Далее: §8. Схема Бернулли Вверх: Глава II. Случайные события Назад: §6. Условные вероятности

§7. Формула полной вероятности и формула Байеса

Если событие $A$ может наступить только при появлении одного из несовместных событий (гипотез) $H_{1},H_{2},\ldots,H_{n}$, то вероятность события $A$ вычисляется по формуле полной вероятности: $P(A)=P(H_{1})P(A/H_{1})+ P(H_{2})P(A/H_{2})+\ldots + P(H_{n})P(A/H_{n})$, где $P(H_i)$ - вероятность гипотезы $H_{i}$, $\sum\limits_{i = 1}^n {P(H_i) = 1};$ ${P(A/H_i)}$ - условная вероятность события $A$ при выполнении гипотезы $H_{i}$ ( $i= 1,2,\ldots,n)$.

Проиллюстрируем формулу полной вероятности на графе с выделенной вершиной:

Рис. 17

Полная вероятность события $A$ равна весу всего вероятностного графа с гипотезами.

С формулой полной вероятности тесно связана формула Байеса. Если до опыта вероятности гипотез были $P(H_{1})$, $P(H_{2})$, ..., $P(H_{n})$, а в результате опыта появилось событие $A$, то с учетом этого события "новые", т.е. условные вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса

$$P(H_k / A) = {\displaystyle P(H_k ) \cdot P(A / H_k )\over\d... ...е}} P(A) = \sum\limits_{i = 1}^n {P(H_i )} \cdot P(A / H_i ).$$

Формула Байеса дает возможность "пересмотреть" вероятность гипотез с учетом наблюдавшегося результата опыта. Условная вероятность $P(H_{k}/A)$ может находиться как отношение веса ветви, проходящей через вершину, соответствующую гипотезе $H_{k}$, к весу всего вероятностного графа.

Пример 31. На заводе, изготовляющем болты, первая машина производит 25%, вторая - 35%, третья - 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2%.

а) Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный?

б) Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был произведен первой, второй, третьей машиной?

Решение. Пусть событие $A$ = {выбрать дефектный болт}.

Выдвигаем три гипотезы:

$H_{1}$={болт изготовлен первой машиной}, $P(H_{1})$=0,25, $P(A/H_{1})$=0,05;

$H_{2}$={болт изготовлен второй машиной}, $P(H_{2})$=0,35, $P(A/H_{2})$=0,04;

$H_{3}$={болт изготовлен третьей машиной}, $P(H_{3})$=0,4, $P(A/H_{3})$=0,02.

Рис. 18

а) $P(A)=0,25\cdot 0,05 + 0,35\cdot 0,04 + 0,4\cdot 0,02 = 0,0345;$

б) $P(H_1 / A) = {\displaystyle \displaystyle 0,25 \cdot 0,05\over\displaystyle \di... ... 0,0345} = {\displaystyle \displaystyle 25\over\displaystyle \displaystyle 69};$

$$P(H_2 / A) = {\displaystyle 0,35 \cdot 0,04\over\displaystyle 0,0345} = {\displaystyle 28\over\displaystyle 69};$$

$$P(H_3 / A) = {\displaystyle 0,4 \cdot 0,02\over\displaystyle 0,0345} = {\displaystyle 16\over\displaystyle 69}.$$

Пример 32. Студент подготовил к экзамену 20 билетов из 25. В каком случае шансы взять известный билет больше - когда студент пришел на экзамен первым или вторым?

Решение. $P_1 = {\displaystyle \displaystyle 20\over\displaystyle \displaystyle 25} = {\displaystyle \displaystyle 4\over\displaystyle \displaystyle 5}.$ Найдем вероятность $P_{2}$ взять известный билет, придя на экзамен вторым, учитывая, что первый может взять как известный, так и неизвестный второму билет.

Рис. 19

$$P_2 = {\displaystyle 20\over\displaystyle 25} \cdot {\displa... ...rm с}{\rm ы}{\rm р}{\rm а}{\rm в}{\rm н}{\rm ы}{\rm е} \quad .$$

Пример 33. Наудачу выбираем колоду, а из нее карту. В каком случае вероятность достать туз больше: если выбирать карту из двух колод, содержащих по 32 и 52 карты, или выбирать карту из трех колод в 36 карт и одной в 52?

Решение. Пусть событие $m$ = { достать туз}.

