совершении над ней работы:

$$\Delta U_{12}\ =\ Q_{12}\ -\ A_{12}\;.$$

Обратим внимание, что данная формулировка определяет не само значение внутренней энергии, а ее изменение при переходе из состояния 1 в состояние 2. Таким образом, сама внутренняя энергия системы $U$ определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого.

Величины, значение которых определяется термодинамическим состоянием системы и не зависит от способа перехода системы в это состояние, называются функциями или параметрами состояния. К параметрам состояния относятся температура, давление, объем, масса, плотность системы.

Выше говорилось, что тепло, поглощенное однородной системой, делится между ее частями в отношении их масс (в состоянии равновесия). Иными словами, поглощенное системой тепло складывается из порций тепла, поглощенного частями системы (при такой формулировке однородности системы и равновесия между ее частями не требуется). Аналогичным свойством обладает работа системы. Это можно пояснить следующим образом. Мысленно разобьем столб газа под поршнем (см. рис. 1) вертикальной стенкой на две части. К каждой из этих частей будет относиться все сказанное о целом столбе. Тогда

$$\Delta A_{1}\ +\ \Delta A_{2}\ =\ p\,(\Delta V_{1}\,+\,\Delta V_{2})\ =\ \Delta A\;,$$

то есть работа в результате сдвига поршня на $\Delta x$ складывается из работ двух частей столба газа. То же справедливо при разбиении на произвольное количество частей.

Из этих рассуждений с учетом первого начала термодинамики вытекает свойство аддитивности внутренней энергии системы: внутренняя энергия системы складывается из внутренних энергий ее частей (подсистем).

Свойство аддитивности внутренней энергии позволяет обобщить первое начало термодинамики на задачи, в которых учитывается обмен веществом между системами. Для этого нужно порции вещества, участвующие в обмене, представлять как отдельные части системы и применять к ним первое начало термодинамики как к системам.

Вопросы и задачи

3.1. Может ли теплоемкость газа при постоянном объеме превышать его теплоемкость при постоянном давлении?

3.2. Температура идеального газа изменяется от значения $T_{1}$ до значения $T_{2}$. На сколько при этом изменяется его внутренняя энергия?

3.3. Газ расширяется от объема $V_{1}$ до объема $V_{2}$: а) изотермически; б) адиабатически. В каком из этих случаев при одинаковом начальном давлении конечное давление будет больше? Почему?

3.4. Может ли газ при нагревании (повышении температуры) выделять тепло?

3.5. Идеальный газ адиабатически расширяется из состояния 1 $(p_{1},V_{1},T_{1})$ в состояние 2 $(p_{2},V_{2},T_{2})$. После этого газу при постоянном объеме передается тепло в количестве, эквивалентном совершенной работе. Чему равна конечная температура газа?

3.6. Внутри сосуда, заполненного идеальным газом, имеется пустая полость. Открытием крана газу дают возможность заполнить полость. Что происходит при этом с температурой газа?

3.7. Доказать соотношение Майера для молярных теплоемкостей идеального газа:

$$C_{p}\ -\ C_{v}\ =\ R\;.$$

3.8. Вычислить механический эквивалент тепла (отношение калории к джоулю), пользуясь следующими данными для
воздуха: при температуре $0^{0}\ C$ и атмосферном давлении
$p\,=\,1,013\cdot10^{5}\ \text{н/м}^{2}$ плотность составляет $\rho\,=\,1,29\ \text{кг/м}^{3}$, удельная теплоемкость при постоянном давлении $c_{p}\,=\,0,238$ $\ \text{ккал/кг}\cdot\text{град}$, ее отношение к удельной теплоемкости при постоянном объеме $\gamma\,=\,1,405$. Воздух считать идеальным газом.

3.9. Найти изменение внутренней энергии при испарении 20 г этанола в точке кипения при атмосферном давлении, если известно, что его удельная теплота парообразования при этой температуре равна 205 ккал/кг, удельный объем пара 0,607 $\text{м}^{3}/\text{кг}$, удельным объемом жидкости можно пренебречь.

Рис. 4 

3.10. Идеальный газ расширяется в процессе ${\it 1 \rightarrow 2}$ с линейной зависимостью давления от объема (рис. 4). При этом его объем увеличивается в 2,5 раза, а температура в состоянии 2 принимает то же значение, что и в состоянии 1. Затем газ сжимают при постоянном давлении в процессе ${\it 2\rightarrow3}$ до первоначального объема. Найти отношение тепла, поглощенного в процессе ${\it 1 \rightarrow 2}$, к теплу, выделенному в процессе ${\it 2\rightarrow3}$. Молярная теплоемкость газа $C_{v}\,=\,5/2\,R$.

3.11. Доказать, что адиабатический процесс в идеальном газе описывается уравнением:

$$p\,V^\gamma\ =\ const\;\;,$$

где $\gamma = C_p/C_v$ (уравнение Пуассона).

3.12. Процесс, в течение которого теплоемкость системы остается постоянной, называется политропическим. Найти уравнение политропического процесса для идеального газа. Проанализировать частные случаи.

Далее: 4.  Обратимые и необратимые Вверх: Термодинамика Назад: 2.  Работа и теплота