3. Указания к решению задач по механике

Далее: 4. Примеры решения задач Вверх: Методическое пособие Назад: 2. Основные единицы Международной

3. Указания к решению задач по механике

Кинематические задачи в случае прямолинейного равнопеременного движения материальной точки решаются, как правило, векторным или координатным способами с помощью двух уравнений для скорости и радиуса-вектора точки в момент времени $\displaystyle{t}$ :

\begin{equation} \vec v=\vec v_0+\vec at\,, \end{equation}

(1)

\begin{equation} \vec r= \vec r_0+\vec v_0t+{\vec a t^2\over2}\,, \end{equation}

(2)

где $\displaystyle{\vec a}$ – постоянное по величине и направлению ускорение, $\displaystyle{\vec v_0}$ – начальная скорость, $\displaystyle{\vec v}$ – скорость в момент времени $\displaystyle{t}$ , $\displaystyle{\vec r_0}$ – радиус-вектор точки в начальный момент времени при $\displaystyle{t=0}$ , $\displaystyle{\vec r}$ – радиус-вектор в момент времени $\displaystyle{t}$ .

Выражения (1) и (2) получаются при решении дифференциальных уравнений для мгновенного ускорения и мгновенной скорости:

\begin{equation} \vec a={d\vec v\over dt}\,;\qquad \vec v={d\vec r\over dt}\,, \end{equation}

(3)

с учетом начальных условий и при постоянном $\displaystyle{\vec a}$ .

Принцип независимости движений позволяет применять выражения (1) и (2) для $\displaystyle{\vec v}$ и $\displaystyle{\vec r}$ и в случае так называемого баллистического движения, то есть для криволинейного движения тел, брошенных горизонтально и под углом к горизонту.

При решении задач нужно перейти к скалярной форме уравнений (1) и (2), то есть записать каждое из них в проекциях на ось при прямолинейном движении и отдельно в проекциях на оси $\displaystyle{OX}$ и $\displaystyle{OY}$ при криволинейном. При этом следует учесть знаки проекций, а символы векторов опустить. Следует иметь в виду, что проекции радиуса-вектора $\displaystyle{\vec r}$ на оси равны соответствующим координатам материальной точки: $\displaystyle{r_{0x}=x_0}$ , $\displaystyle{r_{0y}=y_0}$ , $\displaystyle{r_x=x}$ , $\displaystyle{r_y=y}$ . Из системы скалярных уравнений выражаются искомые величины.

Важным этапом решения задач является выбор системы отсчета. При выборе инерциальной системы отсчета необходимо:

указать тело отсчета, неподвижное относительно Земли, или поверхность Земли;
связать с ним координатные оси и произвольно выбрать их положительное направление;
указать положение рассматриваемого тела (тел) в начальный момент времени.

Примечание. В ряде задач на прямолинейное равнопеременное движение в одном направлении применяется "естественный" метод решения, основанный на использовании скалярных величин: траектории движения, пути, модулей средней скорости и среднего ускорения. В этом случае из известных соотношений:

\begin{eqnarray} S=v_{{\text{ср}}}t\,,\\ v_{{\text{ср}}} = {v_0+v\over2}\,,\\ a={v-v_0\over t}\,, \end{eqnarray}

			(4)
			(5)
			(6)

где $\displaystyle{S}$ – путь, пройденный за время $\displaystyle{t}$ , $\displaystyle{v_{{\text{ср}}}}$ – средняя скорость, $\displaystyle{v_0}$ и $\displaystyle{v}$ – начальная и конечная скорости точки, $\displaystyle{a}$ – среднее ускорение, подставляя в (4) $\displaystyle{v_{{\text{ср}}}}$ и $\displaystyle{t}$ из (5) и (6), можно получить полезное соотношение:

\begin{equation} 2aS=v^2-v_0^2\,, \end{equation}

(7)

которое в частном случае равнопеременного движения без начальной скорости упрощается:

\begin{equation} 2aS=v^2\,. \end{equation}

(8)

В случае равнозамедленного движения с нулевой конечной скоростью оно принимает вид:

\begin{equation} 2aS=v_0^2\,. \end{equation}

(9)

Подобное соотношение можно получить и из закона сохранения механической энергии материальной точки: если действуют только консервативные силы, например, сила тяжести, потенциальная энергия тела переходит в кинетическую и наоборот:

\begin{equation} mgh={mv^2\over 2}\,,\qquad 2gh=v^2\,, \end{equation}

(10)

где $\displaystyle{h}$ – высота, $\displaystyle{v}$ – скорость, $\displaystyle{g}$ – ускорение свободного падения, $\displaystyle{m}$ – масса.

Задачи по динамике материальной точки решаются в основном с помощью законов Ньютона.

Рекомендуется следующий порядок действий:

проанализировав условие задачи, установить, какие силы действуют на материальную точку (тело) массой $\displaystyle{m}$ ; силы должны соответствовать телам, взаимодействующим с рассматриваемым; например, со стороны Земли действует сила тяжести, со стороны нити – сила натяжения нити, со стороны опоры – сила реакции опоры и т.д.; желательно указать природу каждой силы;
показать на рисунке все силы в виде векторов, то есть направленных отрезков, приложенных в одной точке – в центре масс (центре тяжести) тела массой $\displaystyle{m}$ ; длины отрезков должны качественно соответствовать условию задачи и $\displaystyle{II}$ закону Ньютона: векторная сумма (равнодействующая) сил, действующих на покоящееся или движущееся равномерно прямолинейно тело, равна нулю; при ускоренном движении эта сумма совпадает по направлению с вектором ускорения;
выбрать систему отсчета; при этом в случае прямолинейного движения достаточно указать одну ось, при баллистическом – оси удобно выбрать в сторону ускорения и перпендикулярно к нему, при движении точки с постоянной по модулю скоростью по окружности ось направляют по нормали к траектории, то есть по радиусу к центру окружности – так же, как нормальное ускорение, называемое иногда центростремительным;
записать $\displaystyle{II}$ закон Ньютона в векторной форме: $\displaystyle{\vec F_1 + \vec F_2+\ldots = m\vec a}$ ;
перейти к скалярной форме уравнения, то есть записать все его члены в том же порядке в проекциях на каждую из осей, без знаков векторов;
составить систему уравнений, дополнив в случае необходимости кинематическими, и провести далее все этапы решения, указанные в общих рекомендациях на стр. [перейти];
если в движении участвует несколько тел, анализ сил и запись уравнений производится для каждого из них в отдельности.

Задачи динамики точки решаются также с помощью законов сохранения. Законы сохранения механической энергии и импульса используются и в задачах на поступательное движение системы материальных точек.

Далее: 4. Примеры решения задач Вверх: Методическое пособие Назад: 2. Основные единицы Международной

ЯГПУ, Отдел образовательных информационных технологий 10.07.2012