Далее: Задачи для самостоятельного решения Вверх: Элементарная математика Назад: 2. Геометрический и механический

3. Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений величин

``В мире не происходит ничего, в чем бы не был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума''. (Л. Эйлер)

Усилия почти всякой человеческой деятельности направлены на то, чтобы с наименьшей затратой сил достигать наиболее выгодного в определенном отношении результата (наиболее экономичного, наименее трудоемкого, наиболее производительного и т. п.). Не только человек в своей практической деятельности стремится достичь оптимального результата, действие сил природы неуклонно подчиняется принципу экстремальности: траектории света и радиоволны, движения маятников и планет, течение жидкостей и газов, клин журавлей, естественный отбор, форма мыльного пузыря и д. р. Решением экстремальных задач занимались такие ученые прошлых эпох как Евклид, Архимед, Герон, Кеплер, Ферма, Ньютон, Лейбниц, Иоганн и Якоб Бернулли и другие и в результате были выработаны приемы, позволяющие решать задачи самой разнообразной природы.

Аппарат дифференциального исчисления дает метод решения таких задач. Однако, своеобразие задачи позволяет зачастую решить ее проще, быстрее и красивее, используя методы и приемы элементарной математики.

В данном параграфе приведен ряд исторических задач; задачи, решаемые с помощью производной и без ее использования.

Выделим ряд фактов, которые используются при решении экстремальных задач.

1. Теорема Вейерштрасса. Непрерывная на отрезке функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

Рис. 5

2$.$ Пусть функция $y = f(x)$ непрерывна и монотонна на отрезке $[a;b]$ (рис. 5). Тогда наибольшее и наименьшее значения функции $f$достигается на концах $[a;b]$. Пусть $y = g(x)$ непрерывная функция, и имеет конечное число точек внутри $[a;b]$, в которых меняется характер монотонности (рис. 6).

Если мы знаем все такие точки $x_1 ,...x_k$, то перебором значений функции в этих точках и граничных можно найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

$$\mathop {\max }\limits_{x \in [a;b]} f(x) = \max \left\{ {f(a),f(x_1 ),...,f(x_k ),f(b)} \right\},$$

$$\mathop {\min }\limits_{x \in [a;b]} f(x) = \min \left\{ {f(a),f(x_1 ),...,f(x_k ),f(b)} \right\}.$$

$$y = g(x)$$

Рис. 6

3. Пусть функция $y = f(x)$ непрерывна на интервале $(a; b)$. Если она непрерывна на отрезке $[a;b]$, то можно найти наибольшее (наименьшее значение) функции на $[a;b]$ и сделать вывод о ее поведении на интервале:

если функция достигает наибольшего (наименьшего) значения во внутренней точке отрезка $[a;b]$, то в этой же точке она достигает наибольшего (наименьшего) значения и на интервале $(a; b)$;

если же она достигает своего наибольшего (наименьшего) значения на одном из концов отрезка $[a;b]$, то исходная задача решения не имеет.

4. Пусть функция $y = f(x)$ непрерывна на промежутке $(a;b) \quad \left( {[a;b]} \right.$, $[a;b)$, $(a;b]$, $[a; + \infty )$, $( - \infty ;b)$, $(a; + \infty )\left. \right)$ и имеет на нем единственную критическую точку. Если это тачка является точкой максимума (минимума), то функция достигает в ней наибольшего (наименьшего) значения на рассматриваемом промежутке.

5. Пусть функция $y = f(x)$ непрерывна на интервале $(a; b)$ и имеет на нем не менее двух критических точек. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений $f$ следует исследовать поведение функции ``на концах'' интервала, то есть вычислить $\mathop {\lim }\limits_{x \to a + 0} f(x)$ и $\mathop {\lim }\limits_{x \to b - 0} f(x)$. При этом могут возникнуть разные ситуации. Покажем это на графиках функций (рис. 7).

Рис. 7

Рис. 8

$$y = f(x) \mathop {\min }\limits_{(a;b)} f(x) = f(x_1 ) = m,$$

$$\mathop {\max }\limits_{(a;b)} f(x) \quad - {н}{е}{т} \quad .$$

$$y = f(x)$$

$$\mathop {\min }\limits_{( - \infty ; + \infty )} f(x) = f(x_2 ) = m,$$

$$\mathop {\max }\limits_{( - \infty ; + \infty )} f(x) = f(x_1 ) = M.$$

$$y = f(x)$$

$$\mathop {\min }\limits_{(a; + \infty )} f(x) \quad - {н}{е}{т} \quad ,$$

$$\mathop {\max }\limits_{(a; + \infty )} f(x) = f(x_1 ) = M.$$

Рис. 9

Какие еще возможны ситуации? Рассмотрите самостоятельно.

6. Если на рассматриваемом промежутке функция $y = f(x)$ положительна, то она имеет экстремумы (а также достигает наибольшего и наименьшего значения) в тех точках и только тех, которые являются точками экстремума функции $y = f^2(x)$.

7. Если исследуемая функция имеет вид $f(x) = k\varphi (x) + b$, где $k$ и $b$ - постоянные, причем $k > 0$, то ее можно заменить функцией $y = \varphi (x)$, так как функции $y = f(x)$ и $y = \varphi (x)$ имеют одни и те же точки экстремума.

Если $k < 0$, то функции $y = f(x)$ и $y = \varphi (x)$ имеют одни и те же экстремальные точки, причем точки максимума функции $f$ соответствуют точкам минимума $\varphi$ и наоборот.

8. Схема решения задачи на оптимизацию (нахождения наибольшего и наименьшего значений величин):

Проанализировав условие задачи, выделите оптимизируемую величину;

Одну из участвующих в задаче неизвестных величин принять за независимую переменную и установить реальные границы ее изменения в соответствии с условиями задачи;

Исходя из условия задачи, составить функцию подлежащую исследованию, выразив оптимизируемую величину через независимую переменную и известные величины;

Для полученной функции найти наибольшее или наименьшее в зависимости от условия значение в промежутках реального изменения аргумента;

Исходя из результатов исследований, записать ответ в терминах предложенной задачи.

9. Неравенство Коши

$$\frac{a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n }{n} \ge \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n },{г}{д}{е} \quad a_i \ge 0$$

$$i = 1,2,...,n$$

$n \in$N, $n \ge 2$.

Следствия:

Сумма положительных чисел, произведение которых постоянно, достигает наименьшего значения при равенстве этих чисел.

Произведение положительных чисел, сумма которых постоянна, достигает наибольшего значения при равенстве этих чисел.

10. Если $f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \ne 0)$, то при $a > 0 \quad \min f(x) = f\left( { - \frac{b}{2a}} \right)$, при $a < 0 \quad \max f(x) = f\left( { - \frac{b}{2a}} \right)$.

Исторические задачи

Одним из первых открытий в области теории экстремальных значений величин является открытие александрийского ученого Герона, который установил, что путь светового луча от точки $A$ до точки $B$ при отражении от зеркала в точке $D$ является кратчайшим (минимальным) расстоянием от $A$ до $B$ с заходом на плоскость зеркала $l$.

Задача Герона

Даны две точки $A$ и $B$ по одну сторону от прямой $l$. Требуется найти на $l$ такую точку $D$, чтобы сумма расстояний от $A$ до $B$ и от $B$ до $D$ была наименьшей.

