4.  Примеры решения задач

Пример 4.1. Вычислить тормозной путь автомобиля для начальной его скорости $\displaystyle{72\,{\text{км/ч}}}$ , если он замедляется с постоянным ускорением $\displaystyle{6\,{\text{м/}}{\text{с}}^2}$ , а время реакции водителя составляет $\displaystyle{1\,{\text{с}}}$ .

Решение. Это кинематическая задача, в которой неизвестна скалярная величина - путь. Задача решается "естественным" методом. Тормозной путь – это расстояние, пройденное автомобилем до полной остановки. Он складывается из пути равномерного движения $\displaystyle{S_1}$ в течение времени $\displaystyle{t}$ реакции водителя и пути $\displaystyle{S_2}$ равнозамедленного движения: $\displaystyle{S=S_1+S_2}$ .

Путь $\displaystyle{S_1}$ можно выразить через известные в задаче величины: $\displaystyle{S_1=v_0 t}$ , путь $\displaystyle{S_2}$ можно выразить из соотношения (9), выведенного выше:

Таким образом, тормозной путь в общем виде выражается следующим образом:

Проверка наименования единиц измерения:

Вывод. Наименование единицы искомой величины соответствует физическому смыслу пути.

Вычисления: $\displaystyle{S=\left(20\cdot1+{20^2\over2\cdot6}\right)\,{\text{м}} = (20+33)\,{\text{м}}=53\,{\text{м}}}$ (число округлено до того же разряда, что известные величины).

Ответ. Для заданных числовых величин начальной скорости, замедления автомобиля и времени реакции водителя тормозной путь равен $\displaystyle{53\,{\text{м}}}$ , что является довольно значительным расстоянием.

Анализ решения в общем виде и численного ответа. Полученное выражение для тормозного пути пригодно и для других разумных значений $\displaystyle{v_0}$ , $\displaystyle{t}$ , $\displaystyle{a}$ . Следует заметить, что на сухой дороге хорошие тормоза могут обеспечить замедление от $\displaystyle{5}$ до $\displaystyle{8\,{\text{м}}/{\text{с}}^2}$ . На скользкой дороге замедление, связанное с величиной $\displaystyle{\mu}$ коэффициента трения: $\displaystyle{\mu mg = ma\quad\Rightarrow\quad a=\mu g}$ , примерно в три раза меньше, так что тормозной путь будет больше.

Время реакции водителей составляет от $\displaystyle{0,3}$ до $\displaystyle{1\,{\text{с}}}$ .

Начальная скорость движения входит в числитель второго слагаемого во второй степени, поэтому ее увеличение по сравнению с заданным числом приводит к значительному росту общего тормозного пути.

Все эти обстоятельства следует иметь в виду пешеходам, пересекающим дороги в неустановленных местах и на нерегулируемых перекрестках.

Пример 4.2. Точка движется по окружности радиусом $\displaystyle{10\,{\text{см}}}$ с постоянным тангенциальным ускорением. К концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки равна $\displaystyle{79,2\,{\text{см/с}}}$ . Найти тангенциальное, нормальное и угловое ускорения точки.

Решение. Этот пример относится к кинематике движения материальной точки по окружности с постоянным угловым ускорением. Уравнения такого движения:

С помощью этих уравнений описываются и частные случаи движения: с постоянной по модулю линейной скоростью ( $\displaystyle{\beta=0}$ ) и из состояния покоя ( $\displaystyle{\omega_0=0}$ ).

В подобных задачах используются связи линейных величин – скорости $\displaystyle{\vec v}$ и ускорения $\displaystyle{\vec a}$ с угловыми – $\displaystyle{\vec \omega}$ и $\displaystyle{\vec \beta}$ . Модуль линейной скорости зависит от радиуса окружности: $\displaystyle{|\vec v|= \omega R}$ , где $\displaystyle{R}$ - радиус.

В общем случае движения точки по окружности вектор $\displaystyle{\vec a}$ может быть направлен произвольно относительно траектории в данной точке и не совпадать с направлением линейной скорости $\displaystyle{\vec v}$ , направленной всегда по касательной к окружности в сторону движения.

Полное линейное ускорение в этом случае является векторной суммой:

$\displaystyle{\vec a_\tau}$ – вектор тангенциального (линейного, касательного) ускорения, направленный по касательной к траектории, в ту же сторону, что линейная скорость при ускоренном движении и в противоположную при замедленном; $\displaystyle{a_\tau}$ изменяет скорость только по величине; между $\displaystyle{a_\tau}$ и $\displaystyle{\beta}$ существует связь: $\displaystyle{|\vec a_\tau|=\beta R}$ .

Модуль полного ускорения можно рассчитать следующим образом:

Решение данной задачи, как и большинства из них, после анализа условия следует начинать с искомых величин. Согласно условию, точка движется равноускоренно из состояния покоя: $\displaystyle{\omega_0=0}$ . В этом случае уравнения (14) и (15) принимают вид:

По определению модуль тангенциального ускорения выражается через конечную $\displaystyle{v}$ , начальную $\displaystyle{v_0}$ линейные скорости и соответствующий промежуток времени $\displaystyle{a_\tau}$ :

Следует учесть, что один полный оборот соответствует углу $\displaystyle{2\pi}$ радиан, так что $\displaystyle{\varphi=2\pi N}$ . Для времени получаем:

Здесь все величины известны.

Примечание. Возможен и другой вариант решения подобных задач: из уравнений (18) и (19) выразить $\displaystyle{\beta}$ , исключив $\displaystyle{t}$ , а затем выразить $\displaystyle{a_\tau}$ .

Проверка наименования единиц измерения:

Вычисления:

Ответ. Тангенциальное ускорение точки равно $\displaystyle{0,1\,{\text{м}}/{\text{с}}^2}$ . Это значит, что линейная скорость ее увеличивается на $\displaystyle{0,1\,{\text{м}}/{\text{с}}}$ за секунду.

Для нахождения других неизвестных в данном примере величин следует воспользоваться уравнениями, приведенными выше.