Рис. 20

$$P_1 (T) = {\displaystyle 1\over\displaystyle 2} \cdot {\disp... ...ver\displaystyle 13} = {\displaystyle 4\over\displaystyle 39};$$

$P_{1}(T):P_{2}(T) = 63 : 64 < 1$, следовательно, в первом случае вероятность достать туз меньше, чем во втором.

Пример 34. В каждой из трех урн содержится по одному белому и одному черному шару. Из первой урны во вторую переложили один шар, из второй пополненной урны в третью тоже переложили один шар, а затем из третьей урны наудачу извлекли один шар. Какова вероятность извлечь белый шар из третьей пополненной урны?

Решение.

Рис. 21

$$P(бел) = {\displaystyle 1\over\displaystyle 2} \cdot {\displ... ...\over\displaystyle 3} = {\displaystyle 1\over\displaystyle 2}.$$

Какие гипотезы использовались в решении этой задачи?

Пример 35. Предположим, что 5 мужчин из 100 и 25 женщин из 10000 являются дальтониками. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность, что это мужчина?

Решение.

Рис. 22

$$P({\text{М / Д}}) = {\displaystyle {\displaystyle 1\over\dis... ...le 2} \cdot 0,0025} = {\displaystyle 20\over\displaystyle 21}.$$

Вопросы для самоконтроля

1. Какие события образуют полную группу?
2. Что можно сказать о вероятностях событий, образующих полную группу событий?
3. Получите формулу для вычисления полной вероятности.
4. В каком случае применяется формула полной вероятности? Приведите примеры.
5. Интерпретация формулы полной вероятности на графах.
6. Поясните смысл выражения "условная вероятность гипотезы".
7. Докажите формулу Байеса.
8. Как с помощью вероятностного графа можно "пересматривать" вероятности гипотез?

Задачи

I 61. Одна кость из полного набора домино утеряна. Какова вероятность того, что извлеченная из оставшихся кость "подходит" к утерянной?

  62. Имеются три урны: в первой - 3 белых и 2 черных, во второй - 2 белых и 3 черных, в третьей - 5 белых шаров. Наугад выбирается урна и из нее извлекается один шар. Этот шар оказался белым. Найдите вероятность того, что шар вынут из первой урны.

  63. В первой урне 2 белых и 5 черных шаров, во второй - 3 белых и 4 черных. Из первой урны один шар переложен во вторую, после чего из второй урны извлекают один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?

  64. В двух пакетах по 20 конфет одинаковой формы, в первом пакете 5 конфет с начинкой, а во втором - 8. Наугад выбранная конфета оказалась с начинкой. Найдите вероятность того, что она была вынута из второго пакета.

  65. Имеются три колоды в 32 карты, две - в 36 и одна - в 52. Выбираем колоду и из нее одну карту. Какова вероятность того, что вынутая карта окажется тузом?

  66. Сборщик получил три коробки деталей, изготовленных заводом 1, и две коробки деталей, изготовленных заводом 2. Вероятность того, что деталь завода 1 стандартна, равна 0,9, а завода 2 - 0,8. Сборщик извлек стандартную деталь из наудачу взятой коробки. Найдите вероятность того, что она изготовлена заводом №1.

II 67. В первой урне содержатся один белый и один черный шар, а во второй - один белый и два черных шара. Найдите вероятность извлечения белого шара, если:

а) урна выбирается случайно и из нее извлекается шар;

б) из каждой урны извлекли по одному шару и из них выбирается шар;

в) из первой урны переложили во вторую один шар, а затем из нее извлекли шар.

  68. В урну, содержащую $n$ шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар. Найдите вероятность того, что извлеченный шар окажется белым.

III 69. Король Артур проводит рыцарский турнир, в котором порядок состязания определяется жребием. Среди восьми рыцарей, одинаково искушенных в ратном деле, два близнеца. Какова вероятность того, что они встретятся в поединке?

  70. Преподаватель шутки ради предложил студенту распределить по двум урнам два белых и один черный шар. Преподаватель выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар: если шар будет белый, то студент получает зачет по теории вероятностей. Каким образом студенту нужно распределить шары в урнах, чтобы иметь наибольшие шансы на получение зачета?

Далее: §8. Схема Бернулли Вверх: Глава II. Случайные события Назад: §6. Условные вероятности