Решение:

Рис. 10

Пусть $B_1$ - точка, симметричная точке $B$ относительно прямой $l$ (рис. 10). Проведем отрезок $AB_1$. Тогда точка $D$ - точка пересечения прямой $l$ с отрезком $AB_1$, будет искомой.

Действительно, для любой точки $D_1$, отличной от точки $D$ ($D_1$ лежит на $l)$, имеет место неравенство:

$$\left\vert {AD_1 } \right\vert + \left\vert {D_1 B} \right\v... ...t = \left\vert {AD} \right\vert + \left\vert {DB} \right\vert.$$ (2)

В неравенстве (2) были использованы свойства симметрии, из которых следуют равенства $\left\vert {DB} \right\vert = \left\vert {DB_1 } \right\vert$, $\left\vert {BD_1 } \right\vert = \left\vert {B_1 D_1 } \right\vert$ и неравенство треугольника $\left\vert {AD_1 } \right\vert + \left\vert {D_1 B_1 } \right\vert > \left\vert {AB_1 } \right\vert$.

Замечание: Искомая точка $D$

обладает тем свойством, что $\angle \alpha = \angle \beta$, $\angle \varphi_1 = \angle \varphi _2$ или, как говорят, угол падения равен углу отражения.

Задача Архимеда

Среди всех сегментов, имеющих заданную площадь сферической поверхности, найти шаровой сегмент вмещающий максимальный объем.

Рис. 11

Решение:

I способ.

Рассмотрим шар радиуса $R$ и его шаровой сегмент $BAB_1$ высоты $h$. Так же рассмотрим полушар $EDE_1$ той же боковой поверхности с радиусом $r$. Тогда $V_{ш.сегм.} = \pi h^2\left( {R - \frac{h}{3}} \right)$, $S_{б.п.с} = 2\pi Rh$;

$$V\ast _{п / шара} = \frac{2}{3}\pi r^2, \quad S\ast _{б.п.} = 2\pi r^2;$$

Из равенства боковых поверхностей сегмента и полушара получаем:

$$2\pi Rh = 2\pi r^2 \Rightarrow r^2 = Rh.$$ (3)

Докажем неравенство:

$$(2R - r) \cdot r > (2R - h) \cdot h{п}{р}{и} \quad h \ne R$$ (4)

а) $h < Rr^2 = R \cdot h > h^2 \Rightarrow r > h \Rightarrow R - r < R - h \Rightarrow (2R - r) \cdot r = R^2 - (R - r)^2 > R^2 - (R - h)^2 = (2R - h) \cdot h$

b)$h > R$

$$\left. {\begin{array}{l} r^2 = R \cdot h < h^2 \\ r^2 = R... ...\} \Rightarrow R < r < h \Rightarrow r - R < h - R \Rightarrow$$

$$\Rightarrow (2R - r) \cdot r = R^2 - (R - r)^2 > R^2 - (R - h)^2 = (2R - h) \cdot h.$$

Складывая (3) и (4) и умножая на $\frac{\pi h}{3}$, получаем:

$$\frac{\pi h}{3} \cdot 2Rr > \frac{\pi }{3}(3R - h) \cdot h^2$$ (5)

Заменим в (5) $Rh = r^2$:

$$V\ast = \frac{2}{3}\pi r^2 > \pi h^2\left( {R - \frac{h}{3}} \right) = V.$$

Итак, полушар той же боковой поверхности имеет больший объем в сравнении с шаровым сегментом, или, говоря словами Архимеда ``из всех сферических сегментов, ограниченных равными поверхностями, наибольшим будет полушарие''.

Решение задачи имеется в сочинении Архимеда ``О шаре и цилиндре''.

II способ. Язык Архимеда - язык геометрии.

$$\prime \prime \prime \prime$$

Рис. 12

На прямой ${A}'A$ отложим, следуя Архимеду, отрезок $[OH]$ такой величины, чтобы конус с высотой $HM$ и радиусом основания $MB$ был бы равновелик шаровому сегменту $BA{B}'$. На продолжении отрезка $[OA]$ отложим отрезок $[{A}'K]$, равный по длине радиусу $R$.

Равновеликость конуса и сегмента приводит Архимеда к пропорции:

$$\frac{\left\vert {HM} \right\vert}{\left\vert {AM} \right\ve... ...\vert}{\left\vert {{A}'M} \right\vert} \quad \left( * \right).$$

Проверим, что это равенство действительно имеет место:

$$V_k = \frac{\pi }{3} \cdot \left\vert {HM} \right\vert \cdot... ...ot \left\vert {AM} \right\vert^2 \quad \left( { * * } \right).$$

Мы воспользовались тем, что длина отрезка $[MB]$ есть среднее геометрическое длин отрезков $[{A}'M]$ и $[MA]$. Из $\left( { * * } \right)$ формула $\left( * \right)$ следует сразу.

Равенство поверхностей полушара и сегмента приводит к тому, что

$$\left\vert {AB} \right\vert = \left\vert {ED} \right\vert.$$

Действительно, $\left\vert {ED} \right\vert = r\sqrt 2$, $\left\vert {AB^2} \right\vert = \left\vert {A{A}'} \right\vert \cdot \left\vert {AM} \right\vert$ (используем свойство треугольника, вписанного в окружность и опирающегося на диаметр), значит,

$$\pi \cdot \left\vert {AB} \right\vert^2 = 2\pi Rh = S_c = S^... ...row \left\vert {AB} \right\vert = \left\vert {ED} \right\vert.$$

Далее Архимед откладывает отрезок $[AS]$ равный по длине $[CD]$ и доказывает неравенство:

$$\left\vert {{A}'S} \right\vert \cdot \left\vert {AS} \right\... ...r} \right) \cdot r > \left( {2R - h} \right) \cdot h} \right).$$

Обоснование: из двух прямоугольников с одинаковым периметром площадь больше у того, у которого больше длина меньшей стороны.

Далее имеем (из равенства боковых поверхностей сегмента и полушара):

$$\left\vert {AS} \right\vert^2 = \left\vert {AM} \right\vert ... ... \right\vert \quad \left( { \Leftrightarrow r^2 = Rh} \right).$$

Складывая последнее неравенство с этим равенством, получаем:

$$\left\vert {AS} \right\vert \cdot \left\vert {A{A}'} \right\... ...Leftrightarrow 2Rr > \left( {3R - h} \right) \cdot h} \right).$$

Умножая на $\left\vert {AM} \right\vert$ и используя (**), получим $\left\vert {AS} \right\vert \cdot \left\vert {A{A}'} \right\vert \cdot \left\ve... ...M} \right\vert \cdot \left\vert {AM} \right\vert^2 \quad \left( { *** } \right)$.

Ранее были доказаны соотношения

$$\left\vert {KM} \right\vert \cdot \left\vert {AM} \right\ver... ...eft\vert {HM} \right\vert \cdot \left\vert {MB} \right\vert^2,$$

$$\left\vert {A{A}'} \right\vert \cdot \left\vert {AM} \right\... ...\left\vert {AB} \right\vert^2 = \left\vert {ED^2} \right\vert,$$

$\left\vert {AS} \right\vert = \left\vert {CD} \right\vert$(по построению), откуда из $\left( { *** } \right)$ получим:

$$V^ * = \frac{\pi }{3} \cdot \left\vert {CD} \right\vert \cdo... ...t {HM} \right\vert \cdot \left\vert {MB} \right\vert^2 = V_c .$$

Задача Евклида.

В данный треугольник $ABC$ вписать параллелограмм $ADEF \quad \left( {EF\vert \vert AB,DE\vert \vert AC} \right)$ наибольшей площади.

