Для изучения на опыте нормального распределения используется доска Гальтона. В верхней её части имеется отверстие, в которое с помощью воронки запускаются шарики или другие однородные сыпучие тела.
Пронаблюдайте за движением отдельных шариков. Убедитесь, что при одинаковых начальных условиях движение их происходит по-разному и заканчивается попаданием в разные ячейки. Однако, если запустить большое количество шариков небольшими порциями, в распределении их по ячейкам всегда наблюдаются совершенно определенные закономерности: наибольшее число их оказывается в средней (нулевой) ячейке, и чем дальше расположена некоторая ячейка от нулевой, тем меньше число шариков попадет в неё.
Хотя установка имеет недостатки и в распределении шариков по ячейкам наблюдаются отклонения от нормального закона -- флуктуации, -- картина получается наглядной.
Рис. 4.1
В этой части работы нужно засыпать шарики так, чтобы центральную
ячейку они заняли доверху. Задача заключается в построении
ступенчатой диаграммы (гистограммы), вид которой показан на
рис.4.1 для идеального случая, а затем построения графика
полученной на опыте функции распределения
. После
этого требуется из сравнения с теоретическими графиками
определить значение
и записать аналитический
вид полученной экспериментально функции распределения.
Опыт проводится так:
ячейки | ![]() |
![]() |
... | ![]() |
![]() |
![]() |
... | ![]() |
![]() |
![]() |
Ширина каждой ячейки равна 1,5см.
Вся площадь, заполненная шариками на доске Гальтона, равна
, обозначим её
. Тогда
относительное число шариков, попавших в
ячейку, можно выразить
так:
где | ![]() |
-- | число шариков в ![]() |
![]() |
-- | их общее число. |
Отсюда следует, что
Таким образом, для нахождения значений
, нужно
подсчитать
, а затем
для каждого
по формуле (6) и
заполнить таблицу результатов эксперимента:
ячейки | ![]() |
![]() |
... | ![]() |
![]() |
![]() |
... | ![]() |
![]() |
![]() |
|||||||||
![]() |
Пример 1. Максимальное значение экспериментальной функции
распределения
получилось равным 0,08. Максимум
теоретического графика при
составляет 0,4. Значит, для
полученной функции дисперсия
.
Функция симметрична относительно максимума, значит, .
Тогда искомая функция
в соответствие с
(2) имеет следующий вид: