Далее: §7. Формула полной вероятности Вверх: Глава II. Случайные события Назад: §5. Классическая вероятность

§6. Условные вероятности

Условной вероятностью $P(A/B)$ события $A$ при условии, что событие $B$ произошло $(P(B) \ne 0),$ назовем отношение $P(A\cdot B)/P(B)$.

Это определение эквивалентно так называемой теореме умножения, согласно которой $P(A\cdot B)=P(A)\cdot P(B/A)=P(B)\cdot P(A/B)$, т.е. вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при условии, что первое событие наступило.

Два события $A$ и $B$ называются независимыми, если $P(A\cdot B)=P(A)\cdot P(B)$.

Построение классической вероятности основано на правилах сложения и умножения вероятностей, следствия которых имеют следующие интерпретации на вероятностных деревьях:

1. $P(A\cdot B + C\cdot D)=P(A)\cdot P(B/A)+P(С)\cdot P(D/C)$, где $A\cdot B$ и $C\cdot D$ - несовместные события

Рис. 12

2. $P(A_{1}\cdot A_{2}\cdot\ldots \cdot A_{n - 1}\cdot A_{n})=P(A_{1})\cdot P(A_{2}/A_{1}) \cdot\ldots\cdot P(A_{n}/A_{1}\cdot A_{2}\cdot \ldots \cdot A_{n- 1})$

Рис. 13

Назовем произведение $P(A_{1})\cdot P(A_{2}/A_{1})\cdot\ldots \cdot P(A_{n}/A_{1}\cdot A_{2}\cdot\ldots\cdot A_{n - 1})$ весом ветви, проходящей через корень дерева и вершины, соответствующие событиям $A_{1},$ $A_{2},\ldots , A_{n }$.

Интерпретацией теорем сложения и умножения на вероятностных деревьях служит дерево исходов, соответствующее "благоприятному" событию. Рядом с каждым ребром такого дерева запишем вероятность исхода, соответствующего конечной вершине этого ребра при условии выполнения произведения всех исходов, соответствующих вершинам пути от корня дерева до данной вершины.

Эффективность данных интерпретаций покажем на следующих примерах.

Пример 26. Слово "МАТЕМАТИКА" разделено на отдельные буквы, из них произвольным образом отбираются и выкладываются по порядку четыре буквы. Какова вероятность получения слова "МАМА"?

Решение. Пусть событие $A$ = {получить слово "МАМА"}. Возьмем в дереве испытаний ветвь, соответствующую событию $A,$ и найдем ее вес:

Рис. 14

$$P(A) = {\displaystyle 2\over\displaystyle 10} \cdot {\displa... ...ver\displaystyle 7} = {\displaystyle 1\over\displaystyle 420}.$$

Пример 27. Два игрока по очереди выбирают вслепую фишку из имеющихся 2 белых и 3 черных. Побеждает тот, кто первым вытянет белую фишку. В каком отношении находятся шансы игроков на успех?

Решение. Обозначим через $A_{i}$ = {победа $i$-го игрока}, $i=$1, 2. Составим вероятностное дерево исходов данного испытания.

Рис. 15

$$P(A_1 ) = {\displaystyle 2\over\displaystyle 5} + {\displays... ... {\displaystyle 2\over\displaystyle 5}, P(A_1 ):P(A_2 ) = 3:2.$$

Пример 28. Четыре брата определяют дежурного по квартире при помощи четырех спичек, одна из которых короче остальных. В равных ли условиях находятся братья?

Решение. Пусть четверо вытягивают по очереди одну спичку до тех пор, пока кто-нибудь не вытянет короткую. Тот, кто вытянет короткую спичку, станет дежурным.

Вероятностное дерево исходов будет иметь вид:

Рис. 16

$$P_1 = {\displaystyle 1\over\displaystyle 4},\quad P_2 = {\d... ...ystyle 3} \cdot {\displaystyle 1\over\displaystyle 2} \cdot 1.$$

$$P_1 = P_2 = P_3 = P_4$$

и, следовательно, в этом случае шансы у всех равные.

Пример 29. Доказать, что $C_a^0 \cdot C_b^n + C_a^1 \cdot C_b^{n - 1} + ... + C_a^n \cdot C_b^0 = C_{a + b}^n ,$ где n$\le$a и n$\le$b.

Решение. Возьмем урну, содержащую $a$ белых и $b$ черных шаров. Пусть
$\Omega$ = {вынимание $n$ шаров} и $A_{i}$= {вынимание $i$ белых шаров}. Тогда
$\Omega =A_{0 }+A_{1 }$+...+ $A_{n}$ и 1 = $P(\Omega )$ = $P(A_{0})+P(A_{1})$+...+ $P(A_{n})$ =

$$= {\displaystyle C_a^0 \cdot C_b^n \over\displaystyle C_{a ... ...splaystyle C_a^n \cdot C_b^0 \over\displaystyle C_{a + b}^n }.$$

Пример 30 (пример Бернштейна). Доказать, что вообще говоря $P(A_{1}\cdot A_{2}\cdot\ldots \cdot A_{n})\ne P(A_{1})\cdot P(A_{2})\cdot \ldots \cdot P(A_{n})$для попарно независимых событий $A_{i}$, $A_{j}$ (i$\ne$j) /сравни с вероятностью суммы попарно несовместных событий/.

