Далее: §2. Основные правила комбинаторики Вверх: Глава I. Элементы комбинаторики Назад: Глава I. Элементы комбинаторики

§1. Выборки и случай

Понятие выборки - одно из основных в комбинаторике, теории вероятностей и математической статистике, а подсчет числа выборок исторически был одной из первых задач комбинаторики. В типичных задачах по теории вероятностей подсчитывается число различных вариантов (выборок), а через них и вероятностей событий, связанных в большинстве случаев с бросанием монеты, кубика или со случайным выбором шаров из урны. Одним из первых занялся подсчетом различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Приведем здесь одну из таких задач.

Пример 1. На какую сумму очков, выпадающих при подбрасываниях двух костей, разумно сделать ставку?

Решение. Перечислим возможные суммы и способы их получения.

2 = 1 + 1; 3 = 1 + 2 = 2 + 1; 4 = 1 + 3 = 3 + 1 = 2 + 2; 5 = 1 + 4 = 4 + 1 = 2 + 3 = 3 + 2;

6 = 1 + 5 = 5 + 1 = 2 + 4 = 4 + 2 = 3 + 3; 7 = 1 + 6 = 6 + 1 = 2 + 5 = 5 + 2 = 4 + 3 = 3 + 4;

8 = 2 + 6 = 6 + 2 = 3 + 5 = 5 + 3 = 4 + 4; 9 = 3 + 6 = 6 + 3 = 4 + 5 = 5 + 4;

10 = 4 + 6 = 6 + 4 = 5 + 5; 11 = 5 + 6 = 6 + 5; 12 = 6 + 6.

Откуда видно, что целесообразно сделать ставку на выпадение в сумме 7 очков, поскольку она получается наибольшим количеством вариантов, а, следовательно, имеет больше шансов на выпадение, чем другие суммы.

Первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр - определения, сколькими способами можно получить данное число очков, бросая несколько костей, как в предыдущем примере, или сколькими способами можно получить тот или иной набор карт. Размышления над анализом азартных игр явились движущей силой в развитии комбинаторики и развивавшейся одновременно с ней теорией вероятностей. Такой подход логично продолжить и для рассмотрения современных игр.

Пример 2. Является ли выбор с помощью "считалки" случайным и справедливым?

Пусть два брата считаются до числа, которое оказалось суммой "выброшенных" пальцев одной руки каждого. Тот, на котором остановился счет, выходит, а оставшийся убирает квартиру. Играет ли роль, с кого начинать счет?

Решение. Очевидно, что выбор таким образом дежурного является случайным. Обратим внимание на то, что первый, с кого начинается счет, не убирает квартиру, если сумма "выброшенных" пальцев окажется нечетной, а второй - если четной.

I игрок: $3 = 1 + 2 = 2 + 1$ $5 = 1 + 4 = 4 + 1 = 2 + 3 = 3 + 2$ $7 = 2 + 5 = 5 + 2 = 3 + 4 = 4 + 3$ $9 = 4 + 5 = 5 + 4$

II игрок: $2 = 1 + 1$ $4 = 1 + 3 = 3 + 1 = 2 + 2$ $6 = 1 + 5 = 5 + 1 = 2 + 4 = 4 + 2 = 3 + 3$ $8 = 3 + 5 = 5 + 3 = 4 + 4$ $10 = 5 + 5$

Для первого игрока получили 12 благоприятных ему исходов, а для второго - 13, следовательно, при игре в "считалки" предпочтительней стоять вторым.

Элементы комбинаторики в данной работе играют вспомогательную роль при вычислении вероятностей случайных событий. Событие, которое может произойти или не произойти, называют случайным событием. Примерами таких событий являются попадание стрелка в мишень при данном выстреле, извлечение туза из колоды карт, выигрыш билета в очередном розыгрыше лотереи и т.д.

В трактате Я. Бернулли "Искусство предположений" (1713 г.) введено понятие вероятности, хотя и в далеко не совершенной форме, а в 30-х годах XVIII столетия классическое понятие вероятности стало общеупотребительным, и никто из ученых этих лет не мог бы ограничиться только подсчетом числа благоприятствующих событию шансов. Под вероятностью случайного события А стали понимать число Р(А), равное отношению числа благоприятствующих ему исходов к общему числу несовместных, единственно возможных и равновозможных исходов.