Рис. 14

Решение:

Докажем, что точки $D$ и $E$ середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Пусть $AD_1 E_1 F_1$ вписанный в $\Delta ABC$ параллелограмм, отличный от параллелограмма $ADEF$. Тогда $DE \cap E_1 F_1 = G$, $D_1 E_1 \cap EF = G_1$. Проведем в $\Delta ABC$ высоту $BK$, а в $\Delta GE_1 E$ высоту $E_1 K_1$ и обозначим $BK = H$, $E_1 K_1 = h$, $AC = b$. $\Delta ABC$ подобен $\Delta GE_1 E$ по трем углам. Из подобия треугольников следует:

$$\frac{h}{GE} = \frac{H}{AC} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{h}{H} = \frac{GE}{b} \Rightarrow GE = \frac{b \cdot h}{H}.$$

$$S_{DD_1 G_1 E} = \frac{1}{2} \cdot E_1 K_1 \cdot DE = \frac{1}{2} \cdot h \cdot \frac{b}{2} = \frac{h \cdot b}{4},$$

$$S_{GEFF_1 } = \frac{1}{2} \cdot F_1 F \cdot \frac{BK}{2} = \... ...t \frac{b \cdot h}{H} \cdot \frac{H}{2} = \frac{b \cdot h}{4},$$

получаем, что

$$S_{DD_1 G_1 E} = S_{GEFF_1 } .$$

$$S_{ADEF} = S_{ADGF_1 } + S_{F_1 GEF} = S_{ADGF_1 } + S_{DD_1... ...E} \quad \Leftrightarrow \quad S_{ADEF} = S_{AD_1 E_1 F_1 } .$$

Задача Тартальи.

Разделить число восемь на две такие части, чтобы произведение их произведения на их разность было максимальным.

Тарталья (1500-1557) вошел в историю науки как человек, научившийся решать уравнения третьей степени.

Решение уравнения $x^3 + px + q = 0 \quad \left( {p > 0,q < 0} \right)$ нашел впервые итальянский математик Сципион даль Ферро, живший на рубеже XV и XVI веков. Формулу для корней этого уравнения впервые опубликовал Кардано, и поэтому она обычно называется его именем. Тарталья самой формулы не опубликовал, но в ряде своих работ он сообщал о том, что умеет решать такого рода уравнения.

$x = \sqrt[3]{ - \frac{q}{2} + \sqrt { - \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}} } + \sqrt[3]{ - \frac{q}{2} - \sqrt { - \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}} }$(2).

Формула (2) дает выражение для положительного корня уравнения $x^3 + px + q = 0$ в случае Ферро $\left( {p > 0,q < 0} \right)$. Но и в других случаях (например, $p < 0,q > 0)$ она также дает выражение для вещественного корня.

В одном из сочинений Тартальи была поставлена и задача о числе восемь. Автор не привел ее решения, но указал ответ. Этот ответ был сформулирован так: ``число 8 следует разделить пополам; квадрат этой половины, увеличенный на треть этого квадрата, должен равняться квадрату разности обеих частей''.

Таким образом, если искомые числа обозначить через $a$ и $b \quad (a > b)$, то для разности $a - b$ Тарталья дал такое выражение:

$$\left( {a - b} \right)^2 = \left( {8:2} \right)^2 + \left( {8:2} \right)^2:3 = \frac{64}{3},{т}{о}{е}{с}{т}{ь}$$

$$b = 4 - 4\sqrt 3 .$$

Решим задачу в общем виде. Пусть требуется разделить произвольное число $S$. Обозначим $a - b = x$, тогда $a = \frac{S + x}{2}$, $b = \frac{S - x}{2}$, и значит, требуется найти максимум функции

$$f(x) = x\left( {\frac{S}{2} + \frac{x}{2}} \right)\left( {\frac{S}{2} - \frac{x}{2}} \right) = \frac{S^2x - x^3}{4}.$$

Обозначим максимальное значение этой функции (для $x \ge 0)$ через $M$. Тогда

$$x\left( {\frac{S}{2} + \frac{x}{2}} \right)\left( {\frac{S}{... ... \frac{x}{2}} \right) = M \Leftrightarrow x^3 - S^2x + 4M = 0.$$ (6)

Уравнение (1) не имеет структуры уравнения Ферро, ибо здесь $p - S^2,p < 0$, а $q = 4M,q > 0$. Но оно имеет особенность: помимо отрицательного корня (обозначим его $\beta )$ есть двукратный положительный корень, то есть здесь обращаются в нуль функция и производная. Из рис. видно, что при $m > M$ уравнение $x^3 - S^2x + 4m = 0$ не имеет положительных корней, при $m < M$ имеет два корня, а при $m = M$ - один положительный корень.

$$\alpha \beta y = \frac{S^2x - x^3}{4}$$

Положительный корень уравнения (1) обозначим через $\alpha$ - это число и будет равно искомой разности. Таким образом,

$$x^3 - S^2x + 4M = \left( {x + \beta } \right)\left( {x - \al... ...left( {\alpha ^2 - 2\alpha \beta } \right)x + \alpha ^2\beta ,$$

из этого равенства следует что

$$\beta = 2\alpha , \quad p = - S^2 = \alpha ^2 - 2\alpha \beta = \alpha ^2 - 4\alpha ^2 = - 3\alpha ^2,$$

$$q = 4M = \alpha ^2\beta = 2\alpha ^3,{и}{з}{н}{а}{ч}{ и}{т} \quad ,$$

$$\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} = 0 \Leftrightarrow \frac{(4M... ...rrow \left( {2M} \right)^2 = \left( {\frac{S^2}{3}} \right)^3.$$

При этом формула (2) дает выражение для отрицательного корня:

$$- \beta = 2 \cdot \sqrt[3]{ - \frac{q}{2}} = - 2 \cdot \sqr... ...frac{S}{\sqrt 3 } \Leftrightarrow \beta = \frac{2S}{\sqrt 3 }.$$

Отсюда

$$\alpha = \frac{\beta }{2} = \frac{S}{\sqrt 3 } \Rightarrow \... ...{S}{2}} \right)^2 + \frac{1}{3}\left( {\frac{S}{2}} \right)^2.$$ (7)

Если $S = 8$, то и выходит, что для получения квадрата разности ``число 8 следует разделить пополам и квадрат этой половины увеличить на одну треть этого квадрата'' (Это доказательство можно найти в книге Уейтен Г.Г. ``История математики в древности и в средние века'', М. - П.: ГТТИ, 1932).

Задача Кеплера.

Вписать в заданный шар цилиндр наибольшего объема. Планиметрический вариант: вписать в заданный круг прямоугольник наибольшей площади.

Рис. 15

Решение:

Пусть шар имеет радиус $R$. Половину высоты цилиндра обозначим через $x$. Тогда радиус $r$ основания цилиндра равен $\sqrt {R^2 - x^2}$ и объем цилиндра равен $2\pi \left( {R^2 - x^2} \right)x$. У Тартальи было $\frac{\left( {S^2 - x^2} \right)x}{4}$. Тогда из формулы предыдущей задачи получим, что максимальное $x = \frac{R}{\sqrt 3 }$, а $r = \sqrt {R^2 - \frac{R^2}{3}} = R\sqrt {\frac{2}{3}}$.

Таким образом, отношение диаметра основания экстремального цилиндра к высоте равно $\sqrt 2$.

