Далее: Примерные задания к Интернет-экзамену Вверх: Контрольная работа по математике Назад: Указания к выполнению контрольной

Контрольная работа по математике для студентов заочного отделения

1. Вычислите при помощи инженерного калькулятора (ответ округлите до тысячных):

1) $2,k^{1,m};$

2) $5,l^{-0,k};$

3) $\ln(5m+k);$

4) $\lg(8m+2l+k)$ (используйте функцию $\log$ инженерного калькулятора или формулу $\lg a=\dr{\ln a}{\ln 10}$ );

5) $\log_{k+8}(l+m)$ (используйте формулу $\log_ba=\dr{\ln a}{\ln b}$ );

6) $\sin(kl+m);$

7) $\cos(kl+m);$

8) $\tg(kl+m).$

2. Земля имеет 24 часовых пояса. Найдите:

1) сколько градусов в одном часовом поясе;

2) сколько градусов в часовых поясах;

3) сколько градусов в одной минуте;

4) сколько градусов в минутах;

5) сколько минут в одном градусе;

6) сколько минут в градусах.

3. Переведите км:

1) в м;

2) в см;

3) в мм;

4) в нм;

5) в тыс. км;

6) в млн. км.

4. Переведите см:

1) в м;

2) в км.

5. Переведите км:

1) в м;

2) в см.

6. Переведите см:

1) в м;

2) в км.

7. Запишите определение масштаба и найдите масштаб карты, если расстояние от пункта А до пункта В на карте равно см, а в действительности оно равно $(k^2+kl+km)\cdot l$ км.

8. Площадь некоторой области на карте равна см, масштаб карты равен . Найдите, какую площадь (в км) имеет данная область.

9. Из точки на поверхности земли вершина дерева видна под углом $(m+2l)^\circ,$ а расстояние от этой точки до основания дерева составляет м. Найдите:

1) высоту дерева;

2) расстояние от этой точки до вершины дерева;

3) угол, под которым видна данная точка с вершины дерева (используйте соотношения в прямоугольном треугольнике:

(теорема Пифагора), $\tg\alpha=\dr{\text{ противолежащий катет}}{\text {прилежащий катет}}$ ).

10. Расстояние между двумя точками на поверхности земли равно м. Из этих двух точек некоторый объект виден под углами $(m+3k)^\circ$ и $(l+m-1)^\circ$ . Найдите:

1) угол, под которым эти две точки видны с объекта;

2) расстояния от каждой из этих точек до объекта (используйте теорему о сумме углов треугольника и теорему синусов $\dr{a}{\sin A}=\dr{b}{\sin B}$ ).

11. Расстояния от точки на поверхности земли до двух объектов равны м и м, а угол, под которым эти объекты видны из точки составляет $(7k+3)^\circ$ . Найдите расстояние между объектами (используйте теорему косинусов $c^2\!=\!a^2\!+\!b^2\!-\!2ab\cos C$ ).

12. Известно, что с высотой температура воздуха падает на $0,m^\circ$ C на каждые 100 м. Температура воздуха у подножия горы равна $(2l+3)^\circ$ C. Найдите, какой будет температура на высоте $(1000+100\cdot k)$ м.

13. Территория некоторой страны состоит из материковой части и нескольких островов. Площадь материковой части равна тыс. км, а площадь всей страны равна тыс. км. Найдите:

1) какой процент площади приходится на островную часть;

2) какую часть составляет территория островов от территории страны.

14. Студенческая стипендия, равная руб., изменилась на %. Найдите размер новой стипендии, если произошло:

1) повышение;

2) понижение.

15. Раствор соли массой $(l\!+\!3)$ г содержит $(l\!-\!2)$ г соли. Найдите процентное содержание соли в растворе.

16. Процентное содержание соли в растворе составляет %. Найдите, сколько граммов соли содержится в растворе массой г.

17. При сушке влажность грибов уменьшается с 99% до 98%. Сколько килограммов сухих грибов получится из $10\cdot m$ кг свежих?

18. Имеются два слитка сплава серебра и олова. Первый слиток содержит $360\!\cdot\! l$ г серебра и $40\!\cdot\! l$ г олова, а второй слиток - $450\!\cdot\! l$ г серебра и $150\cdot l$ г олова. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили $200\!\cdot\! l$ г сплава, в котором оказался 81% серебра. Определите массу (в граммах) куска, взятого от второго слитка.

19. Воздушная масса представляет собой смесь кислорода, водорода и азота, массы которых относятся как Найдите:

1) процентное содержание каждого газа в смеси;

2) тройное отношение процентного содержания газов.

20. В течение года средняя температура по месяцам была распределена следующим образом:

$\includegraphics[height=0.07\textwidth,width=\textwidth,clip]{D:/old_disk/disk_d/html/work/link1/metod/met145/a.eps}$

Вычислите среднюю температуру за год.

21. Составьте таблицу распределения высоты деревьев в своем дворе по образцу

$\displaystyle \begin{tabular}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c... ...\hline Высота &&&&&&&\\ \hline Кол-во деревьев &&&&&&&\\ \hline \end{tabular}$

Найдите среднюю высоту дерева и составьте круговую диаграмму распределения высоты деревьев (круговая диаграмма составляется из расчета $1\%=3,6^\circ$ ).

22. Запишите любую матрицу размера $3\times5$ .

23. Матрица имеет размер $m\times k$ , матрица имеет размер $m\times l$ , причем $A\cdot B=C.$ Найдите размер матрицы .

