Далее: 1.  Вариант Клемана-Дезорма вывода Вверх: Лабораторная работа №6 Назад: 2.  Краткая теория

3.  Описание принципиальной схемы установки. Вывод расчетной формулы

Экспериментальный метод можно пояснить с помощью установки, состоящей из стеклянного сосуда большой емкости (рис.3.1), соединенного с манометром, который может соединяться с атмосферой или с насосом. Разность между давлением воздуха в сосуде и атмосферным давлением измеряется открытым жидкостным манометром, одно колено которого соединено с сосудом.

Обозначим атмосферное давление во время опыта $P_o$, абсолютную температуру воздуха в комнате $T_o$, объем газа $V=V_c$, а массу газа в сосуде $m_o$. Если, разобщив баллон с атмосферой, накачать в него насосом небольшое количество воздуха, давление в сосуде повысится.

При любой массе газа он занимает в сосуде весь объем $V_c$. При накачивании или выпускании воздуха масса его в сосуде меняется, и уравнения изопроцессов становятся непригодными. Но они сохраняет свой вид, если рассматривать удельный объем ${V_c\over m}$. Объем сосуда остается неизменным, поэтому увеличение массы газа в сосуде приводит к уменьшению удельного объема газа.

Рис. 3.1 

При помощи насоса в сосуд накачивается некоторое количество газа массы $m_1$, занимающего некоторый объем $V_c$. Его удельный объем ${V_c\over m_1}$.

При накачивании газа совершается работа внешними силами. Если накачивать газ быстро, то теплообменом газа с окружающей средой через стенки можно пренебречь и считать процесс адиабатическим. За счет работы внешних сил увеличится внутренняя энергия газа, он нагреется до температуры $T_1>T_o$, а давление его станет равным $P_1$. Установится первое состояние газа. Процесс накачивания изображен на рис.3.2 кривой $0-1$. На оси абсцисс указаны удельные объемы.

После прекращения накачивания неизменная масса $m_1$, изохорически охлаждается до комнатной температуры $T_o$ зa счет теплообмена. Из-за малой теплопроводности стекла это продолжается $3-4$ минуты. Изохорический процесс на рис.3.2 изображен прямой $1-2$. В конце изохорического процесса устанавливается второе состояние газа с давлением $P_2=P_o+\Delta P_1$, температурой $T_2=T_o$ и удельным объемом ${V_c\over m_1}$.

Здесь $\Delta P_1$ -- избыточное над атмосферным давление газа, измеряемое манометром во втором состоянии, то есть после накачивания и установления равновесного состояния газа в сосуде.

Если теперь на короткое время открыть кран, часть газа выйдет из сосуда, давление его станет равным атмосферному, а температура газа в сосуде понизится. Этот процесс можно считать адиабатическим вследствие быстроты ($0,5-1 c$). Состояние газа при открытом кране является третьим состоянием и характеризуется параметрам ${V_c\over m_2}$ ($m_2$ -- масса газа, оставшегося в сосуде), $P_3$, $T_3$, причем $P_3=P_o$, а $T_3<T_c$.

Рис. 3.2 

После этого в течение $2-3$ минут происходит нагревание газа в сосуде за счет теплообмена, пока температура не сравняется с комнатной; давление газа при этом возрастает. Новое установившееся состояние является четвертым и описывается параметрами $V_c\over m_2$, $P_4$, $T_4=T_o$. При этом $P_4=P_o+\Delta P_2$. Здесь $\Delta P_2$ -- избыточное над внешним давление, измеряемое после того, как кран закрыт и снова наступило равновесное состояние газа. Графики описанных процессов изображены на рис.3.2. Пунктирные кривые -- изотермы.

Для вывода расчетной формулы рассмотрим часть графика, а именно участки $2-3$ и $3-4$ и учтем, что точки 2 и 4 лежат на одной изотерме. Переход из второго состояния в третье происходит адиабатически, для него справедливо уравнение Пуассона:

$${P_2\over P_3}=\left({{V_c\over m_2}\over{V_c\over m_1}}\right)^\gamma .$$ (5)

При $P_3=P_o$ и $P_2=P_o+\Delta P_1$, получаем

$${P_o+\Delta P_1\over P_o}=\left({{V_c\over m_2}\over{V_c\over m_1}}\right)^\gamma .$$ (6)

Процесс на участке $3-4$ изохорический, а точки 2 и 4 лежат на одной изотерме, поэтому можно применить уравнение Бойля - Мариотта для удельных объемов:

$${P_2\over P_4}={{V_c\over m_2}\over{V_c\over m_1}} .$$ (7)

Объединяя (6) и (7), получим:

$${P_o+\Delta P_1\over P_o}=\left({P_2\over P_4}\right)^\gamma =\left({P_o+\Delta P_1\over P_o+\Delta P_2}\right)^\gamma$$ (8)

или

$$1+{\Delta P_1\over P_o}=\left(1+{\Delta P_1-\Delta P_2\over P_o+\Delta P_2}\right)^\gamma .$$ (9)

Отсюда

$$\gamma={\ln{\left(1+ {\Delta P_1\over P_o}\right)}\over \ln{\left(1+{\Delta P_1-\Delta P_2\over P_o+\Delta P_2}\right)}} .$$ (10)

Если $\Delta P_1$ мало по сравнению с $P_o \left({\Delta P_1\over P_o}=\alpha\ll 1\right)$, то

$$\ln{(1+\alpha)}\approx\alpha .$$

Используя это соотношение, получим:

$$\gamma\approx{{\Delta P_1\over P_o}\over {\Delta P_1-\Delta P_2\over P_o}}\approx{\Delta P_1\over\Delta P_1-\Delta P_2} .$$ (11)

Величина избыточного давления измеряется разностью уровней жидкости в манометре (см. рис.3.1): $h=b-a$.

$$\begin{array}{rcl} \Delta P_1& = & \rho gh_1\\ \Delta P_2& = & \rho gh_2\\ \end{array}$$ (12)

Здесь $\rho$ -- плотность жидкости в манометре.

При $\Delta P\ll P_o$

$$\gamma={\rho gh_1\over \rho gh_1-\rho gh_2} ={h_1\over h_1-h_2} .$$ (13)

Полученное соотношение является расчетной формулой для $\gamma$ в данной работе. Таким образом для нахождения искомой величины следует измерить $h_1=b_1-a_1$ и $h_2=b_2-a_2$.

Далее: 1.  Вариант Клемана-Дезорма вывода Вверх: Лабораторная работа №6 Назад: 2.  Краткая теория