Кеплер именно так и сформулировал результат в своей книге ``Стереометрия винных бочек''.

Задача Дидоны.

Среди замкнутых плоских кривых, имеющих заданную длину, найти кривую, охватывающую максимальную площадь.

Многие историки полагают, что это - первая экстремальная задача, обсуждавшаяся в научной литературе. Ее называют классической изопериметрической задачей. (Изопериметрические фигуры - это фигуры, имеющие одинаковый периметр.) Можно доказать, что кривая, решающая классическую изопериметрическую задачу, - это окружность.

Столько купили земли и дали ей имя Бирса, сколько смогли окружить бычьей шкурой.

Вергилий ``Энеида''.

Приведенные строки относятся к событию, произошедшему, если верить преданию, в IX веке до н.э.

Финикийская царевна Дидона, спасаясь от преследований своего брата, отправилась на запад вдоль берегов Средиземного моря искать себе прибежище. Ей приглянулось одно место на побережье нынешнего Тунисского залива. Дидона повела переговоры с местным предводителем Ярбом о продаже земли. Запросила она совсем немного - столько, можно ``окружить бычьей шкурой''. Дидоне удалось уговорить Ярба. Сделка состоялась, и тогда Дидона изрезала шкуру быка на мелкие тесемки, связала их воедино и окружила большую территорию, на которой основала крепость, а вблизи от нее - город Карфаген.

Этот эпизод дает повод задуматься над вопросом: сколько земли можно окружить бычьей шкурой?

Вопрос задачи можно понять иначе, если обойтись без шкуры быка.

Отмотаем от катушки кусочек нити. Отрежем его и свяжем концами. Положим эту связанную нить на лист бумаги. Получилась плоская замкнутая кривая. Если теперь вырезать кусок бумаги по контуру нити, получится образ площади, охватываемой этой кривой. Эту площадь можно измерить. И тогда вопрос задачи звучит так: как следует положить нашу нить, чтобы она охватила наибольшую площадь?

Среди тех, кто дал решение изопериметрической задачи, древние авторы называли и Архимеда. Считается, что первые строгие доказательства максимального свойства круга дал Г.А. Шварц. Но на самом деле Шварцу, а до него Вейерштрассу и после него - самому Бляшке, как и многим другим математикам XIX и XX столетий, принадлежит лишь оформление идей своих далеких предшественников, оформление, способное удовлетворить современным требованиям строгости. Основные же пути решения изопериметрической задачи были абсолютно правильно намечены еще в античные времена.

Рассмотрим решения некоторых задач на нахождение наибольших и наименьших значений величин с помощью производной и без нее.

Задача 1. Найдите радиус основания цилиндра наибольшего объема, вписанного в шар радиуса R.

Рис. 16

Решение.

Объем цилиндра находится по формуле $V = \pi r^2h$, где $r$ - радиус основания, $h$ - высота цилиндра.

Выразим $h$ через $r$ и $R$ по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $АОВ$. $R^2 = \left( {\frac{h}{2}} \right)^2 + r^2$, $h^2 = 4\left( {R^2 - r^2} \right)$. Рассмотрим функцию $V\left( r \right) = 2\pi r^2\sqrt {R^2 - r^2}$, где 0 < r < R, $V^2(r) = 4\pi ^2r^4 \cdot \left( {R^2 - r^2} \right)$.

Пусть $r^2 = t$, тогда $V^2\left( t \right) = 4\pi ^2t^2 \cdot \left( {R^2 - t} \right)$, $t \in \left( {0;R^2} \right)$. Так как $V > 0, r^{2} > 0$, то точки экстремума функций $V(r)$ и $f\left( t \right) = \frac{V^2\left( t \right)}{4\pi ^2}$ совпадают.

Найдем, при каком значении переменной $t$ функция $f\left( t \right) = t^2 \cdot \left( {R^2 - t} \right)$ принимает наибольшее значение на интервале $\left( {0;R^2} \right)$.

I способ.

$${f}'\left( t \right) = 2tR^2 - 3t^2 = t \cdot \left( {2R^2 -... ...и}{ ч}{е}{с}{к}{у}{ю}{т}{о}{ч}{к}{у} \quad t = \frac{2R^2}{3}.$$

Заметим, что при $t \in \left( {0;\frac{2R^2}{3}} \right) \quad {f}'\left( t \right) > 0$, а при $t \in \left( {\frac{2R^2}{3};R^2} \right) \quad {f}'\left( t \right) < 0$. Значит, $t = \frac{2R^2}{3}$ - точка максимума и $r = \sqrt {\frac{2}{3}} \cdot R$

II способ.

Рассмотрим $t \in \left[ {0;R^2} \right]$. На этом отрезке функция $f$ непрерывна. Вычислим ${f}'\left( t \right)$ и найдем, что $t = \frac{2R^2}{3}$единственная критическая точка из данного отрезка. Вычислим $f(0), f\left( {\frac{2R^2}{3}} \right), f(R^{2})$.

$f(0)=0.$

$$f\left( {\frac{2R^2}{3}} \right) = \frac{4R^2}{9} \cdot \frac{1}{3}R^2 = \frac{4}{17}R^6.$$

$f(R^{2})=0.$

Значит, наибольшее значение функция достигает при $t = \frac{2R^2}{3}$ и $r = \sqrt {\frac{2}{3}} \cdot R$.

III способ.

Рассмотрим функцию $g\left( t \right) = \frac{V^2}{2\pi ^2}$.

Заметим, что $g\left( t \right) = t \cdot t \cdot \left( {2R^2 - 2t} \right)$ и $t + t + \left( {2R^2 - 2t} \right) = 2R^2$, значит, $g\left( t \right) = t \cdot t \cdot \left( {2R^2 - 2t} \right)$ принимает наибольшее значение, когда $t = 2R^2 - 2t$, т.е. при $t = \frac{2R^2}{3}$. Значит, $r = \sqrt {\frac{2}{3}} \cdot R$.

Ответ: $r = \sqrt {\frac{2}{3}} \cdot R$.

Задача 2. Среди всех равнобедренных треугольников, вписанных в данную окружность, найти треугольник с наибольшим периметром.

Рис. 17

Решение.

Пусть треугольник $АВС$ вписан в окружность данного радиуса $R$, АВ = ВС, $\angle$ ВАС = $\alpha$ (независимая переменная). Выразим периметр треугольника $АВС$ как функцию $\alpha$. По теореме синусов: $\frac{АВ}{\sin \alpha } = \frac{BC}{\sin \alpha } = \frac{AC}{\sin \left( {180^{\circ} - 2\alpha } \right)} = 2R$, отсюда АВ = ВС = 2R$\sin \alpha$; $АС = 2R\sin 2\alpha$ и $P\left( \alpha \right) = 2R \cdot \left( {2\sin \alpha + \sin 2\alpha } \right)$, где $\alpha \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$. Найдем, при каком значении $\alpha$ функция P принимает наибольшее значение на данном интервале

$${p}'\left( \alpha \right) = 4R \cdot \left( {2\cos \alpha - 1} \right) \cdot \left( {\cos \alpha + 1} \right).$$

$${p}'(\alpha ) = 0{н}{а} \quad \left( {0;\frac{\pi }{2}} \rig... ...3}.\mbox{на интервале} \quad \left( {0;\frac{\pi }{3}} \right)$$

${p}'\left( \alpha \right) > 0$, а на инткрвале $\left( {\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{2}} \right)\quad {p}'\left( \alpha \right) < 0$, следовательно, $\alpha = \frac{\pi }{3}$ - точка максимума, в которой функция принимает наибольшее значение на заданном промежутке. Таким образом, наибольший периметр имеет равносторонний треугольник.

