Далее: Контрольная работа по теме Вверх: Контрольные работы по математике Назад: Контрольная работа по теме

Контрольная работа по теме ``Математический анализ''

1. Числовая последовательность задана формулой $x_n=\dr{l\cdot k^{2n-1}}{n!-1}.$

Найдите:

1) второй член этой последовательности;

2) четвертый член этой последовательности.

2. Вычислите пределы методом подстановки:

1) $\limx{\frac{k\pi}{2}}\dr{n\sin x+l\cos x-k\ctg x}{\sin\frac{k\pi}{6}-\cos\frac{n\pi}{4}};$

2) $\limx{\frac{k\pi}{6}}\dr{n\sin x-k\cos^2x}{\sin x+\cos x};$

3) $\limx{m}\dr{lx^3-kx+m}{(l-n)x^2+x-k}.$

3. Вычислите пределы при помощи разложения на множители:

1) $\limx{l-5}\dr{x^2-(l-5)^2}{x-l+5};$

2) $\limx{m-3}\dr{x^3-(m-3)^3}{x-m+3};$

3) $\limx{2-k}\dr{x^3+(k-2)^3}{x+k-2};$

4) $\limx{k}\dr{x^2-(k+l)x+kl}{x^2-(k-n)x-kn}.$

4. Вычислите пределы при помощи введения вспомогательной переменной:

1) $\limx{n+25}\dr{\sqrt{x-n}-5}{x-n-25};$

2) $\limx{16-n}\dr{4-\sqrt{x+n}}{16-n-x};$

3) $\limx{n+8}\dr{\root3\of{x-n}-2}{x-n-8};$

4) $\limx{-n-27}\dr{\root3\of{x+n}+3}{x+n+27}.$

5. Вычислите пределы, используя первый замечательный предел и его следствия:

1) $\limx{0}\dr{\sin nx}{kx};$

2) $\limx{0}\dr{\tg(-nx)}{x^2};$

3) $\limx{0}\dr{e^{-mx}-1}{nx};$

4) $\limx{0}\dr{\ln(1-nx)}{\root3\of{kx}}.$

6. Вычислите пределы дробно-рациональных функций:

1) $\limx{\infty}\dr{kx^m+lx^k+n}{nx^k-x^m};$

2) $\limx{\infty}\dr{kx^m+lx^k+n}{nx^{k-3}-x^{m+5}};$

3) $\limx{\infty}\dr{kx^m+lx^k+n}{nx^{k+3}-x^{m-5}}.$

7. Найдите производные функций:

1) $y=kx^m+6x^n-l\sqrt x+\root k\of x-\dr{n}{\root m\of x};$

2) $y=(6x^n+k)\cos lx;$

3) $y=\dr{(n-2)x^{k-1}-x^{l-3}}{1-x^m};$

4) $y=e^{\ctg({m-nx})};$

5) $y=\sqrt{\tg(3-mx^n)};$

6) $y=\arcsin\root{m}\of{8x^n-5};$

7) $y=\cos(\ln^n(kx+l));$

8) $y=\sin^m({\rm tg}^n(\sqrt{n-lx^k})).$

8. Найдите производную второго порядка для функций:

1) $y=lx^m-3x^n;$

2) $y=\cos nx.$

9. Запишите уравнение касательной к графику функции
$y=nx^k+4x^n$ в точке $x_0=l-6.$

10. Вычислите пределы с помощью правила Лопиталя:

1) $\limx{l}\dr{x^2-lx}{x^2-(n+l)x+nl};$

2) $\limx{\infty}\dr{mx^3+nx^2+kx-1}{2-nx^3};$

3) $\limx{\infty}\dr{lx^3+kx^2+nx-1}{2-mx^4};$

4) $\limx{\infty}\dr{kx^4+nx^2+lx-1}{2-nx^3}.$

11. Исследуйте функцию и постройте ее график:

1) $y=kx^3+(l-km)x^2+(1-lm)x-m;$

2) $y=\dr xn+\dr nx.$

12. Используя таблицу, вычислите интегралы:

1) $\int(kx+l)^{n}dx;$

2) $\int \sqrt{nx-l} dx;$

3) $\int \dr{dx}{(nx-m)^{k}};$

4) $\int \dr{mx^{n+4}+x^{n}}{x^{n+1}}dx;$

5) $\int \dr{dx}{lx-n};$

6) $\int e^{n-kx}dx;$

7) $\int \sin nx dx;$

8) $\int \cos\dr{x}{m} dx;$

9) $\int \dr{dx}{\cos^2nx};$

10) $\int \dr{dx}{\sin^2 nx};$

11) $\int \dr{dx}{x^2+k^2};$

12) $\int \dr{dx}{\sqrt{m^2-x^2}};$

13) $\int \dr{dx}{\sqrt{x^2+m}};$

14) $\int \dr{dx}{x^2-n^2}.$

13. Вычислите интегралы методом замены переменной:

1) $\int\dr{xdx}{nx^2-k};$

2) $\int\dr{\cos xdx}{\sin x+n}.$

14. Вычислите интегралы методом интегрирования по частям:

1) $\int x\sin nxdx;$

2) $\int x^2\ln nxdx.$

15. Вычислите определенные интегралы:

1) $\int\limits_{0}^{\frac nm}(mx-n)^{k-2}dx;$

2) $\int\limits_{0}^{-\frac kn +1}\dr{dx}{nx+k}.$

16. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) $y=kx^2+lx+n,$ $y=0,$ $x=k-1,$ $x=k-2;$

2) $y=\sqrt{x+n},$ $x-y\sqrt n+n=0.$

17. Решите дифференциальные уравнения:

1) $\sin ny(kx+1)dy=dx;$

2) $y'=\dr{ny}{mx};$

3) $y'+\dr{ny}{x}=\dr{1}{x^2};$

4) $y''-(n-k)y'-kny=0;$

5) $y''+2ny'+n^2y=0;$

6) $y''-2ny'+(n^2+l^2)y=0.$

18. Исследуйте ряды на сходимость:

1) $\sum\limits_{n=1}^\infty\dr{1}{mn^k+l};$

2) $\sum\limits_{n=1}^\infty ln^m;$

3) $\sum\limits_{n=1}^\infty\dr{1}{(n+m)!};$

4) $\sum\limits_{n=1}^\infty\dr{(-1)^n}{kn}.$

19. Найдите радиус и интервал сходимости степенного ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty\dr{m^n\cdot x^n}{\sqrt{kn+l}}.$

20. Запишите первые пять членов разложения функции $f(x)=kx^3+nx^2+lx+m$ в ряд по степеням $(x-k)$.

21. Найдите частные производные и полный дифференциал функции $z=nxy^k-lx^my^n.$

22. Найдите градиент функции $z=nxy^k-lx^my^n$ и его модуль в точке $M(k-4;0)$.

Далее: Контрольная работа по теме Вверх: Контрольные работы по математике Назад: Контрольная работа по теме