Далее: Задание 3. Вверх: 4.  Выполнение работы Назад: Задание 1.

Задание 2.

Экспериментальная часть

Для изучения на опыте нормального распределения используется доска Гальтона. В верхней её части имеется отверстие, в которое с помощью воронки запускаются шарики или другие однородные сыпучие тела.

Пронаблюдайте за движением отдельных шариков. Убедитесь, что при одинаковых начальных условиях движение их происходит по-разному и заканчивается попаданием в разные ячейки. Однако, если запустить большое количество шариков небольшими порциями, в распределении их по ячейкам всегда наблюдаются совершенно определенные закономерности: наибольшее число их оказывается в средней (нулевой) ячейке, и чем дальше расположена некоторая ячейка от нулевой, тем меньше число шариков попадет в неё.

Хотя установка имеет недостатки и в распределении шариков по ячейкам наблюдаются отклонения от нормального закона -- флуктуации, -- картина получается наглядной.

Рис. 4.1 

В этой части работы нужно засыпать шарики так, чтобы центральную ячейку они заняли доверху. Задача заключается в построении ступенчатой диаграммы (гистограммы), вид которой показан на рис.4.1 для идеального случая, а затем построения графика полученной на опыте функции распределения $f(x)_{\text{э}}$. После этого требуется из сравнения с теоретическими графиками $f(x)$ определить значение $\sigma_{\text{э.}}$ и записать аналитический вид полученной экспериментально функции распределения.

Опыт проводится так:

1. Засыпают шарики небольшими порциями до полного заполнения центральной или нулевой ячейки.
2. Измеряют линейкой с миллиметровыми делениями высоту заполнения $h_i$ каждой ячейки.
3. Результаты измерений заносят в таблицу:

   ячейки	$-12$	$-11$	...	$-1$	$0$	$+1$	...	$+11$	$+12$
   $h_i$, см

   
   

   Ширина каждой ячейки равна 1,5см.

4. По этим данным строится гистограмма.
5. Для графического изображения экспериментальной функции распределения нужно найти значения $f(x)_{\text{э}}$, с учетом её нормирования, т.е. чтобы площадь, ограниченная ее и осью абцисс, была равна 1. Площадь, заполненная шариками в $i$-той ячейке, равна $h_i\Delta x$, где $\Delta x=1,5 \text{см}$ -- ширина ячейки.

   
   

   Вся площадь, заполненная шариками на доске Гальтона, равна $\sum\limits_i{h_i\Delta x}=\Delta x\sum\limits_i{h_i}$, обозначим её $S$. Тогда относительное число шариков, попавших в $i$ ячейку, можно выразить так:
   

   $${\Delta N_i\over N}={h_i\Delta x\over S} ,$$
   
   

   где	$\Delta N_i$	--	число шариков в $i$ ячейке,
   	$N$	--	их общее число.

   Отсюда следует, что
   

   $$f(x_i)_{\text{э}}={\Delta N_i\over N\Delta x}={h_i\Delta x\over S\Delta x}={h_i\over S} .$$ (6)

   
   

   Таким образом, для нахождения значений $f(x)_{\text{э}}$, нужно подсчитать $S=\Delta x\sum\limits_i{h_i}$, а затем $f(x_i)_{\text{э}}$ для каждого $x_i$ по формуле (6) и заполнить таблицу результатов эксперимента:

   ячейки	$-12$	$-11$	...	$-1$	$0$	$+1$	...	$+11$	$+12$
   $x_i$, см
   $f(x_i)_{\text{э}} , \text{см}^{-1}$

   
   

6. На том же листе миллиметровой бумаги, где построены теоретические графики, в том же масштабе нужно построить экспериментальный график и из сравнения максимумов $f(x)_{\text{э}}$ и теоретического графика при $\sigma=1$ определить $\sigma_{\text{э.}}$. Записать аналитический вид экспериментальной функции распределения $f(x)_{\text{э}}$.

Пример 1. Максимальное значение экспериментальной функции распределения $f(x)_{\text{э.}}$ получилось равным 0,08. Максимум теоретического графика при $\sigma=1$ составляет 0,4. Значит, для полученной функции дисперсия $\sigma_{\text{э.}}=0,4 : 0,08 = 5$.

Функция симметрична относительно максимума, значит, $a=0$.

Тогда искомая функция $f(x)_{\text{э.}}$ в соответствие с (2) имеет следующий вид:

$$f(x)_{\text{э.}}={1\over 5\sqrt{2\pi}}e^{{}^{-x^2\over 50}} .$$

Далее: Задание 3. Вверх: 4.  Выполнение работы Назад: Задание 1.