Задача 3. Статуя высотой 2 м. стоит на постаменте высотой 3 м. На каком расстоянии от основания постамента должен встать наблюдатель (его рост до уровня глаз равен 1,6 м.), чтобы видеть статую под наибольшим углом? Шириной основания постамента можно пренебречь.

Рис. 18

Решение. На рисунке статуя изображена отрезком $АВ$, постамент - отрезком $ВД$. Пусть наблюдатель находится на расстоянии $х$ от постамента. ? =Fc = хм. Найдем такое значение $х$, при котором $\angle$ AFB - наибольший. Пусть $\angle$ AFС = $\alpha$, $\angle$ BFC = $\beta$. Тогда $\angle$ AFВ = $\alpha$ - $\beta$. При возрастании ? на интервале (0;90 ) следует, что $\angle$ AFB достигает наибольшего значения при том же значении $х$, что и $tg\left( {\alpha - \beta } \right)$.

$$tg\left( {\alpha - \beta } \right) = \frac{tg\alpha - tg\beta }{1 + tg\alpha \cdot tg\beta }$$

$$tg\alpha = \frac{3.6}{x}$$

$$tg\beta = \frac{BC}{FC} = \frac{3.2 - 1.6}{x} = \frac{1.6}{x}$$

$$tg\left( {\alpha - \beta } \right) = \frac{2x}{x^2 + 5.76}$$

Рассмотрим функцию $f\left( x \right) = \frac{2x}{x^2 + 5.76}$, х $\in$ (0;+$\infty )$

I способ:

Вычислим ${f}'\left( x \right)$. ${f}'\left( x \right) = \frac{2\left( {5,76 - x} \right)}{(x^2 + 5.76)^2}$.

${f}'\left( x \right){с}{у}{щ}{е}{с}{т}{в}{ у}{е}{т}{п}{р}{и}{в}{с}{е}{х}х \in$(0;+ $\infty ). \quad {f}'\left( x \right) = 0$ при х = $\pm$ 2,4. В рассматриваемый интервал входит критическая точка х = 2,4. При $х < 2,4 \quad {f}'\left( x \right) > 0$, при $х > 2,4 \quad {f}'\left( x \right) < 0$, $х = 2,4$ - точка максимума. Значит, наблюдатель должен стоять на расстоянии 2,4 м. от основания постамента.

II способ.

Найдем область значений функции $f\left( x \right) = \frac{2x}{x^2 + 5.76}$ при $х > 0$, т.е. установим, при каких значениях $a$ уравнение $\frac{2x}{x^2 + 5.76} = а$ имеет решение.

Если $х > 0$, то $а > 0.$

$$2x = a\left( {x^2 + 5.76} \right)$$

$$ax^2 - 2x + 5.76a = 0.$$

Квадратное уравнение имеет действительные корни, если дискриминант Д - неотрицателен, т.е. Д $\ge$ 0. Д$_{1 }$= 1 - 5,76$\cdot$а$^{2}$ = (1 - 2,4$\cdot$а)$\cdot$(1 + 2,4$\cdot$а); 1+2,4$\cdot$а > 0 при а > 0. Значит, решим неравенство:

1 - 2,4$\cdot$а $\ge$ 0, а $\le$ 2,4. Итак, $a \in \left( {0;2.4} \right]$. Наибольшее значение $а$ равно 2,4.

Ответ: 2,4 м.

Задача 4. Найдите наименьшее значение длины прямой $у = b$, концы которого принадлежат графикам $y = 2x - \sqrt {1 + x^2}$ и у = 2$\cdot$х.

Решение. Заданные функции определены и непрерывны на R. Установим характер их монотонности.

у = 2$\cdot$х - возрастающая функция.

Найдем производную функции $f(x) = 2x - \sqrt {1 + x^2}$, ${f}'(x) = 2 - \frac{x}{\sqrt {1 + x^2} }$, т.к. $\left\vert x \right\vert < \sqrt {1 + x^2}$, то $\frac{\left\vert x \right\vert}{\sqrt {1 + x^2} } < 1$, $- 1 < \frac{x}{\sqrt {1 + x^2} } < 1$, $1 < 2 - \frac{x}{\sqrt {1 + x^2} } < 2$.

Следовательно, ${f}'(x) > 0$ и функция f является возрастающей.

I способ.

Найдем абсциссы точек пересечения графиков заданных функций с прямой у = b и решения уравнений:

$2x - \sqrt {1 + x^2} = b$(2) и

2х = b (1)

Решая уравнение (2), получим:

$$\begin{array}{l} \sqrt {1 + x^2} = 2x - b, \\ \left\{ {\b... ...bx + b^2 - 1 = 0, \\ 2x - b \ge 0, \\ \end{array}} \right.$$

$$\left\{ {\begin{array}{l} \left[ {\begin{array}{l} x = \fr... ...ay}} \right. \\ x \ge \frac{b}{2}. \\ \end{array}} \right.$$

Заметим, что для функции $g(x) = 3x^2 - 4bx + b^2 - 1$ выполняется неравенство $g\left( {\frac{b}{2}} \right) < 0$, т.к. $g\left( {\frac{b}{2}} \right) = - \frac{b^2}{4} - 1$.

Графиком функции $y = g(x)$ является парабола, ветви которой направлены вверх и $g\left( {\frac{b}{2}} \right) < 0$. Это означает, что число $\frac{b}{2}$ находится между нулями функции. Таким образом, решением системы является $x = \frac{2b + \sqrt {b^2 + 3} }{3}$.

Решением уравнения (1) является число $x = \frac{b}{2}$. Итак, искомые точки пересечения графиков имеют координаты $M_1 \left( {\frac{2b + \sqrt {b^2 + 3} }{3};b} \right)$, $M_2 \left( {\frac{b}{2};b} \right)$. Вычислим длину отрезка $М_{1}М_{2}$.

$\left\vert {M_1 M_2 } \right\vert = \left\vert {\frac{2b + \sqrt {b^2 + 3} }{3}... ...d \sqrt {b^2 + 3} > b{и} \quad b + \sqrt {b^2 + 3} > 0{п}{р}{и}{л}{ю}{б}{ы}{ х}$b $\in$ R. Найдем наименьшее значение функции $t\left( b \right) = \frac{1}{6}\left( {b + 2\sqrt {b^2 + 3} } \right)$.

$${t}'\left( b \right) = \frac{1}{6}\left( {1 + \frac{2b}{\sqrt {b^2 + 3} }} \right)$$

${t}'\left( b \right){о}{п}{р}{е}{д}{е}{л}{ е}{н}{а}{и}{н}{е}{п}{р}{е}{р}{ы}{ в}{н}{а}{п}{р}{и}$b $\in$ R. b $\in$ R. ${t}'\left( b \right) = 0$.

$$1 + \frac{2b}{\sqrt {b^2 + 3} } = 0; \quad \sqrt {b^2 + 3} = - 2b;$$

$\left\{ {\begin{array}{l} b^2 + 3 = 4b^2, \\ b \le 0. \\ \end{array}} \right.b = -1$.

