След.: 1.2.  Свободные колебания в Выше: Одиночный колебательный контур Пред.: Одиночный колебательный контур   Содержание

1.1.  Общие сведения

Колебательный контур с сосредоточенными постоянными -- колебательная система, представляющая собой линейную цепь из индуктивности $L$ , емкости $C$ и активного сопротивления $R$ , которые сосредоточены в отдельных участках цепи. Такие контуры называются закрытыми, так как они практически не излучают в окружающее пространство возбужденную в них электромагнитную энергию.

По физическому смыслу колебания в контуре -- результат периодического процесса обмена реактивной энергии электрического поля конденсатора

$$W_C ={CU_m^2\over2}$$

и магнитного поля катушки индуктивности

$$W_L={LI_m^2\over2} .$$

При этом напряжение опережает ток в цепи на $90^\circ$ .

Для идеального контура, у которого $R=0$ , а значит

$$W_C = W_L$$

или

$${CU_m^2\over2} = {LI_m^2\over2} ,$$ (1)

можно считать, что колебания будут происходить бесконечно долго.

В реальном контуре наличие активного сопротивления, характеризующего суммарные активные потери в цепи, приводит к затуханию колебаний. Мощность, рассеиваемая на $R$

$$P_R=I^2R ,$$

безвозвратно уходит из контура в виде тепла.

Если к цепи, состоящей из последовательно включенных $L$ , $C$ и $R$ (рис.1), подвести внешнюю э.д.с.

$$e=E_m \sin{\omega t} ,$$

то процесс в цепи описывается уравнением второго закона Кирхгофа

Рис. 1

$$U_L +U_R +U_C=e$$

или

$$L{di\over dt}+ iR + {1\over C}\int{idt} = E_m \sin{\omega t} .$$ (2)

Общее решение этого уравнения для тока в колебательном контуре в зависимости от амплитуды первоначального возникшего тока $I_m$

$$i=I_me^{{}^{-{R\over 2L}t}}\sin{\sqrt{{1\over LC}-\left({R\over 2L}\right)^2}}t .$$ (3)

Здесь изменение амплитуды тока характеризуется множителем

$$e^{{}^{-{R\over 2L}t}} ,$$ (4)

а частота свободных колебаний определяется выражением

$$\omega_c=\sqrt{{1\over LC}-\left({R\over 2L}\right)^2} .$$ (5)

Частное решение уравнения (2) имеет вид:

$$i={\dot{E}_m\over\dot{Z}}-\sin(\omega t+\varphi) ,$$ (6)

где

$$Z =\sqrt{R^2+\left({1\over\omega C}-\omega L\right)^2}$$

-- модуль полного сопротивления цепи.

След.: 1.2.  Свободные колебания в Выше: Одиночный колебательный контур Пред.: Одиночный колебательный контур   Содержание