Далее: Задание 2. Вверх: 4.  Выполнение работы Назад: 4.  Выполнение работы

Задание 1.

Построение графиков функции нормального распределения $f(x)$ при различных $\sigma$ ( $\sigma=1, {1\over 2}, 2$).

Построение этих графиков упрощается, если воспользоваться значениями функции:

$$\varphi(z)={1\over\sqrt{2\pi}}e^{{}^{-z^2\over 2}} ,$$ (3)

которая совпадает с $f(x)$ при $\sigma=1$, $a=0$. Таблица значений этой функции при различных $z$ приводится ниже.

Масштабные коэффициенты для $z$ и $\varphi(z)$ при других значениях $\sigma$ определяются из условия равенства единице площади, ограниченной кривой и осью абсцисс.

Сравнивая $\varphi(z)$ и $f(x)$ (при $a=0$), имеем:

$$f(x)={1\over\sigma}\varphi(z) ,$$ (4)

здесь

$$z={1\over\sigma}x ,\quad x=\sigma z .$$ (5)

Для построения графиков по известным $z$ и $\varphi(z)$ нужно найти соответствующие им значения $x$ и $f(x)$ при каждом $\sigma$.

График для $\sigma=1$ строится непосредственно по значениям $\varphi(z)=f(x)$ следующей таблицы:

$z$	$\varphi(z)$	$z$	$\varphi(z)$	$z$	$\varphi(z)$	$z$	$\varphi(z)$
0,0	0,3989	1,0	0,2420	2,0	0,0540	3,0	0,0044
0,1	0,39702	1,1	0,2179	2,1	0,0440	3,1	0,0033
0,2	0,3910	1,2	0,1949	2,2	0,0355	3,2	0,0024
0,3	0,3814	1,3	0,1714	2,3	0,0283	3,3	0,0017
0,4	0,3683	1,4	0,1497	2,4	0,0224	3,4	0,0012
0,5	0,3521	1,5	0,1295	2,5	0,0175	3,5	0,0009
0,6	0,3332	1,6	0,1109	2,6	0,0136	3,6	0,0006
0,7	0,3123	1,7	0,0940	2,7	0,0104	3,7	0,0004
0,8	0,2897	1,8	0,0790	2,8	0,0079	3,8	0,0003
0,9	0,2661	1,9	0,0656	2,9	0,0060	3,9	0,0002

По 10-15 значениям $x=z$ и соответствующим им значениям $f(x)=\varphi(z)$ нужно построить график функции $f(x)$ при $\sigma=1$. Так как функция симметрична относительно максимума, достаточно построить половину графика и симметрично отобразить ее для отрицательных значений $x$. Все три графика строятся на одном листе миллиметровой бумаги. Удобно взять масштаб по оси $X$: 2 см =1, по оси $Y$: 1 см = 0,1.

Для построения графика при $\sigma={1\over 2}$ нужно сначала заполнить таблицу значений $f(x)$ при различных $x$. Для этого из таблицы $\varphi(z)$ нужно брать четные значения $z$, в соответствии с (5) делить их на два, получать $x$. Значения $\varphi(z)$, соответствующие данным $z$, домножать на два, получая $f(x)$.

$$\sigma={1\over 2}$$

$x_i$	$0$	$0,1$	$0,2$	$0,3$	...
$f(x_i)$	$0,7978$	$0,782$	$0,7366$	$0,6664$	...

Таблица значений для графика при $\sigma=2$ заполняется так: в соответствии с (5) для вычисления $x$ значения $z$ увеличиваются в два раза, а соответствующие им значения $\varphi(z)$ делятся на два.

$$\sigma=2$$

$x_i$	$0$	$0,4$	$0,8$	$1$	...
$f(x_i)$	$0,1994$	$0,1955$	$0,1842$	$0,176$	...

Далее: Задание 2. Вверх: 4.  Выполнение работы Назад: 4.  Выполнение работы