$b = -1$- точка минимума, т.к. при $b < -1 {t}'\left( b \right) < 0$, а при $b > -1 \quad {t}'\left( b \right) > 0.$ Таким образом, $\mathop {\min }\limits_R t\left( b \right) = t\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2}$. Это и есть длина наименьшего отрезка прямой $у = b$, концы которого принадлежат графикам заданных функций.

II способ.

Пусть прямая $у = b$ пересекает график функции $y = 2x - \sqrt {1 + x^2}$ в точке $M_1 \left( {x_1 ,2x_1 - \sqrt {1 + x_1^2 } } \right)$, а график функции у = 2$\cdot$х в точке $M_2 \left( {x_2 ,2x_2 } \right)$. Так как ординаты этих точек равны, то $2x_1 - \sqrt {1 + x_1^2 } = 2x_2$. Откуда получаем $x_2 = x_1 - \frac{1}{2}\sqrt {1 + x_1^2 }$. Длина отрезка $М_{1}М_{2}$ равна $\left\vert {x_1 - x_2 } \right\vert$. $l = \left\vert {x_1 - x_2 } \right\vert = \left\vert {x_1 - x_1 + \frac{1}{2}\sqrt {1 + x_1^2 } } \right\vert = \frac{1}{2}\sqrt {1 + x_1^2 }$. Рассмотрим функцию $l\left( t \right) = \frac{1}{2}\sqrt {1 + t^2}$. Функция $l(t)$ определена, непрерывна и дифференцируема на R. ${l}'\left( t \right) = \frac{t}{2\sqrt {1 + t^2} }$

Рис. 19

${l}'\left( t \right) = 0{п}{р}{и}t = 0$. Учитывая знаки производной (см. рис. 19), получаем, что $t = 0$ - точка минимума. Значит, $\mathop {\min }\limits_R l\left( t \right) = l\left( 0 \right) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

Задача 5. Диагонали выпуклого четырехугольника АВСД пересекаются в точке $О$. Какую наименьшую площадь имеет четырехугольник, если площадь треугольника АОВ равна $4 см^{2}$, а площадь треугольника СОД равна $9 см^{2}$.

Рис. 20

Решение.

Пусть $S_{\Delta _{АВС }}= S_{1},$

$S_{\Delta _{АСД }}= S_{2},$

АО = х, ОС = у.

Тогда $\left. {\begin{array}{l} \frac{4}{x} = \frac{S_1 }{x + y} \\ \frac{9}{y} = \... ...ightarrow S_{АВСД} = S_1 + S_2 = 4 \cdot \frac{y}{x} + 9 \cdot \frac{x}{y} + 13$. Используя неравенство Коши, получаем:

I способ.

$$4 \cdot \frac{y}{x} + 9 \cdot \frac{x}{y} \ge 2 \cdot 2 \cdot 3\sqrt {\frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}} = 12,{т}{о}{г}{д}{а}$$

$S_{АВСД}$ $\ge$ 25.

II способ.

Найдем наименьшее значение функции $f\left( t \right) = 4t + 9\frac{1}{t}$, где $t = \frac{y}{x},t > 0$. $4t + 9 \cdot \frac{1}{t} = \frac{4t^2 + 9}{t} = \frac{4t^2 - 1t + 9 - 12t}{t} = \frac{\left( {2t - 3} \right)^2}{t} + 12$. При $t > 0 \quad \frac{\left( {2t - 3} \right)^2}{t} + 12 \ge 12$, то есть $f\left( t \right) \ge 12$ и $4 \cdot t + 9 \cdot \frac{1}{t} + 13 \ge 25$.

Итак, наименьшее значение площади четырехугольника АВСД равно 25.

Ответ: 25 см$^{2}$.

Задача 6. Предприятие производит телевизоры и является прибыльным. Известно, что при изготовлении $n$ телевизоров в месяц расход предприятия на выпуск одного телевизора составляет не менее $\frac{40500}{n} + 270 - \left\vert {90 - \frac{40500}{n}} \right\vert$ у.е., а цена реализации каждого телевизора при этом не превосходит $540 - \frac{3}{10}n$ у.е. Определить ежемесячный объем производства, при котором может быть получена наибольшая из возможных в данных условиях прибыль.

Решение.

После реализации $n$ телевизоров прибыль будет $f\left( n \right) \le n \cdot \left( {540 - \frac{3}{10}n} \right) - n\left( {\... ...t) = 270 \cdot n - \frac{3}{10}n^2 - 40500 + 90\left\vert {n - 450} \right\vert$Если $n \ge 450$, $\sim \quad f\left( n \right) \le 270 \cdot n - \frac{3}{10}n^2 - 40500 + 90n - 40500 = - \frac{3}{10}\left( {n - 600} \right)^2 + 27000$ и наибольшая ежемесячная прибыль будет при $n = 600$. Если $n < 450$, то $f\left( n \right) \le - \frac{3}{10}\left( {n - 300} \right)^2 + 27000$ и наибольшая ежемесячная прибыль будет при n = 300. f (300) =
f (600) = 2700.

Ответ: 300 или 600 телевизоров.

Задача 7. Найти наименьшее значение функции $f\left( x \right) = \sqrt {4 + x^2} + \sqrt {x^2 - 4\sqrt 6 x + 33}$.

Решение. Известно, что кратчайшее расстояние между двумя точками - это длина отрезка, соединяющего эти точки. Представим $f(x)$ в виде: $2\sqrt 6 - хf\left( x \right) = \sqrt {2^2 + x^2} + \sqrt {3^2 + \left( {2\sqrt 6 - x} \right)^2}$. Каждый радикал можно представить как длину гипотенузы прямоугольного треугольника. Рассмотрим прямоугольные треугольники $МАС$ и $СВК$ (рис.), у которых АМ = 2, ВК = 3, МС = х, $СК = 2\sqrt 6 - х$, С $\in$ АВ. Тогда $АС = \sqrt {2^2 + х^2}$, $СВ = \sqrt {3^2 + \left( {2\sqrt {6 - х} } \right)^2}$. Функция $f(x)$ задает длину ломаной $АСВ$, длина которой станет наименьшей тогда, когда ломаная выродится в отрезок $АВ$, т.е. когда АВ = АС + СВ. Очевидно, что в том случае, когда отрезки $АС$ и $СВ$ окажутся на одной прямой треугольники $АСМ$ и $ВСК$ будут подобными. Тогда

$$\frac{АМ}{ВК} = \frac{МС}{КС},{т} \quad .{е}. \quad \frac{2}... ...{25}} + \sqrt {9 + \left( {\frac{6\sqrt 6 }{5}} \right)^2} = 7$$

Ответ: 7.

Задача 8. Для выражения $\frac{x - y}{\sqrt {x^2 + y^2} }$ найдите наибольшее значение и изобразите на координатной плоскости все точки, в которых оно достигается.

Решение.

$$\frac{x - y}{\sqrt {x^2 + y^2} } = \frac{x}{\sqrt {x^2 + y^2} } - \frac{y}{\sqrt {x^2 + y^2} }.$$

Рис. 21

Заметим, что $\left\vert {\frac{x}{\sqrt {x^2 + y^2} }} \right\vert \le 1,\left\vert {\frac{y}{\sqrt {x^2 + y^2} }} \right\vert \le 1$, $\left( {\frac{x}{\sqrt {x^2 + y^2} }} \right)^2 + \left( {\frac{y}{\sqrt {x^2 + y^2} }} \right)^2 = 1$. Существует такое $\alpha$, что $\frac{x}{\sqrt {x^2 + y^2} } = \cos \alpha ,\frac{y}{\sqrt {x^2 + y^2} } = \sin \alpha$. Тогда имеем

$$\cos \alpha - \sin \alpha = \sqrt 2 \left( {\frac{1}{\sqrt 2... ...uad \frac{\pi }{4} - \alpha = \frac{\pi }{2} + 2\pi n,n \in Z,$$

$$\alpha = - \frac{\pi }{4} + 2\pi k,k \in Z.$$

Заметим, что $tg\alpha = \frac{y}{x}$, но с другой стороны $tg\alpha = tg\left( { - \frac{\pi }{4} + 2\pi k} \right)$; $tg\alpha = - 1$.

