Математический анализ функций действительного переменного с самого своего зарождения был направлен на решение многочисленных прикладных задач. Однако дидактическая значимость курса начал анализа в действительности значительно шире, чем иллюстрация перед учащимися способности такой абстрактной науки как математика решать конкретные и важные проблемы практической жизни.
Многие специалисты - математики, в частности А.Н. Колмогоров, А.И. Маркушевич, А.Я. Хинчин, подчеркивали, что ознакомление учащихся с понятиями и методами математического анализа даже на уровне общих представлений имеют для них большое познавательное, развивающее и общекультурное значение. Более того специфика рассуждений, свойственных математическому анализу, ``диалектика переменных величин'' в значительной степени способствуют формированию качеств мышления, необходимых в настоящее время каждому образованному человеку.
Элементы анализа нужны и как аппарат решения задач, и как важный мировоззренческий материал. Понятие производной - одно из важнейших в математике. С помощью производной можно решат самые разнообразные задачи, относящиеся к любой области человеческой деятельности. В частности, с помощью производных возможно подробное исследование функций, более точное построение их графиков, решение уравнений и неравенств, доказательство тождеств и неравенств, нахождение наибольших и наименьших значений величин.
Тема ``Производная и ее применение'' является одной из основных в курсе алгебры и начал анализа старших классов средней школы.
Трудность преподавания связана со сложностью математического содержания, с малым разнообразием упражнений, имеющихся в школьных учебниках, недостаточностью методического обеспечения. В связи с этим большое значение приобретает подготовка учителя математики к преподаванию этой темы.
В основу написания настоящего учебного пособия положен принцип профессионально-педагогической направленности обучения математике. Единство методов математического анализа элементарной математики и методики преподавания способствует повышению предметной и профессиональной подготовки будущих учителей.
Пособие состоит из трех разделов:
применение производной для доказательства тождеств, неравенств, решения уравнений;
геометрический и механический смысл производной;
задачи на нахождение наибольших и наименьших значений величин.
Каждый раздел начинается с краткого изложения теоретических основ, содержит типовые задачи с решениями и систематизированные наборы упражнений для самостоятельной работы. Для ряда задач предложены различные способы решения.
В третьем разделе представлен большой набор разнообразных задач на нахождение наибольших и наименьших величин.
Аппарат дифференциального исчисления дает метод решения таких задач. Однако, своеобразие задачи позволяет зачастую решить ее проще, быстрее и красивее, используя методы и приемы элементарной математики.
Задачи на нахождение области значений функции рассматриваются в этом блоке задач, причем уделяется особое внимание различным способам их решения.
При подборе задач использовались материалы вступительных экзаменов, ЕГЭ, учебных пособий для учащихся, методических пособий и статей для учителей.
Материалы, приведенные в пособии прошли многолетнюю апробацию на физико-математическом факультете ЯГПУ и средних школах города Ярославля.