Решение. Рассмотрим 9 карточек, на которых написаны упорядоченные тройки букв $a, b, c$:

$$\begin{tabular} {p{55pt}p{50pt}p{55pt}p{50pt}p{55pt}} \begin... ...vert} \hline $c, c, c$\\ \hline \end{tabular}\\ \end{tabular}$$

Примем за событие $A_{i}$ = {достать карточку с буквой $a$ на $i$-м месте}.

События $A_{1}$ и $A_{2}$ независимы, поскольку ${\displaystyle 1\over\displaystyle 9} = P(A_1 \cdot A_2 ) = P(A_1 ) \cdot P(A_2... ...isplaystyle 3\over\displaystyle 9} \cdot {\displaystyle 3\over\displaystyle 9}.$

Аналогично доказывается, что $A_{1}$, $A_{3}$ и $A_{2}$, $A_{3}$ тоже попарно независимые события.

Однако ${\displaystyle 1\over\displaystyle 9} = P(A_1 \cdot A_2 \cdot A_3 ) \ne P(A_1 )... ...isplaystyle 1\over\displaystyle 3} \cdot {\displaystyle 1\over\displaystyle 3}.$

Вопросы для самоконтроля

1. Приведите примеры независимых событий.
2. Сформулируйте правило умножения вероятностей.
3. В чем заключается пример Бернштейна?
4. В каком случае вероятность произведения нескольких событий равняется произведению вероятностей этих событий?
5. Верно ли, что если события $A$ и $B$ независимы, то $\bar {A}$ и $\bar {B}$ тоже независимые события?
6. Что такое условная вероятность? В каком случае она определена?
7. Перечислите свойства условных вероятностей.
8. Покажите, что если $P(A)\cdot P(B) \ne 0$, то обе условные вероятности $P(A/B)$ и $P(B/A)$ определены.
9. Проиллюстрируйте теоремы умножения на графах.

Задачи

I 51. В коробке у Пети карточки с цифрами 0, 3, 5, а у Саши - с цифрами 1, 2, 4, 5. Они наугад вытаскивают по одной карточке. Побеждает тот, у которого цифра больше. Найдите вероятности событий:

а) победит Петя;

б) победит Саша;

в) ничья.

  52. В коробке имеется 13 карточек с номерами от 1 до 13. Вытаскиваем одну карточку и записываем ее номер, а затем вынимаем еще одну карточку и ее номер записываем справа от номера первой карточки. Найдите вероятность того, что:

а) полученное число - двузначное;

б) полученное число - трехзначное;

в) полученное число - четырехзначное;

д) полученное число - четырехзначное четное.

  53. Пусть $P(A) = P(B) = {\displaystyle 1\over\displaystyle 2},P(A + B) = {\displaystyle 2\over\displaystyle 3}.$ Независимы или нет события $A$ и $B$? Решите задачу для случая $P(A + B) = {\displaystyle 3\over\displaystyle 4}.$

  54. Пользуясь вероятностным деревом, докажите тождество:

$$1 + {\displaystyle A -a\over\displaystyle A - 1} + {\display... ...cdot (a + 1) \cdot a} = {\displaystyle A\over\displaystyle a}.$$

  55. Студент забыл последнюю цифру телефонного номера друга. Какова вероятность, что он дозвонится, имея три жетона?

  56. Докажите, что если события $A$ и $B$ независимы, то события $\bar {A}$ и $B,$ $A$ и $\bar {B},$ $\bar {A}$ и $\bar {B}$ также независимы.

II 57. Дежурный по классу выбирается среди пяти учащихся при помощи пяти (шести) спичек, одна из которых короче остальных. Определите вероятность дежурства каждого участника.

  58. Является ли выбор дежурного по классу при помощи "считалки" из трех учащихся справедливым?

III 59. Используя вычисление вероятностей, докажите тождества, содержащие биномиальные коэффициенты:

        а) $C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = 2^n;$

        б) $C_n^1 + 2C_n^2 + 3C_n^3 + ... + n \cdot C_n^n = n \cdot 2^{n - 1};$

        в) $2 \cdot 1 \cdot C_n^2 + 3 \cdot 2 \cdot C_n^3 + 4 \cdot 3 \cdot C_n^4 + ... + n(n - 1) \cdot C_n^n = n(n - 1) \cdot 2^{n - 2};$

        г) $(C_n^0 )^2 + (C_n^1 )^2 + (C_n^2 )^2 + ... + (C_n^n )^2 = C_{2n}^n .$

  60. Докажите, что $P(B / A) \ge 1 - {\displaystyle \displaystyle P(\bar {B})\over\displaystyle \displaystyle P(A)}.$

Далее: §7. Формула полной вероятности Вверх: Глава II. Случайные события Назад: §5. Классическая вероятность