24. Даны матрицы:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}l&k-l\cr m&k-m\cr\end{pmatrix}, \ B=\begin{pmatrix}3-l&m+1\cr 2k+3&-m\cr\end{pmatrix}.$

Найдите , $A\cdot B,$ $\vert A\vert,$ $\vert B\vert,$ $\vert A\cdot B\vert.$

25. Даны матрицы:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}k-1&5-m&m\cr l+3&k-m&2k-l\cr 2-k&-1-k&m+4\cr\end... ...}, B=\begin{pmatrix}l+1&-k&k-m\cr 2-m&m-2l&3\cr k-4&-7&m\cr\end{pmatrix}.$

Найдите: $a_{12}+b_{23},$ $a_{22}-b_{13},$ , $A\cdot B,$ $\vert A\vert.$

26. Решите уравнение $\left\vert\begin{matrix}\alpha&k\cr m&l\cr \end{matrix}\right\vert=0$ .

27. Найдите матрицу, обратную к матрице $A=\begin{pmatrix}k-l&l+2\cr k+m&-2l\cr\end{pmatrix}.$

28. Выясните, при каком $\alpha$ матрица $A\!=\!\begin{pmatrix} \alpha&l\cr k&m\cr \end{pmatrix}$ не имеет обратной.

29. Пусть - решение системы уравнений $\left\{\begin{matrix}2x-ky=-12,\cr 4x+my=l-m.\cr\end{matrix}\right.$ Найдите

30. Запишите систему линейных уравнений в матричном виде и решите ее методом Крамера:

$\begin{displaymath} \begin{array}{l} \begin{cases}\begin{matrix}2x_1&+&x_2&-&3x_... ...cr 4x_1&-&x_2&-&mx_3&=&1.\end{matrix}\end{cases}\\ \end{array}\end{displaymath}$

31. Найдите:

1) полярные координаты точки $A(-l;l\sqrt3)$ ;

2) декартовы координаты точки $B(k;\dr{m\cdot\pi}6).$

32. Найдите координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением:

33. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением:

34. Точки , , , и векторы $\vec p,$ $\vec n$ заданы координатами , $\vec p\{m; m+l\},$ $\vec n\{l; 2k\}.$

Найдите:

1) координаты вектора $\overrightarrow{AB};$

2) сумму координат середины отрезка

3) расстояние между точками и ;

4) общее уравнение прямой

5) уравнение прямой по двум точкам;

6) уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент ;

7) уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор $\vec p;$

8) уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор $\vec n;$

9) уравнения прямых, проходящих через точку и параллельных осям координат;

10) уравнение прямой в отрезках.

11) расстояние от точки до прямой

12) координаты точки , симметричной точке относительно точки ;

13) площадь треугольника .

35. Выясните, какой тип имеет квадратичная форма

36. Выясните, принадлежит ли точка с координатами плоскости

37. Числовая последовательность задана формулой $x_n=\dr{l\cdot k^{2n-1}}{n!-1}.$

Найдите:

1) второй член этой последовательности;

2) четвертый член этой последовательности.

38. Вычислите пределы:

1) $\limx{m}\dr{lx^3-kx+m}{(l-k)x^2+x-k};$

2) $\limx{l-5}\dr{x^2-(l-5)^2}{x-l+5};$

3) $\limx{m+25}\dr{\sqrt{x-m}-5}{x-m-25};$

4) $\limx{0}\dr{\sin kx}{kx};$

5) $\limx{0}\dr{\tg(-lx)}{x^2};$

6) $\limx{\infty}\dr{kx^m+lx^k+2}{3x^k-x^m};$

39. Найдите производные функций:

1) $y=kx^m+6x^k-l\sqrt x+\root k\of x-\dr{2}{\root m\of x};$

2) $y=(6x^m+k)\cos lx;$

3) $y=\dr{mx^{k-1}-x^{l-3}}{1-x^m};$

4) $y=e^{\ctg({m-lx})}.$

40. Найдите производную второго порядка для функций:

2) $y=\cos mx.$

41. Запишите уравнение касательной к графику функции
в точке

42. Исследуйте функцию и постройте ее график.

43. Используя таблицу, вычислите интегралы:

1) $\int(kx+l)^{m}dx;$

2) $\int \dr{dx}{lx-k};$

3) $\int e^{m-kx}dx;$

4) $\int \sin lx dx;$

5) $\int \dr{dx}{\cos^2kx}.$

44. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

45. Решите дифференциальные уравнения:

1) $\sin my(kx+1)dy=dx;$

46. Исследуйте ряды на сходимость:

1) $\sum\limits_{n=1}^\infty\dr{1}{mn^k+l};$

2) $\sum\limits_{n=1}^\infty ln^m;$

3) $\sum\limits_{n=1}^\infty\dr{1}{(n+m)!};$

4) $\sum\limits_{n=1}^\infty\dr{(-1)^n}{kn}.$

47. Найдите радиус и интервал сходимости степенного ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty\dr{m^n\cdot x^n}{\sqrt{kn+l}}.$

48. Запишите первые пять членов разложения функции в ряд по степеням .

49. Бросаются два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков

1) равна ;

2) не превосходит ;

3) больше

50. В ящике находится гвоздей, шурупов и болтов. Наудачу выбирают одну деталь. Найдите вероятность того, что достали

1) гвоздь;

2) шуруп;

3) болт.

51. По объекту произвели запуск трех ракет. Вероятность попадания в объект первой ракеты - , второй - , третьей - Найдите вероятность того, что в объект попали

1) все три ракеты;

2) две ракеты.

52. В первой урне белых и черных шаров, во второй - белых и черных. Из каждой урны взяли по одному шару. Найти вероятность того, что

1) оба шара белые;

2) шары разных цветов.

53. Монета бросается раз. Найдите вероятность того, что герб выпадет раза.

54. Имеется три ящика с деталями, в которых соответственно стандартных и бракованных, стандартных и бракованных, стандартных и бракованных. Из наудачу взятого ящика выбрана деталь. Какова вероятность того, что эта деталь окажется стандартной?