Имеем $\frac{y}{x} = - 1 \Leftrightarrow y = - x$. Установим, каким условиям удовлетворяют $х$ и $у$. $\left. {\begin{array}{l} \sin \alpha = \sin \left( { - \frac{\pi }{4} + 2\pi k... ...ightarrow \frac{y}{\sqrt {x^2 + y^2} } = - \frac{\sqrt 2 }{2} \Rightarrow y < 0$.

$$\left. {\begin{array}{l} \cos \alpha = \cos \left( { - \fra... ...x}{\sqrt {x^2 + y^2} } = \frac{\sqrt 2 }{2} \Rightarrow x > 0.$$

Итак, надо построить множество точек плоскости $\left\{ {\begin{array}{l} x > 0, \\ y < 0, \\ y = - x. \\ \end{array}} \right.$.

Рис. 22

Задача 9. Числа $х$ и $у$ таковы, что $x^2 + xy + y^2 = x + y$. Найти наибольшее возможное значение $x^2 + y^2$.

Решение. Пусть х + у = u, x$\cdot$y=v. Тогда $x^2 + x \cdot y + y^2 = \left( {x + y} \right)^2 - x \cdot y = u^2 - v$. Заданное равенство примет вид: $u^2 - v = u$, откуда $v = u^2 - u$,тогда $х^{2 }+ у^{2 }$= (х + у)$^{2}$ - 2$\cdot$х$\cdot$у = u$^{2}$ - 2$\cdot$v = u$^{2}$ - 2$\cdot$(u$^{2}$ - u) = - u$^{2}$ + 2$\cdot$u = -(u - 1)$^{2} + 1.$

1 -(u - 1)$^{2}$$\le$ 1,следовательно наибольшее значение $x^2 + y^2$равно 1 (достигается, например, при х = 1, у = 0).

Ответ: 1.

Задача 10. Найти наибольшее значение выражения $14x^2 + 40x + y - 324,5$ при условии, что $\left\{ {\begin{array}{l} 4x^2 + 20x + y \ge 162; \\ 20x^2 - 80x + y \le 8. \\ \end{array}} \right.$

Решение. Пусть $t = 14x^2 + 40x + y - 324,5$. Выразим $у. y = t - 14x^2 - 40x + 324,5$ и подставим в заданную в условии систему: $\left\{ {\begin{array}{l} t \ge 10x^2 + 20x - 162,5; \\ t \le - 6x^2 + 120x - 316,5. \\ \end{array}} \right.$Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют полученной системе неравенств. Для точности найдем координаты точек пересечения графиков функций $t = 10x^2 + 20x - 162,5$ и $t = - 6x^2 + 120x - 316,5.$

Рис. 23

$$\left\{ {\begin{array}{l} t = 10x^2 + 20x - 162,5, \\ 10x... ...20x - 162,5 = - 6x^2 + 120x - 316,5; \\ \end{array}} \right.$$

$$\left\{ {\begin{array}{l} t = 10x^2 + 20x - 162,5, \\ 8x^2 - 50x + 77 = 0; \\ \end{array}} \right.$$

$\left[ {\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{l} x = 2,75, \\ t = - 31,85... ...}{l} x = 3,5, \\ t = 30. \\ \end{array}} \right. \\ \end{array}} \right.$max $t$ = 30.

Ответ: 30.

Задача 11. Имеется три сплава, состоящих из металлов $А$, $В$ и $С$. Первый сплав содержит 20% металла $А$, 30% металла $В$ и 50% металла $С$. Второй сплав - 50% металла $А$, 20% - металла $В$ и 30% металла $С$. Третий сплав состоит из 30% металла $А$, 40% металла $В$ и 30% металла $С$. Сколько килограммов каждого сплава нужно взять, чтобы получить 10 кг. нового сплава, который содержал бы 25% металла $А$, а процентное содержание $В$ было бы минимально возможным.

Решение. Пусть надо взять металлов $А$, $В$, $С$ соответственно в количестве $х$ кг., $у$ кг., $z$ кг. Тогда, исходя из условия задачи, получаем систему:

$$\left\{ {\begin{array}{l} x + y + z = 10, \\ 0,2x + 0,5y ... ...x \ge 0, \\ y \ge 0, \\ z \ge 0. \\ \end{array}} \right.$$ (8)

Обозначим $t$ процентное содержание металла $В$ в новом сплаве.

$$\begin{array}{l} t = \frac{0,3x + 0,2y + 0,4z}{10} \cdot 100; \\ t = 3x + 2y + 4z; \\ 2y = t - 3x - 4z. \\ \end{array}$$

После несложных преобразований получим следующую систему:

$$\left\{ {\begin{array}{l} 2y = t - 3x - 4z, \\ 2x + 2y + ... ...x \ge 0, \\ y \ge 0, \\ z \ge 0; \\ \end{array}} \right.$$

Функция $t = \frac{85}{3} + \frac{4}{3}z$ принимает наименьшее значение на промежутке $\left[ {0; + \infty } \right)$ равное $\frac{85}{3}$ при $z = 0$ Значит, $\left\{ {\begin{array}{l} z = 0, \\ x = \frac{25}{3}, \\ y = \frac{5}{3}. \\ \end{array}} \right.$

Примечание. Из первых двух уравнений системы (8) можно было выразить $х$ и $z$ через $у$, тогда функция $t$ будет иметь вид: $t = 35 - 4y$, где $y \in \left[ {0;\frac{8}{3}} \right]$.

$$\mathop {\min t}\limits_{\left[ {0;\textstyle{8 \over 3}} \right]} = t\left( {\frac{5}{3}} \right) = \frac{85}{3}.$$

Ответ: $\frac{25}{3};\frac{5}{3};0.$

Задача 12. Среди всех решений системы $\left\{ {\begin{array}{l} y + 3x \le - 3, \\ x^2 + y^2 + 4x + 2y \le 11. \\ \end{array}} \right.$. Найдите такое, при котором выражение $x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25$ принимает минимальное значение.

Решение.

По условию $\left\{ {\begin{array}{l} y \le - 3x - 3, \\ \left( {x + 2} \right)^2 + \left( {y + 1} \right)^2 \le 4^2 \\ \end{array}} \right.$ и $x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = \left( {x - 3} \right)^2 + \left( {y - 4} \right)^2$. Последнее выражение представляет собой квадрат расстояния между точками $О_{1}(х, у)$ и $О_{2}(3, 4)$ и принимает минимальное значение в точке, ближайшей к $О_{2}$ (рис. 23). Составим уравнение прямой $О_{2}К$, перпендикулярной прямой $АВ$, и найдем их точку пересечения. Т.к. угловой коэффициент прямой $АВ$ равен $-3$, то уравнение $О_{2}К$ имеет вид $y = \frac{1}{3}x + b$. Учитывая, что
(3; 4) $\in$ О$_{2}К$, найдем $b = 3$. Координаты точки пересечения являются решением системы:

Рис. 24

$$\left\{ {\begin{array}{l} y = \frac{1}{3}x + 3 \\ y = - 3... ...\right)^2 = \frac{1}{25} + \frac{289}{25} = \frac{58}{5} < 16.$$

Ответ: $\left( { - \frac{9}{5};\frac{12}{5}} \right)$

Задача 13. Найти множество значений функции $y = \frac{1}{\sin x - 0,5}$.