Пример 3. На пяти карточках написаны числа 1, 2, 3, 4 и 5. Какова вероятность того, что сумма чисел на трех произвольно выбранных карточках делится на 3?

Решение. Пусть событие $A$ = {сумма чисел на трех карточках делится на 3}. Три произвольные карточки можно выбрать 10 способами:

(1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 2, 5), (1, 3, 4), (1, 3, 5), (1, 4, 5), (2, 3, 4), (2, 3, 5), (2, 4, 5), (3, 4, 5).

Из них 4 карточки удовлетворяют событию $A$ = {(1, 2, 3), (1, 3, 5), (2, 3, 4), (3, 4, 5)}. Следовательно, по определению вероятности $P(A) = 4/10=2/5.$

Пример 4. Монета бросается три раза. Найдите вероятности следующих событий:

$A$ = {число выпадений "герба" больше числа выпадений "решки"};

$B$ = {выпадает в точности два "герба"};

$C$ = {результаты всех бросаний одинаковы}.

Решение. Перечислим все возможные исходы данного испытания:

(Р, Р, Р), (Р, Р, Г), (Р, Г, Р), (Г, Р, Р), (Р, Г, Г), (Г, Р, Г), (Г, Г, Р), (Г, Г, Г).

Их получилось 8. Тогда

$A$ = {(Р, Г, Г), (Г, Р, Г), (Г, Г, Р), (Г, Г, Г )} и $P(A) = 4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 8}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 8 = 1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2;$

$B$ = {(Р, Г, Г), (Г, Р, Г), (Г, Г, Р)}, $P(B) = 3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 8}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 8;$

$C$ = {(Р, Р, Р), (Г, Г, Г)}, $P(C)= 2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 8}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 8 = 1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 4}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 4.$

Пример 5. Как выбрать справедливо случайным образом один из восьми фантов, если имеется только одна монета?

Решение. Подбрасывая монету три раза, в предыдущем примере получили 8 исходов, каждому из которых поставим в соответствие один из 8 фантов. Например, пронумеруем фанты в двоичной системе от 000$_{2}$ до 111$_{2}$, выпадение "решки" обозначим 0, а "герба" - 1. Тогда получаем взаимно однозначное соответствие между фантами и исходами трех подбрасываний монеты.

Вопросы для самоконтроля

1. Приведите примеры случайных событий.

2. Какие числовые характеристики по результатам контрольных работ находит учитель математики?

3. Выберите из нескольких множеств упорядоченные и неупорядоченные наборы.

4. Постройте дерево исходов для трех подбрасываний монеты.

5. Приведите примеры возможных, невозможных и достоверных событий, попарно несовместных событий.

6. В чем заключалась ошибка Д'Аламбера?

7. Какие типы задач рассматриваются в комбинаторике?

8. В каком случае шанс выиграть главный приз больше: в спортлото или в спортлото-2?

Задачи

I 1. Из города $A$ в город $B$ ведут 4 дороги, а из города $B$ в город $C$ ведут 3 дороги. Сколько путей, проходящих через город $B$, ведет из $A$ в $C$?

  2. Сколько имеется трехзначных чисел, которые делятся на пять?

  3. Бросаем три игральные кости. На какую сумму очков разумно поставить?

  4. Какова вероятность того, что число на вырванном наудачу листке нового календаря равно 5, равно 31?

  5. Из полной игры лото наудачу извлекается один бочонок. На бочонках написаны числа от 1 до 90. Какова вероятность того, что на извлеченном бочонке написано простое число?

  6. Монета и игральная кость брошены одновременно. Каким образом можно описать все способы падения? Подсчитать их число.

II 7. Сколькими способами можно посадить за круглый стол $n$ мужчин и $n$ женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?

  8. В турнире, где разыгрывается приз по олимпийской системе, участвуют 16 команд. Какова вероятность того, что две сильнейшие команды встретятся в финале?

III 9. После перетасовки четырех тузов из колоды карт берутся два из них. Как с помощью этих тузов имитировать бросание игрального кубика? 

  10. Сколько делителей имеет число $m_1^{\alpha _1 } \cdot m_2^{\alpha _2 } \cdot ... \cdot m_n^{\alpha _n } ,$ где $m_{i}$ - pазличные простые числа, а $\alpha$$_{i}$ - натуральные числа? Чему равна сумма делителей?

Далее: §2. Основные правила комбинаторики Вверх: Глава I. Элементы комбинаторики Назад: Глава I. Элементы комбинаторики