Далее: Контрольная работа по теме Вверх: Контрольные работы по математике Назад: Контрольная работа по теме

Контрольная работа по теме ``Аналитическая геометрия''

1. Найдите:

1) полярные координаты точки $A(-l;l\sqrt3)$;

2) декартовы координаты точки $B(n;\dr{m\cdot\pi}6).$

2. Найдите координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением:

1) $(x-k)^2+(y+m)^2=n^2;$

2) $x^2+2lx+y^2-4ky-300=0.$

3. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением:

1) $(x-k)^2+(y+n)^2+(z+2l)^2=m^2;$

2) $x^2+(y-n)^2+z^2-2lz-20=0;$

3) $x^2-2lx+y^2-4ky+z^2+6mz=0.$

4. Точки $A$, $B$, $C$, $D$ и векторы $\vec p,$ $\vec n$ заданы координатами $A(-k;l),$ $B(m;k+l),$ $C(l+m;0)$, $D(0;l+2k),$ $\vec p\{m; m+l\},$ $\vec n\{n; 2k\}.$

Найдите:

1) координаты вектора $\overrightarrow{AB};$

2) сумму координат середины отрезка $AB;$

3) расстояние между точками $A$ и $B$;

4) общее уравнение прямой $AB;$

5) уравнение прямой $AB$ по двум точкам;

6) уравнение прямой, проходящей через точку $A$ и имеющей угловой коэффициент $m$;

7) уравнение прямой, проходящей через точку $A$ и имеющей направляющий вектор $\vec p;$

8) уравнение прямой, проходящей через точку $A$ и имеющей нормальный вектор $\vec n;$

9) уравнения прямых, проходящих через точку $A$ и параллельных осям координат;

10) уравнение прямой $CD$ в отрезках.

5. Треугольник $ABC$ задан координатами своих вершин:
$A(n-10;l)$, $B(-m;3-l),$ $C(k;-m).$ Сделайте чертеж.

Найдите:

1) длину стороны $AC$ треугольника $ABC$;

2) уравнение прямой, содержащих сторону $AC$ треугольника $ABC$;

3) уравнение прямой $AM$, содержащей медиану треугольника $ABC$;

4) уравнение прямой $BH$, содержащей высоту треугольника $ABC$;

5) площадь квадрата со стороной $AC$;

6) координаты точки $D$ такой, что четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом;

7) уравнение прямой, проходящей через точку $A$ и имеющей угловой коэффициент $m$;

8) уравнения прямых, проходящих через точку $B$ и параллельных осям координат;

9) уравнение прямой, проходящей через точку $B$ и параллельной прямой $AC$;

10) точку пересечения медианы$AM$и высоты$BH$треугольника $ABC$;

11) расстояние от точки $B$ до прямой $AC;$

12) длину высоты $BH$ треугольника $ABC$;

13) косинус угла $A$ треугольника $ABC$;

14) координаты точки $K$, симметричной точке $B$ относительно точки $A$;

15) площадь треугольника $ABC$.

6. Точки $A$, $B$, $C$ и $D$ заданы своими координатами: $A(k+2;l;-m)$, $B(-m;n-11;k),$ $C(l-4;-m;n-k)$ и $D(k-2;l+3;m).$

Найдите:

1) скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC};$

2) векторное произведение векторов $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC};$

3) тройное произведение векторов $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$;

4) площади треугольника $ABC$ и параллелограмма, построенного на векторах $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ (используйте векторное произведение векторов);

5) объемы пирамиды $ABCD$ и параллелепипеда, построенного на векторах $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$ (используйте тройное произведение векторов).

7. Эллипсы заданы уравнениями

1) $\dr{x^2}{(k+l)^2}+\dr{y^2}{k^2}=1$,

2) $\dr{x^2}{k^2}+\dr{y^2}{(k+n)^2}=1$.

Найдите длины большой и малой полуосей и эксцентриситеты эллипсов, координаты фокусов, фокусные расстояния.

8. Гиперболы заданы уравнениями

1) $\dr{x^2}{(k+m)^2}-\dr{y^2}{k^2}=1$,

2) $\dr{y^2}{k^2}-\dr{x^2}{(k+n)^2}=1$.

Найдите длины действительной и мнимой полуосей и эксцентриситеты гипербол, координаты фокусов, фокусные расстояния.

9. Параболы заданы уравнениями

1) $y=kx^2$,

2) $x=ny^2$.

Найдите координаты фокусов и уравнения директрис парабол.

10. Выясните, какой тип имеет квадратичная форма

1)  $kx^2+lxy+ny^2$;

2)  $kx^2+lxy-(n+5)y^2$;

3)  $-kx^2+lxy-(n+5)y^2$;

4)  $k^2x^2-2k(n+2)xy+(n+2)^2y^2$.

11. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки
$M_1(l;-1;-4)$, $M_2(n-12;1;3-m)$ параллельно вектору $\vec p=(1;-4;n)$.

Найдите координаты нормального вектора этой плоскости.

12. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку
$M_0(-3;2;n-8)$ перпендикулярно прямой $\dr{x-k}{6}=\dr{y+m}{-3}=\dr{z-9}{1}.$

13. Напишите уравнение плоскости, проходящей через прямую $\dr{x+l}{3}=\dr{y-k}{-1}=\dr{z+3}{-2}$ перпендикулярно плоскости $4x+6y-z+m=0.$

14. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки
$M_1(k-2;-3,6)$, $M_2(1;0;6-l)$ параллельно прямой $$\begin{cases}x=3t+k;\cr y=-2t+3;\cr z=5t-8.\cr\end{cases}$$

15. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку
$A(-4;-5;l-4)$ параллельно плоскости $mx-ky+3z-1=0.$

16. Запишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку $A(-1;l;n)$ параллельно прямой $$\begin{cases}x=-4t+k;\cr y=-3t+4;\cr z=2t+1.\cr\end{cases}$$

Далее: Контрольная работа по теме Вверх: Контрольные работы по математике Назад: Контрольная работа по теме