Далее: Тема 8. Первообразная и Вверх: Тема 7. Производная и Назад: Тема 7. Производная и

Домашнее задание № 8

1. Найти производную функции: а) $y = x^3 - 3x^2 + 5$; б) $y = \sin x + \frac{3x}{2}$;

в) $y = \left( {{\kern 1pt} 4x + 9{\kern 1pt} } \right){\kern 1pt} ^7$; г) $y = \sqrt x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} +$ tg $x \quad + \cos 3 x$; д) $y = \sqrt[3]{6x - 1} + e^{ - 2x}$.

2. Найти скорость точки в момент времени $t$ = 2, если точка движется вдоль оси ${\rm O}x$ по закону $x = 3t^2 - 12t + 4$.

3. Написать уравнение касательной к гиперболе $y = \frac{1}{2x}$ в точке с абсциссой $x_0 = 0,5$.

4. Найти точки экстремума заданной функции и определить их характер: $y = \frac{x^3}{3} - \frac{5}{2}x^2 + 6x - 1$.

5. Найти промежутки возрастания и убывания функции $f \left( x \right) = x^3 - 6x^2 - 15x - 2$.

6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f \left( x \right) = 3x^5 - 5x^3$ на промежутках $\left[ {{\kern 1pt} 0;\;2{\kern 1pt} } \right]$ и $\left[ {{\kern 1pt} 2;\;3{\kern 1pt} } \right]$.

7. Решить задачи:

а) Площадь прямоугольника равна 64 см$^{2}$. Какую длину должны иметь его стороны, чтобы периметр был наименьшим?

б) Число 54 представить в виде суммы трех положительных слагаемых, два из которых пропорциональны числам 1 и 2, таким образом, чтобы произведение всех слагаемых было наибольшим.

8. Исследовать функцию и построить ее график: а) $f \left( x \right) = x{ }^3 + 3x + 2$;

б) $f \left( x \right) = 4x^2 - x^4$; в) $f \left( x \right) = x \sqrt {2 - x}$; г) $f \left( x \right) = x^3 \left( {2 - x} \right)$; д) $f \left( x \right) = \sin ^2x + \sin x$.

Ответы к заданиям (для самоконтроля): 1. а)$3x^2 - 6x$; б) $\cos \;x + 1,5$;

в) $28 \left( {4x + 9} \right)^6$; г) $\frac{1}{2{\kern 1pt} {\kern 1pt} \sqrt x } - \frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^3} + \frac{1}{\cos ^2x} - 3 \sin 3x$; д) $\frac{2}{\sqrt[3]{\left( {{\kern 1pt} 6x - 1{\kern 1pt} } \right)^2}} - 2 e^{ - 2x}$.

2. 0. 3. $y = - 2x + 2$.

4. $x_{\max } = 2;\; x_{\min } = 3$; 5. Возрастает на $\left( {{\kern 1pt} - \infty ;\; - 1{\kern 1pt} } \right] \cup \left[ {{\kern 1pt} 5;\; + \infty {\kern 1pt} } \right)$, убывает на $\left[ {{\kern 1pt} - 1;\;5{\kern 1pt} } \right]$.

6. На промежутке $\left[ {{\kern 1pt} 0;\;2{\kern 1pt} } \right]$: $f_{\max } \left( x \right) = f{\kern 1pt} \left( {2{\kern 1pt} } \right) = 5... ...) = f{\kern 1pt} \left( {{\kern 1pt} {\kern 1pt} 1{\kern 1pt} } \right) = - 2$; на промежутке $\left[ {{\kern 1pt} 2;\;3{\kern 1pt} } \right]$: $f_{\max } \left( x \right) = f{\kern 1pt} \left( {3{\kern 1pt} } \right) = 5... ...t) = f{\kern 1pt} \left( {{\kern 1pt} {\kern 1pt} 2{\kern 1pt} } \right) = 56$. 7. а) 8 см, 8 см; б) $54 = 12 + 24 + 18$.

Далее: Тема 8. Первообразная и Вверх: Тема 7. Производная и Назад: Тема 7. Производная и