След.: Работа 9. Свободные колебания Выше: Связанные колебательные контуры Пред.: 2.1.  Общие сведения   Содержание

2.2.  Резонанс в системе двух связанных контуров

Резонанс в системе связанных контуров имеет место при минимальном значении $Z_{\text{э}}$ , т.е. при равенстве нулю его реактивной составляющей $X_{\text{э}}$ .

В случае, если контуры одинаковые ($L_1=L_2=L$ , $C_1=C_2=C$ , $R_1=R_2=R$ , а $${1\over\sqrt{LC}}=\omega_0$$ ), подстановка $X_1$ и $X_2$ из (33) даст выражение $X_{\text{э}}$ через параметры системы

$$X_{\text{э}}=\omega L\left(1-{\omega^2_0\over\omega^2}\right)-h^2... ...over\omega^2}\right)=\omega L\left(1-{\omega^2_0\over\omega^2}\right)(1-h^2) .$$

Для определения резонансных частот системы положим $X_{\text{э}}=0$ , а это возможно в двух случаях:

$$1-{\omega^2_0\over\omega^2}=0 ,$$ (38)

$$1-h^2=0 .$$ (39)

Решение уравнения (38) определит основную резонансную частоту системы

$$\omega_1= \omega_0.$$

Уравнение (39) имеет два решения¹

$$\omega_{2,3}={\omega_0\over\sqrt{1\pm\sqrt{k^2-d^2}}} .\vrule height0pt depth12pt width0.pt$$ (40)

Эти частоты называют резонансными частотами связи, их появление объясняется взаимным влиянием связанных контуров друг на друга. Частоты связи вещественны только в случае $k\geq d$ . При $k < d$ имеется единственная резонансная частота $\omega_1$ , при $k>d$ наблюдается два резонанса на частотах $\omega_2$ и $\omega_3$ . Связь, при которой $k=d$ , называется критической, а соответствующий коэффициент связи -- критическим $k_{\text{кр}}$ . Зависимость резонансных частот от $k$ приведена на рис.11.

Ток в контуре II вблизи резонанса из (37) и (36), принимая во внимание (35) и опуская знак минус, равен:

$$I_{2m}={hE_m\over R_{\text{э}}}={hE_m\over R(1+h^2)} .$$

Рис. 11

Тогда, на основной резонансной частоте $\omega_1$ с учетом $h=kQ$ :

$$I_{2m0}={E_m\over R}\cdot{kQ\over 1+(kQ)^2} .$$ (41)

и на резонансных частотах связи $\omega_2$ , $\omega_3$ , когда $h=1$ (т.к. $X_{\text{э}}=0$ ):

$$I_{2mc}={E_m\over 2R} .$$ (42)

Зависимость $I_{2m0}=\varphi(k)$ приведена на рис.12, а $I_{2mc}$ от $k$ не зависит.

Рис. 12

Коэффициент передачи напряжения $K$ для связанных контуров

$$\dot{K}={\dot{U}_{2m}\over \dot{E}_m} ,$$

его выражение на основной резонансной частоте из (41):

$$K_{0}={\varrho\over R}\cdot{kQ\over 1+(kQ)^2} .$$ (43)

Максимальное значение $K$ имеет при $k = k_{\text{кр}}$ -- на основной резонансной частоте и при $k>k_{\text{кр}}$ -- на резонансных частотах связи:

$$K_{\text{макс}}={\varrho\over 2R} .$$ (44)

В этих условиях имеет место максимальная передача мощности во вторичный контур.

Анализ выражений (43) и (44) позволяет выявить ход резонансных кривых связанных контуров (рис.13).

Рис. 13

Если $0<k\leq k_{\text{кр}}$ (кривые а, б), резонансные кривые имеют один максимум и полоса пропускания $2\Delta\omega$ лежит соответственно в пределах:

$$0,64{\omega_1\over Q}< 2\Delta\omega\leq1,41{\omega_1\over Q} .$$ (45)

Если $k>k_{\text{кр}}$ , резонансные кривые становятся двугорбыми.

При некотором значении $k$ , называемом оптимальным
$k = k_{\text{опт}} = 2,41k_{\text{кр}}$ , коэффициент передачи напряжения $K$ на основной резонансной частоте $\omega_1$ становится равным $0,707$ от $K_{\text{макс}}$ форма кривой наиболее близка к $\Pi$ -образной (кривая в) и полоса пропускания оказывается максимальной

$$2\Delta\omega=3,1{\omega_1\over Q} .$$ (46)

При $k>k_{\text{опт}}$ (кривая г) определение $2\Delta\omega$ теряет смысл, т.к. провал на резонансной кривой становится глубже уровня $0,707$ . Очень сильная связь применяется в специальных случаях.

Очевидно, что изменение коэффициента связи $k$ в системах связанных контуров позволяет регулировать полосу пропускания от $0,64$ до $3,1$ полосы пропускания одиночного контура. Коэффициент передачи связанных контуров при любых значениях $k$ не может быть более половины коэффициента передачи одиночного контура (кривая д). Однако крутизна скатов резонансных кривых связанных контуров больше, а значит, и их избирательность лучше, чем у одиночных контуров.

След.: Работа 9. Свободные колебания Выше: Связанные колебательные контуры Пред.: 2.1.  Общие сведения   Содержание