Решение.

I способ.

Построим эскиз графика заданной функции, воспользовавшись в качестве вспомогательного графиком функции $f(x) = \sin x - 0,5$.

Из рисунка 24 видим, что $E(y) = \left( { - \infty ; - \frac{2}{3}} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$.

$$y = \sin x - 0,5$$

Рис. 25

II способ.

Введем новую переменную $t = \sin x$ и исследуем функцию $f(t) = \frac{1}{t - 0,5}$, где $t \in \left[ { - 1;1} \right]$ и $t \ne 0,5$. На каждом из промежутков $\left[ { - 1;0,5} \right)$ и $\left( {0,5;1} \right]$ функция $f$является убывающей (см. рис.26)

Рис. 26

$$E(y) = \left( { - \infty ; - \frac{2}{3}} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$$

III способ.

Найдем при каких значения параметра $а$ уравнение $\frac{1}{\sin x - 0,5} = a$ имеет решение: $\left\{ {\begin{array}{l} a\sin x - 0,5a = 1 \\ ... ...} \right. \quad \begin{array}{l} (\ref{eq2}) \\ (\ref{eq1}) \\ \end{array}$

Если а = 0, то уравнение (2) решений не имеет.

Если а $\ne$ 0, то $\sin x = \frac{1 + 0,5a}{a}$. Уравнение имеет решение, если $\left\{ {\begin{array}{l} - 1 \le \frac{1 + 0,5a}{a} \le 1, \\ \frac{1 + 0,5a}{a} \ne \frac{1}{2}; \\ \end{array}} \right.$. Откуда $a \in \left( { - \infty ; - \frac{2}{3}} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$.

IV способ.

Используя ограниченность функции $f(x) = \sin x$ и свойства неравенств, получим: $\begin{array}{l} - 1 \le \sin x \le 1 \\ - 1,5 \le \sin x - 0,5 \le 0,5 \\ \end{array}$

Учитывая, что $\sin x - 0,5$ должно быть отлично от 0, рассмотрим

$$\left[ {\begin{array}{l} - 1,5 \le \sin x - 0,5 < 0; \\ 0 < \sin x - 0,5 \le 0,5; \\ \end{array}} \right.$$

$$\left[ {\begin{array}{l} 0 < - (\sin x - 0,5) \le 1,5; \\ ... ...; \\ \frac{1}{\sin x - 0,5} \ge 2; \\ \end{array}} \right.$$

$$E(y) = \left( { - \infty ; - \frac{2}{3}} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right).$$

V способ.

Найдем ${f}'\left( x \right)$ при $x \ne \left( { - 1} \right)^n\frac{\pi }{6} + \pi n,n \in Z$

$${f}'\left( x \right) = - \frac{\cos x}{(\sin x - 0,5)^2}.$$

$$- \textstyle{{7\pi } \over 6} - \textstyle{\pi \over 2} \t... ...ght){и} \quad \left( {\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6}} \right).$$

Рис. 27

Итак, на интервале $\left( { - \frac{7\pi }{6};\frac{\pi }{6}} \right)$ функция f имеет одну критическую точку $x = - \frac{\pi }{2}$. Эта точка максимума. Значит, на этом промежутке функция в ней принимает наибольшее значение. $\mathop {\max }\limits_{\left( { - \textstyle{{7\pi } \over 6};\textstyle{\pi \over 6}} \right)} f(x) = f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{2}{3}$. И так как $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \textstyle{{7\pi } \over 6} + 0} f\left( x \rig... ...im }\limits_{x \to + \textstyle{\pi \over 6} - 0} f\left( x \right) = - \infty$, то $f\left( x \right) \in \left( { - \infty ; - \frac{2}{3}} \right]$. Рассуждая аналогично, получаем, что на интервале $\left( {\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6}} \right) \quad \mathop {\min }\limits_{\... ...extstyle{{5\pi } \over 6}} \right)} f(x) = f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to \textstyle{\pi \over 6} + 0} f\left( x \right) = ... ... }\limits_{x \to \textstyle{{5\pi } \over 6} - 0} f\left( x \right) = + \infty$, $f(x) \in \left[ {2; + \infty } \right)$.

Ответ: $E(y) = \left( { - \infty ; - \frac{2}{3}} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$.

Задача 14. Найти область значений функции $у = \frac{х^2 + х + 3}{х^2 + х + 1}$.

Решение. Область определения функции - множество действительных чисел. Из представления $у = 1 + \frac{2}{\left( {х + \frac{1}{2}} \right)^2 + \frac{3}{4}}$можно заметить, что при $х \to \pm \infty$, $у \to 1$ и у > 1. остается найти наибольшее значение функции.

I способ.

Пусть $\left( {х + \frac{1}{2}} \right)^2 + \frac{3}{4} = t$, тогда $y\left( t \right) = 1 + \frac{2}{t}$ и $t \ge \frac{3}{4}$. Т.к. $у(t)$ убывающая на промежутке $\left[ {\frac{3}{4}; + \infty } \right)$ функция, свое наибольшее значение она принимает при $t = \frac{3}{4}$. $y\left( {\frac{3}{4}} \right) = \frac{11}{3}$, следовательно $E(y) = \left( {1;\frac{11}{3}} \right]$.

II способ.

Функция $g(x) = \frac{2}{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2 + \frac{3}{4}}$ принимает наибольшее значение при наименьшем значении знаменателя, т.е. при $x = - \frac{1}{2}$. Следовательно, $\mathop {\max }\limits_R y = y\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{11}{3}$. $E(y) = \left( {1;\frac{11}{3}} \right]$.

III способ.

Пусть $\frac{х^2 + х + 3}{х^2 + х + 1} = a$. Установим, при каких значениях параметра $а$ уравнение имеет решение.

$$x^2 + x + 3 = a\left( {x^2 + x + 1} \right)$$

$\left( {a - 1} \right)x^2 + \left( {a - 1} \right)x + a - 3 = 0,$(*).

При $а = 1$ уравнение (*) решений не имеет.

Если а $\ne$ 1, то уравнение имеет решение при тех значениях $а$, при которых Д $\ge$ 0.

$$Д = \left( {а - 1} \right) \cdot \left( {11 - 3а} \right).{Р... ...о}{м}{е}{ж}{у}{т}{о}{к} \quad \left( {1;\frac{11}{3}} \right].$$

IV способ.

Исследуем функцию $у = 1 + \frac{2}{х^2 + х + 1}$ на экстремум с помощью производной.

$${у}' = \frac{ - 2\left( {2х + 1} \right)}{\left( {х^2 + х + 1} \right)^2}$$

$${у}' = 0{п}{р}{и} \quad х = - \frac{1}{2}.{Ф}{у}{н}{к}{ц}{и}... ...\limits_R y = y\left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{11}{3}.$$

Ответ: $\left( {1;\frac{11}{3}} \right]$.

Далее: Задачи для самостоятельного решения Вверх: Элементарная математика Назад: 2. Геометрический и механический